不确定性推理是指建立在不确定性知识和证据基础上的推理，模糊逻辑不仅是处理不确定性推理的最为坚实的逻辑基础，也是当前众多学者研究不确定性推理模型最为常用的理论基础。近年来, 在模糊逻辑理论中, 长期占主导作用的是基于三角模的模糊逻辑, 而MTL-代数是基于三角模的模糊逻辑的典型代数代表。本书以MTL-代数为代表, 系统地研究了MTL-代数上的不确定性理论, 为基于模糊逻辑理论的不确定性推理提供代数学基础, 本书的主要内容是作者近几年来研究工作的系统总结，同时也兼顾了此领域国内外的最新研究成果。全书共九章, 具体内容包括: MTL-代数上的滤子, 伪赋值, 稳定化子以及MTL-代数上的真值算子、相似算子、导子、闭包算子和时态算子等理论。

不确定性推理是指建立在不确定性知识和证据基础上的推理, 如不完备知识的推理, 模糊知识的推理等, 其实质是一种从不确定的初始证据出发, 通过运用不确定性知识, 最终推出具有一定程度不确定性但又是合理或基本合理的结论的思维过程. 关于不确定性推理有多种不同的分类方法, 若按照是否采用数值来描述非精确性, 则可将其分为数值方法和非数值方法两大类, 其中数值方法是对不确定性的一种定量表示和处理方法, 而非数值方法是指除数值方法外的其他各种处理不确定性的方法, 它采用集合来描述和处理不确定性, 而且满足概率推理的性质. 目前来看, 数值方法是处理不确定性的主要方法, 也是众多学者研究不确定性推理最为常用的方法. 对于数值方法, 按其依据的理论不同又可分为以下两类: 一是基于概率论的有关理论发展起来的方法, 如可信度方法、主观Bayes 方法及证据理论等; 二是基于模糊逻辑理论发展起来的可能性理论方法. 近年来, 随着模糊逻辑理论的飞速发展, 基于模糊逻辑的不确定性推理也得到了长足的发展, 已成为国内外众多学者关注的热点. 本书将通过丰富模糊逻辑的代数理论来为不确定性推理提供更为 坚实的代数基础.

第1 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 偏序集与三角模的相关知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 逻辑系统MTL 及其形式扩张. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 MTL-代数及其语义扩张. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 第2 章MTL-代数的滤子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 MTL-代数的滤子及其商结构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.2 MTL-代数上的奇异滤子、可换滤子和固执滤子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 MTL-代数的整滤子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 第3 章MTL-代数上的伪赋值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1 MTL-代数上的伪赋值及其刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 MTL-代数上的（正）关联伪赋值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 由 MTL-代数的伪赋值诱导的商结构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 第4 章 MTL-代数的稳定化子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1 MTL-代数的蕴涵稳定化子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 4.2 MTL-代数的乘法稳定化子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 4.3 MTL-代数的对合稳定化子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 第5 章 真值MTL-代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.1 真值MTL-代数及其子类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 真值MTL-代数的真值滤子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 真值MTL-代数簇对应的逻辑系统. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 第6 章 相似MTL-代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.1 相似MTL-代数及其子类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 6.2 相似MTL-代数的表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.3 相似MTL-代数簇对应的逻辑系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 第7 章MTL-代数上的导子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 7.1 MTL-代数的蕴涵导子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2 MTL-代数的差分导子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.3 MTL-代数的乘法导子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 第8 章 MTL-代数的内部算子和闭包算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 8.1 MTL-代数上内部算子和闭包算子与伴随的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2 MTL-代数商结构的内部算子和闭包算子的刻画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 MTL-代数的素内部算子和素闭包算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 第9 章 时态MTL-代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.1 时态MTL-代数及其基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 9.2 时态MTL-代数上的时态滤子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168