本书为《高等数学》的同步辅导教材。全书按照一元函数微分学、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学和无穷级数的顺序编排，每节包括四个部分：重要知识点、例题辨析、真题演练和真题演练解析。本书的重点内容为“重要知识点”和“例题辨析”。在“重要知识点”中系统梳理和凝练了高等数学重要知识点和难点，以及常见解题方法的总结与注意要点。在“例题辨析”中结合编者多年的教学实践，对学生学习过程中常见的错误进行剖析和总结，并通过相似的题目举一反三，加深学生对内容的理解。

高等数学是大学理工科各专业学生必修的一门重要数学基础课程，它不仅是数学其他分支的基础，还是后续专业知识的基石，蕴含着丰富的数学思想和方法。高等数学对于夯实学生数学基础，培养学生应用所学知识分析和解决实际问题，形成科学的思维观和方法论，都是至关重要的。 本书结合作者多年的教学实践和全国硕士研究生入学统一考试的数学考试大纲中有关高等数学部分的内容编写而成，既适合大学一年级学生深入理解基本概念，又适合大学高年级学生作为考研辅导参考书。 全书共12章，每节包括四个部分的内容：一是“重要知识点”，系统梳理和凝练本节重要知识点和难点；二是“例题辨析”，结合编者多年的教学实践，对学生学习过程中常见的错误进行总结，剖析在概念理解、方法掌握、定理应用等方面容易出现的错误及错误产生的深层次原因后，结合所学知识点给出正确的解法，并通过相似的题目举一反三，加深学生对内容的理解，引导学生对知识点进行巩固和提高；三是“真题演练”，针对重要知识点，结合研究生入学考试和大学生数学竞赛的真题进行训练，提高学生的综合应用能力；四是“真题演练解析”，给出了真题详细的解答过程。 本书的出版得到了信息工程大学基础部的大力支持和资助，在此深表感谢！ 由于编者水平有限，书中难免有疏漏之处，恳请读者批评指正。 作者 2021年3月

第1章 函数与极限 1 1.1 映射与函数 1 1.2 数列的极限 4 1.3 函数的极限 10 1.4 无穷小与无穷大 14 1.5 极限运算法则 16 1.6 极限存在准则和两个重要极限 21 1.7 无穷小的比较 25 1.8 函数的连续性与间断点 28 1.9 连续函数的运算及初等函数的连续性 33 1.10 闭区间上连续函数的性质 35 第2章 导数与微分 38 2.1 导数概念 38 2.2 函数的求导法则 45 2.3 高阶导数 49 2.4 隐函数及由参数方程所确定函数的导数和相关变化率 52 2.5 函数的微分 59 第3章 微分中值定理及导数的应用 63 3.1 微分中值定理 63 3.2 洛必达法则 69 3.3 泰勒公式 75 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 81 3.5 函数的极值与最大值最小值 87 3.6 函数图形的描绘 92 3.7 曲率 95 第4章 不定积分 98 4.1 不定积分的概念与性质 98 4.2 换元积分法 101 4.3 分部积分法 104 4.4 简单的有理函数的积分 109 第5章 定积分 112 5.1 定积分的概念与性质 112 5.2 微积分基本公式 116 5.3 定积分的换元法和分部积分法 122 5.4 反常积分 129 第6章 定积分的应用 133 6.1 定积分在几何学上的应用 133 6.2 定积分在物理学上的应用 140 第7章 微分方程 145 7.1 微分方程的基本概念 145 7.2 可分离变量的微分方程 147 7.3 齐次方程 151 7.4 一阶线性微分方程 153 7.5 可降阶的高阶微分方程 157 7.6 高阶线性微分方程 160 7.7 常系数齐次线性微分方程 163 7.8 常系数非齐次线性微分方程 166 第8章 空间解析几何与向量代数 169 8.1 向量及其线性运算 169 8.2 数量积、向量积和混合积 172 8.3 曲面及其方程 174 8.4 空间曲线及其方程 176 8.5 平面及其方程 179 8.6 空间直线及其方程 181 第9章 多元函数微分学及其应用 187 9.1 多元函数的极限及连续性 187 9.2 多元函数偏导数 191 9.3 全微分 196 9.4 多元复合函数的求导法则 201 9.5 方程确定的隐函数的导数 208 9.6 多元函数微分学的几何应用 216 9.7 方向导数与梯度 220 9.8 多元函数的极值及求法 224 第10章 重积分 231 10.1 二重积分的概念与性质 231 10.2 二重积分的计算 235 10.3 三重积分 243 10.4 重积分的应用 248 第11章 曲线积分和曲面积分 253 11.1 对弧长的曲线积分 253 11.2 对坐标的曲线积分 256 11.3 格林公式及其应用 260 11.4 对面积的曲面积分 265 11.5 对坐标的曲面积分 270 11.6 高斯公式 通量与散度 274 11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 279 第12章 无穷级数 283 12.1 常数项级数的概念和性质 283 12.2 常数项级数的审敛法 286 12.3 幂级数 294 12.4 函数展开成幂级数 300 12.5 函数的幂级数展开式的应用 304 12.6 傅里叶级数 306 12.7 一般周期函数的傅里叶级数 310