本书主要介绍常微分方程的一些常用解析方法和数值方法，对于一阶常微分方程, 介绍了4 种常用的解析方法，即变量分离法、常数变易法、积分因子法、参数表示法；对于高阶常微分方程, 重点讨论了特征根法、比较系数法、拉普拉斯变换法、降阶法和幂级数法；对于线性常微分方程组，介绍了其一般理论及基解矩阵的计算等. 此外, 本书还介绍了常微分方程初值问题和边值问题的数值求解方法, 这些数值方法不仅包括经典的欧拉方法、Runge-Kutta 方法、有限差分方法、有限元方法等, 还涉及近年来数值计算中流行的配点方法. 解析方法与数值方法并驾齐驱, 相互促进, 是求解常微分方程的两种重要手段. 本书以各类方法为切入点, 通过引入大量的经典常微分方程模型, 深入浅出地阐述了各种模型问题的求解. 本书可供数学专业高年级本科生或研究生阅读, 也可作为从事数学建模、数学实验、科学工程计算等方面工作的理工类专业人员的参考书.

早在17 世纪，常微分方程作为一种技术手段，在天体力学研究、化学工程、生物医学等领域被广泛使用. 欧拉最早对常微分方程的初等解析方法展开研究，柯西建立了常微分 方程解的存在性理论, 庞加莱开辟了微分方程研究的新纪元......早期, 数学家注重研究常微分方程的解析方法, 到后来逐渐走向对解析方法与数值方法进行并驾齐驱的研究. 在 这个漫长的历史变迁中, 凝聚了几代数学家的辛勤劳动与智慧. 一个又一个伟大数学家的名字和数学名词, 深深烙印在常微分方程这一经久不衰的领域. 本书重点介绍常微分方程的模型、解析方法以及数值方法. 以各类方法为切入点, 贯通于求解一阶常微分方程、高阶常微分方程以及常微分方程组. 同时, 本书引入了大量的应用 问题实例(包括经典的人口模型、传染病模型、谐振子、数学摆、伯努利方程、刘维尔公式、布拉方程、里卡蒂方程等), 体现了常微分方程模型的重要科学价值以及解决实际问题的意 义. 全书分为三部分. 第一部分介绍常微分方程的模型、基本概念和简要历史, 包含第1 章. 第二部分介绍常微分方程(组) 的解析方法, 包含第2 章至第5 章. 第2 章介绍一阶常微分方程的4 种解析方法：变量分离法、常数变易法、积分因子法、参数表示法. 第3 章 以一阶常微分方程为模型, 重点讨论方程解的存在性理论. 第4 章讨论高阶常微分方程的解析方法：特征根法、比较系数法、拉普拉斯变换法、降阶法、幂级数法. 第5 章介绍常 微分方程组的相关理论和解析方法. 第三部分介绍常微分方程的数值方法, 详细讲解了每一种数值方法的算法原理、推导过程以及程序实现, 包含第6 章与第7 章. 第6 章介绍求解常微分方程初值问题的欧拉方 法、Runge-Kutta 方法以及线性多步方法. 第7 章介绍常微分方程边值问题的4 种数值求解方法：有限差分方法、有限元方法、配点方法、打靶法. “常微分方程” 作为高等院校数学专业的一门主干课程, 对先修课程及后修课程起着承前启后的作用, 是数学科学理论中必不可少的一个重要环节, 对于训练学生分析问题和解决 问题的能力具有不可替代的作用. 常微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之一, 它综合运用先修课程(如“数学分析”“高等代数” 等) 中的有关知识与方法, 培养学生理论联系 常微分方程——解析方法与数值方法实际的意识和创新能力，在数学类专业人才的培养中占有重要地位. 一般建议授课学时为48～64 ，可根据学时安排对本书中的内容进行删减. 本书第1～4 章由许秋燕编写，第5～7 章由刘智永编写. 在编写本书的过程中，我们参考了许多国内外的相关专著和教材，所参考的书籍已全部列入本书最后的参考文献，本 书部分内容也取材于这些文献，在此一并致谢. 感谢国家自然科学基金No.12061057、宁夏“青年科技人才托举工程” 项目No.TJGC2019012 和No.TJGC2018037 的资助. 感谢宁 夏大学数学统计学院、宁夏科学工程计算与数据分析重点实验室的支持. 限于编者的水平，书中难免有错漏和不足之处，欢迎广大读者批评指正. 编者 2022 年5 月

第1 章常微分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1 经典常微分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 常微分方程基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 几何意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 常微分方程发展历史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 习题1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 第2 章一阶常微分方程的解析方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 变量分离法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 变量分离方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 可化为变量分离方程的类型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 常数变易法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 积分因子法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 恰当微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 积分因子法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.4 参数表示法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.1 可以解出y(或x) 的方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 不显含y 或x 的方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 应用举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 习题2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 第3 章一阶常微分方程的解的存在理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 3.1 解的存在唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 解的延拓定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 解对初值的连续性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 解对初值的可微性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 包络和奇解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 习题3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 第4 章高阶常微分方程的解析方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1 高阶线性微分方程的一般理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.1 线性微分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.2 齐次线性微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.3 非齐次线性微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 特征根法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 复值函数与复指数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.2 常系数齐次线性微分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.3 欧拉方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 比较系数法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4 拉普拉斯变换法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 降阶法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 4.6 幂级数法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.7 应用问题举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 习题4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 第5 章线性常微分方程组的解析方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 5.1 线性微分方程组的一般理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.1.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.1.2 存在唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 5.1.3 齐次线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1.4 非齐次线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.2 常系数线性微分方程组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 5.2.1 矩阵指数expA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2.2 基解矩阵的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 5.3 应用问题举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 习题5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 第6 章常微分方程初值问题的数值解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 6.1 欧拉方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.1.1 欧拉方法及其改进. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 6.1.2 欧拉方法分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 6.2 Runge-Kutta 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.3 线性多步方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.4 应用举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 习题6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 第7 章常微分方程边值问题的数值解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 7.1 有限差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.2 有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.3 配点方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.4 打靶法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218 7.5 应用举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 习题7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226