本专著是作者两人近几年从事复Hilbert空间上若干矩阵不等式及其应用研究的相关结论，具有创新性和前沿性，主要内容包括： 矩阵L?wner偏序的若干结论，包括矩阵Bohr型不等式、Dunkl-Williams型不等式、Tsallis相对算子熵的一些不等式；矩阵奇异值不等式，包括奇异值几何-算术平均值不等式及其应用，奇异值Heinz不等式；矩阵奇异值弱对数受控，包括矩阵之差的奇异值弱对数受控，矩阵之积的奇异值弱对数受控;矩阵酉不变范数不等式，包括酉不变范数几何-算术平均值不等式、Heinz不等式、Young型不等式等; 矩阵不等式的应用，包括理论应用以及在控制理论等交叉领域的应用。

前 言 矩阵理论是目前一个活跃而广阔的研究领域。矩阵不等式是矩阵理论中一个非常具有吸引力的研究方向，在国内外的研究极为活跃。随着科技的飞速发展，现有的矩阵不等式结果并不能完全满足越来越多的实际需求，同时，矩阵不等式这个专题本身也有许多待解决的问题，如Sloane-Harwit猜想、Zhan猜想、Lee猜想，故有必要对矩阵不等式做进一步的研究。 本书旨在展示一系列普遍适用的、优美的、精确的不等式，进而丰富算子或矩阵不等式的结果，推动相关技术（如鲁棒控制中线性矩阵不等式处理方法）的发展。本书在已有结果的基础上，对算子L?wner偏序与矩阵奇异值不等式以及其他经典算子不等式及应用进行研究。结合近些年来的相关结果，在Ando、Bhatia、Furuta、Kittaneh、Pe?ari?、詹兴致等人的研究基础上，对算子Bohr型不等式、算子Dunkl-Williams型不等式、Tsallis相对算子熵、奇异值几何-算术平均值不等式、奇异值Heinz不等式、酉不变范数几何-算术平均值不等式、酉不变范数Heinz不等式、酉不变范数Young型不等式、Hermite-Hadamard积分算子不等式、Samuelson型算子不等式等进行了研究。本书的主要工作结构安排，首先介绍算子L?wner偏序与矩阵奇异值不等式以及其他经典算子不等式及其应用。第1章，给出一些基本概念和我们做这方面研究的动机。第2章，在L?wner偏序这个专题中，非常重要的结果是L?wner-Heinz不等式和Furuta不等式。在这章中，我们对相对简单一些的算子Bohr型不等式进行了讨论，得到几个结果，作为算子Bohr型不等式的应用，我们给出算子Dunkl-Williams型不等式；同时，我们也对Tsallis相对算子熵进行讨论，改进或推广了现有的结果；作为第2章的结束，通过利用泰勒中值定理和Bhatia的一个结果，我们改进了标量几何-算术平均值不等式，并给出所得结果在算子不等式中的一个应用。第3章，首先展示推广了奇异值几何-算术平均值不等式，利用所得结果和矩阵的奇异值分解，给出酉不变范数几何-算术平均值不等式的一个新的证明；同时，我们还讨论了奇异值Heinz不等式，最后讨论了Zhan猜想。第4章，利用标量不等式、奇异值的极值原理以及Horn不等式，得到几个关于奇异值弱对数受控的结果。第5章，利用矩阵的谱分解，讨论酉不变范数几何-算术平均值不等式、酉不变范数Heinz不等式、酉不变范数Young型不等式，所得结果是同行前期结果的改进或推广；在这章的末尾，我们给出Bhatia 和 Kittaneh在1998年得到的一个结果的几种不同推广。第6章，我们对其他经典算子不等式诸如Hermite-Hadamard积分算子不等式、Samuelson型算子不等式及其应用进行研究，并得到一些有趣的结论。第7章，对所得的结果进行总结，并对相关问题进行讨论。 由于矩阵理论的研究内容十分丰富，和其他许多学科（如流体力学、计算数学、统计学以及生物和化学等交叉学科）有着紧密的联系，各种研究方法、研究技巧不断涌现。限于作者的水平和能力，书中难免存在诸多不妥，敬请读者给予批评和指正。 最后，作者衷心感谢申建伟教授、伍俊良教授等学术界前辈对本书的关心和帮助，感谢华北水利水电大学数学与统计学院各方面的支持。 曹海松 2021年夏于郑州

概论 1 第1章 预备知识 7 1.1 算子L?wner偏序 7 1.2 矩阵奇异值不等式 12 1.3 其他经典算子不等式的研究 14 1.3.1 Hermite-Hadamard型的积分算子不等式 14 1.3.2 Samuelson型的算子不等式 18 第2章 算子L?wner偏序 21 2.1 引言 21 2.2 算子Bohr型不等式 22 2.3 算子Dunkl-Williams型不等式 29 2.4 Tsallis相对算子熵 34 2.5 改进的均值不等式及其应用 39 2.6 本章小结 43 第3章 矩阵奇异值不等式 44 3.1 引言 44 3.2 奇异值几何-算术平均值不等式及其应用 45 3.3 奇异值Heinz不等式 49 3.4 本章小结 55 第4章 奇异值弱对数受控 57 4.1 引言 57 4.2 矩阵之差的奇异值弱对数受控 57 4.3 矩阵之积的奇异值弱对数受控 59 4.4 本章小结 62 第5章 矩阵酉不变范数不等式 63 5.1 引言 63 5.2 酉不变范数几何-算术平均值不等式 64 5.3 酉不变范数Heinz不等式 68 5.4 酉不变范数Young型不等式 75 5.5 Bhatia和Kittaneh结果的推广 80 5.6 本章小结 84 第6章 其他形式的算子不等式 85 6.1 其他Young型的算子不等式 85 6.1.1 引言 85 6.1.2 标量形式的Young型及其逆不等式 99 6.1.3 算子形式的Young型及其逆不等式 108 6.1.4 Hilbert-Schmidt范数下的Young及其逆不等式 113 6.1.5 酉不变范数下矩阵形式的Young及其逆不等式 120 6.1.6 本节小结 125 6.2 Hermite-Hadamard型的积分算子不等式 125 6.2.1 引言 126 6.2.2 二维直角坐标系中s-凸函数型的Hermite-Hadamard积分算 子不等式 128 6.2.3 本节小结 136 6.3 Samuelson型的算子不等式 136 6.3.1 引言 136 6.3.2 Samuelson型的算子不等式的推广形式 139 6.3.3 Samuelson型的算子不等式的应用 140 6.3.4 本节小结 148 6.4 本章小结 148 第7章 总结与讨论 149 参考文献 151