本书主要介绍研究时滞动力系统分支问题的常用方法，基于时滞非线性系统的分支理论结合典型实例，详细阐述分支理论的具体运用，从理论和数值模拟上讨论了几类时滞非线性模型的分支问题，包括具有时滞的双参数模型的分支问题、具有时滞的寡头博弈模型的分支问题、具有时滞的Goodwin 基因表达模型的分支问题、具有状态依赖时滞的基因表达模型的分支问题及具有时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支问题。

在众多自然与社会现象中有一类确定性的运动规律，可以用含有一个自变量（通常表示 时间）的未知函数及其微分或导数的方程描述，这类方程即常微分方程。然而，客观事物的 运动规律是复杂多样的，事物的发展趋势不仅依赖于事物当前的状态，而且依赖于事物过去 的状态。一言以蔽之，需要考虑时间滞后的现象——“时滞” 现象。也就是说，大多数场合下 将常微分方程作为动力系统的模型只是一种近似，而且这种近似是有条件的，只有符合一定 条件的系统才可以略去时滞，否则会导致错误的数学描述。 要准确描述既依赖于当前状态又依赖于过去状态的发展系统（通常称为时滞动力系统）， 就必须引入包含时滞的微分方程—— 时滞微分方程，它可以充分考虑到系统的历史对现状 的影响，在自然科学、工程技术和社会科学等领域都有重要的应用。例如，在许多工程应用 中，尽管时滞量很小，但是常常会影响整个系统的稳定性，因此通过研究基于工程实际抽象 出来的时滞微分方程，可以明确时滞对系统稳定性的影响。 时滞动力系统是由时滞微分方程描述的无穷维动力系统。无论时滞有多小，系统的状态 空间都是无穷维的，其解空间也是无穷维的，即相应的线性化系统的特征方程有无穷个根。 这就使得时滞动力系统与非时滞动力系统相比，在很多方面都具有本质的差异，其动力学行 为也完全不同，呈现出非常复杂的现象。例如，就简单的一阶自治非线性系统而言，当不存 在时滞时，或收敛于稳定的平衡点，或呈现出周期振荡现象，或发散；当存在时滞时，系统 就可能出现各种分支甚至混沌行为。 对时滞动力系统而言，时滞的存在常常导致系统失去稳定性，产生各种形式的分支。分 支是指依赖于参数的系统中当参数变化且经过某些临界值时系统某些属性发生的突然变化； 对具体的方程而言，分支是指参数在临界值附近发生微小变化时方程解的性质或结构的突 变。分支现象广泛存在于自然界中，其研究可以追溯到18 世纪以来对天体力学、弹性力学、 流体力学和非线性振动的失去稳定性现象的探讨。直至20 世纪70 年代，由于动力系统、非 线性分析和非线性微分方程等方面研究的推动，以及强有力的数值计算手段的协助，开始形 成分支研究的数学理论和方法，并得到广泛应用。在时滞动力系统的分支中，Hopf 分支是普 遍存在的，且是讨论得最为广泛的。研究Hopf 分支通常采用中心流形定理与规范型理论，中 心流形定理在理论上比较完备，但缺点是过程繁琐且计算量大。关于时滞动力系统分支的研 究目前主要集中在Hopf 分支方面，因此本书着重阐述时滞动力系统的Hopf 分支问题。 全书共分7 章。第1 章是绪论，介绍了研究分支问题的常用方法；第2 章研究了具有时 滞的双参数模型的分支问题；第3 章研究了具有时滞的寡头博弈模型的分支问题；第4 章研 究了具有时滞的Goodwin 基因表达模型的分支问题；第5 章研究了具有状态依赖时滞的基 因表达模型的分支问题；第6 章研究了具有时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支问题； 第7 章是对时滞非线性系统分支问题的结论与展望。 本书可作为高等学校基础数学、应用数学、系统理论等相关专业高年级本科生、研究生 学习有关非线性系统分支理论的参考书，也可供从事非线性系统理论研究的相关人员借鉴 和参考。 本书由于晋臣、张彩艳共同完成。其中，第5 章由张彩艳完成，其余章由于晋臣完成。 限于著者水平，书中错误与不足之处在所难免，殷切期望广大读者批评指正！

第1 章绪论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 背景及意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 研究方法概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 时域法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 频域法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 多尺度方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 本书的主要工作. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 第2 章具有时滞的双参数模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 多项式(2.8) 的二重根? = 1 或?1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.2.2 多项式(2.8) 当j?j = 1 时的曲线和j?j ＜ 1 时的区域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 等变结构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4 进一步讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.4 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 第3 章具有时滞的寡头博弈模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 模型的建立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 局部稳定性和Hopf 分支. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Hopf 分支的方向和稳定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.6 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 第4 章具有时滞的Goodwin 基因表达模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 4.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Hopf 分支的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 4.3 分支周期解的方向与稳定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 分支周期解的全局存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 4.6 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 第5 章具有状态依赖时滞的基因表达模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2 平衡点的稳定性与Hopf 分支的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 扰动方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 5.4 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 5.4.1 线性时滞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4.2 二次时滞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4.3 指数时滞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 第6 章具有时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1 具有离散时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.2 Hopf 分支的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.3 Hopf 分支的方向与分支周期解的稳定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.4 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 具有离散时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2.1 Hopf 分支的时滞反馈控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2.2 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3 具有离散时滞和分布时滞的Kaldor-Kalecki 商业周期模型的分支分析. . . . . . . . . . . 97 6.3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3.2 Hopf 分支的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.3.3 Hopf 分支的方向和稳定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3.4 数值仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 第7 章结论与展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 7.1 结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2 展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 参考文献. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112