本书是岭南师范学院2022年筑峰计划专项项目资助的研究成果，是一本集理论方法、实践案例及实验应用为一体的概率论与数理统计教材。全书注重介绍概率论与数理统计的思想与方法，适当减少数理论证的过程，强调随机思想与方法的应用，书中选用大量有实际应用场景的案例及例题，有利于培养学生的实践应用能力。同时，本书还充分利用数据图表及概率统计实验的优势，将抽象难懂的概念和定理直观化、形象化，有助于读者掌握重点、突破难点，也可以提高教材的可读性、趣味性。本书融入了编者们多年从事概率论与数理统计教学实践的心得和体会，在结构体系、内容组织、习题选择、案例编排及实验设计等方面充分考虑地方本科院校的实际教学需求，力求适用于地方本科院校。本书可作为地方本科院校及高职高专院校的“概率论与数理统计”课程的教材，也可作为感兴趣的读者的参考用书。

“概率论与数理统计”是一门研究随机现象统计规律性的课程，它以随机现象为研究对象，有较强的应用背景和应用前景。概率论着眼于随机现象统计规律的演绎研究，而数理统计则是随机现象统计规律的归纳研究，二者互相联系、互相渗透，随着大数据时代的到来，概率论与数理统计得到了蓬勃的发展，不仅形成了结构庞大的理论，而且在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等领域得到了越来越广泛的应用，同时也为大数据、机器学习、人工智能等新兴科技领域提供了必要的理论基础。 现行高等院校“概率论与数理统计”教学中采用的教材在内容编排上普遍存在着“重概率、轻统计，重理论、轻实践”的现象，导致大学“概率论与数理统计”的课堂教学中过多地强调理论的严谨性，宝贵的课堂时间大多花在了定义的讲述、定理的证明及习题的演算，而忽略了知识的实践应用。在此教学背景下，学生普遍发现“概率论与数理统计”课程很难学，教学内容枯燥无趣，对随机思想与统计方法一知半解，更擅长套公式解习题，难以培养学生的实践应用能力。为此，编者们在借鉴国内外院校优秀教学经验的基础上，参考市面上的优秀教材，结合编者们多年的教学经验，采用案例导入、案例示范分析、案例任务驱动、实验强化的脉络编写本书，通过案例导入知识点以增强本书的可读性及趣味性，针对教学内容的重点及难点精心设计简易的概率统计实验，将概念和定理直观化、形象化，令学生在实验探索的过程中逐渐加深对知识的理解，将学生的学习过程从被动接受变为主动探索。 本书具有以下主要特色。 （1）厚基础、重应用。本书着重介绍概率论与数理统计的思想与方法，适当减少数理论证的过程，强调培养学生使用随机思想、方法和解决问题的能力。书中选用大量有实际应用场景的案例及例题，将抽象的数学理论、方法与生产生活的实际问题相关联，让学生认识到知识源于实践、用于实践，有利于培养学生的实践应用能力。 （2）实验强化。本书中针对每个知识重点及难点精心设计了12个概率统计实验，这些实验基于Python开源平台，实验环境配置简单易行，通过计算机软件的模拟将概念定理直观化、形象化。教师可在教学过程中结合教学内容布置自主实验，让学生课外完成实验任务，有利于学生在实验探索的过程中逐渐强化对所学知识的理解，将学习从被动接受转变为主动探索。 （3）概念图表化。本书充分利用图表数据及实验模拟的优势，构建概念框架图，帮助学生掌握抽象难懂的概念。例如，概率密度函数往往是初学者难以理解的部分，书中通过电子元件寿命频率分布图的外轮廓曲线拟合图来导入概率密度函数的定义；又如，书中通过收集某市高中生数学与物理的成绩数据来分析这两门课程的相关关系并导入回归分析的概念等。 （4）习题巩固。书中在每章后精选了有代表性的习题，方便读者进行知识巩固，掌握学习重点、难点，并尽量将习题与现实社会及经济生活场景相融合，促进学生深入掌握本课程的基本理论与方法，并能解决实际问题，培养学生的拓展性思维。 全书共10章，带*的章节为选学内容，可根据教学需要进行适当的增删。第1章至第5章介绍概率论的基本内容，包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理；第6章至第9章介绍了数理统计的基本概念，包括数理统计的基本知识、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析；第10章为概率统计实验，按教学内容的重点和难点针对性地设计了12个经典的概率统计实验。 本书由岭南师范学院的黄福员、华南理工大学的邓雪担任主编，岭南师范学院的赵海清、华南师范大学的熊志斌、湛江幼儿师范专科学校的全文贵担任副主编。黄福员负责总体构思、内容设计、结构安排，撰写了第1章、第2章、第10章；邓雪参与构思设计，撰写了第3章、第5章；赵海清撰写了第8章、第9章；熊志斌撰写了第6章、第7章；全文贵撰写了第4章、附表及参考答案。 本书在编写过程中参考了相关文献资料及同类教材，在此向其作者表示衷心的感谢！ 由于编者水平有限，书中难免存在不足之处，敬请广大读者批评指正。 编者 ? 2022年10月

目录 第1章 随机事件与概率 1 1.1 随机事件及其运算 1 1.1.1 随机试验 1 1.1.2 随机事件 2 1.1.3 随机事件的关系与运算 3 1.2 概率的定义及性质 5 1.2.1 古典概型 5 1.2.2 几何概型 8 1.2.3 频率与概率 9 1.2.4 概率的公理化定义及性质 11 1.3 条件概率 13 1.3.1 条件概率的定义 13 1.3.2 乘法公式 15 1.3.3 全概率公式 16 1.3.4 贝叶斯公式 18 1.4 随机事件的独立性 21 *1.5 典型例题 23 习题1 25 第2章 随机变量及其分布 28 2.1 随机变量的概念 28 2.2 离散型随机变量 30 2.2.1 离散型随机变量分布 30 2.2.2 常用的离散型随机变量分布 31 2.3 随机变量的分布函数 36 2.4 连续型随机变量的概率密度 39 2.4.1 概率密度 39 2.4.2 常用的连续型随机变量分布 42 2.5 随机变量函数的分布 47 2.5.1 离散型随机变量函数的分布 48 2.5.2 连续型随机变量函数的分布 49 *2.6 典型例题 52 习题2 55 第3章 多维随机变量及其分布 60 3.1 随机向量的分布 60 3.1.1 多维随机变量及其分布函数 60 3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律 62 3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度 64 3.1.4 二维随机变量的边缘分布 67 3.2 条件分布与随机变量的独立性 70 3.2.1 条件分布 71 3.2.2 随机变量的独立性 74 3.3 二维随机变量函数的分布 76 3.3.1 离散型随机变量函数的分布 76 3.3.2 连续型随机变量函数的分布 77 *3.4 典型例题 80 习题3 84 第4章 随机变量的数字特征 89 4.1 数学期望 89 4.1.1 数学期望的概念 89 4.1.2 随机变量函数的数学期望 92 4.1.3 数学期望的性质 95 4.2 方差 96 4.2.1 方差的概念 97 4.2.2 方差的性质 99 4.2.3 常用分布的期望与方差 100 4.3 协方差、相关系数及矩 100 4.3.1 协方差 100 4.3.2 相关系数 101 4.3.3 矩及协方差矩阵 104 4.4 典型例题 104 习题4 110 5 大数定律与中心极限定理 113 5.1 切比雪夫不等式 113 5.2 大数定律 114 5.3 中心极限定理 116 *5.4 典型例题 119 习题5 121 第6章 数理统计的基础知识 122 6.1 数理统计的基本概念 122 6.1.1 总体与个体 122 6.1.2 样本与统计量 124 6.2 常用的统计分布 128 6.2.1 分位数 128 6.2.2 分布 129 6.2.3 t分布 131 6.2.4 F分布 134 6.3 正态总体的抽样分布 135 6.3.1 单正态总体的抽样分布 136 6.3.2 双正态总体的抽样分布 136 *6.4 典型例题 138 习题6 139 第7章 参数估计 141 7.1 点估计 141 7.1.1 频率替代法 142 7.1.2 矩估计法 142 7.1.3 最大似然估计法 145 7.2 估计量的评价标准 148 7.2.1 无偏性 148 7.2.2 有效性 150 7.2.3 一致性 151 7.3 区间估计 152 7.3.1 区间估计的概念 152 7.3.2 单正态总体的置信区间 155 7.3.3 双正态总体的置信区间 157 *7.3.4 单侧置信区间 161 7.3.5 非正态总体均值的置信区间 162 *7.4 典型例题 163 习题7 168 第8章 假设检验 170 8.1 假设检验的基本概念 170 8.1.1 假设检验问题 170 8.1.2 假设检验的基本思想 171 8.1.3 假设检验中的两类错误 174 *8.1.4 p值检验法 174 8.2 单个正态总体参数的检验 176 8.2.1 单个正态总体均值的假设检验 176 8.2.2 单个正态总体方差的假设检验 179 8.3 两个正态总体参数的假设检验 182 8.3.1 两个正态总体均值的假设检验 182 8.3.2 两个正态总体方差比的假设检验 185 *8.4 非正态总体参数的假设检验 188 8.4.1 随机事件概率p的假设检验 188 8.4.2 非正态总体的大样本检验 189 *8.5 非参数检验 190 习题8 193 *第9章 回归分析与方差分析 196 9.1 回归分析 196 9.1.1 回归分析的相关概念 196 9.1.2 一元线性回归 198 9.1.3 参数估计的最小二乘法 199 9.1.4 回归方程的显著性检验 204 9.1.5 估计与预测 206 9.2 单因素方差分析 208 9.2.1 方差分析问题 208 9.2.2 单因素方差分析法 209 习题9 214 *第10章 概率统计实验 216 10.1 蒙特卡罗模拟实验 216 10.1.1 蒲丰投针实验模拟 217 10.1.2 随机投点法计算圆周率 218 10.2 常见分布及关系实验 219 10.2.1 常见离散型分布 219 10.2.2 常见连续型分布 223 10.2.3 常用的统计分布 226 10.3 中心极限定理验证实验 231 10.3.1 大数定律验证实验 231 10.3.2 泊松分布验证中心极限定理 232 10.4 参数估计实验 233 10.4.1 矩估计和极大依然估计 233 10.4.2 区间估计 237 10.5 假设检验实验 239 10.5.1 单正态总体参数的假设检验 239 10.5.2 双正态总体参数的假设检验 241 10.5.3 非参数假设检验 243 10.6 回归分析与方差分析实验 245 10.6.1 一元线性回归分析实验 245 10.6.2 单因素方差分析实验 247 10.7 Python在线编程方法 250 附表 常用分布 253 习题参考答案 266 参考文献 280