数论是研究整数性质的一个重要数学分支。本书向读者介绍了整数的整除理论、同余理论、不定方程和原根、指标与数论函数等的基础知识和常用方法。本书主要分为5章，为方便中学生学习数论，每章均配备了初等而有趣的应用问题，即中学数学竞赛中的数论题目。本书既可作为高等院校数学专业的教学用书，也可作为对初等数论感兴趣人员的参考用书。

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。数论早期称为算术，到20世纪初，才开始使用数论这个名称，而狭义的算术为“基本运算”。从方法论的角度来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是数论的一个最古老的分支，用初等的、朴素的算术方法去研究整数，其主要内容包括整数的整除理论、同余理论、不定方程和连分数理论等。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具和方法，它大致包括代数数论、解析数论、超越数论、计算数论、几何数论、组合数论等。 数论已经有2400多年的历史。古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—公元前500）是研究初等数论的先驱，毕达哥拉斯学派追崇“万物皆数”的哲学宇宙观，致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数等）及特殊不定方程的研究。 亲和数（也称相亲数）是指两个正整数，彼此的全部真因数之和等于另一方。比如220与284，等等。毕达哥拉斯曾说：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”完全数（也称完美数）是指一个数恰好等于它的全部真因数之和，如6、28等。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻，以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。” 公元前300年，欧几里得（Euclid，约公元前330—公元前275）发现了素数是数论的基石，并证明了素数有无穷多个，在其巨作《几何原本》中初步建立了整数的整除理论。初等数论主要的问题之一就是寻找一个可以表示一切素数的通项公式。为此，数学家耗费了巨大的心血。 公元3世纪，丢番图（Diophantus，约246—330，代数学的鼻祖，著有《算术》一书）研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法。后人称不定方程为丢番图方程。 公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，约598—660）提出了负数的概念。婆罗摩笈多对数学最突出的贡献为解不定方程Nx2+1=y2。在欧洲，这类方程由费马（Fermat，1601—1665，法国）提出，但后来被欧拉（Euler，1707—1783，瑞士）误记为佩尔（Pell）提出，并写入他的著作中，后人多称这类方程为佩尔方程，延续至今。 自17世纪以来，费马、梅森（Mersenne，1588—1648，法国）、欧拉、拉格朗日（Lagrange，1736—1813，法国）、高斯（Gauss，1777—1855，德国）、勒让德（Legendre，1752—1833，法国）、黎曼（Riemann，1826—1866，德国）、希尔伯特（Hilbert，1862—1943，德国，20世纪最伟大的数学家之一，被后人称为“数学世界的亚历山大”）等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。数论研究的核心内容还是围绕着以寻找素数通项公式为主线的思想，在研究方法上因微积分的诞生开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，并提出了越来越多一时无法解决的猜想，如费马猜想（1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明）、孪生素数猜想、梅森素数猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。 到了18世纪末，德国数学家高斯集前人的大成，在1801年发表了著作《算术研究》，开启了现代数论的新纪元。高斯在这一著作中提出了同余理论，还发现了著名的二次互反律，并将其誉为“数论之酵母”。高斯提出了著名的素数定理，研究了指标和估计问题——表示论的雏形。 黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系，由此将数论领入分析的领域。这方面主要的代表人物还有著名数学家哈代（Hardy，1877—1947，英国）、李特尔伍德（Littlewood，1885—1977，英国）、拉马努金（Ramanujan，1887—1920，印度）等。在国内，则有华罗庚（1910—1985）、陈景润（1933—1996）、王元（1930—2021）等。 因为此前人们一直关注费马猜想的证明，所以又发展出代数数论的研究课题。比如库默尔（Kummer，1810—1893，德国）提出了理想数的概念；高斯研究了复整数环的理论；代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。随着数学工具的不断深化，数论开始和代数几何深刻联系起来，最终发展成为当今最深刻的数学理论，如算术、代数、几何，它们将此前的许多研究方法和研究观点统一起来，让数学家从一个全新的视角和高度，开始了数论研究的新征途。 1967年，朗兰兹（Langlands，1936—，加拿大）提出了朗兰兹纲领，该理论将数论与群论、代数、几何等建立了联系。朗兰兹纲领以数论研究为中心，对一系列的猜想进行了更加深入的研究，其中就包括著名的黎曼猜想。朗兰兹纲领已成为未来数学发展的重要方向之一。2002年的菲尔兹奖得主拉佛阁（Lafforgue，1966—，法国）在朗兰兹纲领的研究上取得了巨大的进展，他证明了与函数域情形相对应的整体朗兰兹纲领。朗兰兹纲领的根源为二次互反律，它提出的崭新的数学思想，使现代数论的研究迎来了新的春天。 数论不仅是纯粹数学的基础学科，也是许多学科的重要工具。由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论、密码学、信息论等方面都广泛使用了初等数论的许多研究成果，公开密钥密码体制的提出是数论在密码学中的重要应用。 中国古代对数论的研究也有着光辉的成就，在以下古代文献中都有记载：《周髀算经》（约公元前1世纪）、《九章算术》（约1世纪）、《孙子算经》（南北朝）、《张邱建算经》（约5世纪）、《数书九章》［南宋，秦九韶（1208—1268）］等，其中，著名的孙子定理的提出时间比欧洲早500年，西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的“大衍求一术”也闻名世界。 从20世纪30年代开始，我国在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、陈景润、潘承洞等一流的数论专家，其中，华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有盛名。1949年以后，数论的研究取得了更大的进展。陈景润、王元等在筛法和哥德巴赫猜想方面的研究，取得了世界领先地位；周海中在著名数论难题——梅森素数分布的研究中也取得了世界领先的卓著成绩。 数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，而数论中那些悬而未决的猜想，便是“皇冠上的明珠”，激励着数学家勇敢地上前摘取。近年来数论研究取得了多项突破性进展，这让数学界人士感到万分惊喜。美国佛罗里达州奥卡拉的帕特里克·拉罗什通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”的国际合作项目，在2018年12月7日发现了目前已知的最大素数——282589933-1，该素数是第51个梅森素数，有24862048位。但梅森素数是否有无穷多个？这仍是一个尚未破解的著名数学谜题。 五彩斑斓的数论世界，在历史各个时期，特别是自微积分诞生之后，吸引了无数的数学家投身其中，取得了丰富多彩的成果，要将如此丰硕的成果呈现于一本数学本科专业的教材中不太现实，要编写出一本出色的初等数论教材也绝非易事。本书作为初等数论课程的本科生教材，只是介绍初等数论的最基础的知识，目前相关的教材也已不胜枚举，本书立足师范专业的特色，为培养中学数学师资提供良好的参考资料。本书在借鉴同类优秀教材的基础上，结合教学团队多年的教学经验及教学讲义进行编写，力求在以下几个方面做出有益的尝试。 1．渗透数学思想方法，着力提升学生的逻辑推理、数学抽象等数学思维能力，把数论思想的独特性、灵活性、高阶性与具体的实例相结合，通过精选有思维梯度的贴切而有趣的典型例子，使“思想独特、不好理解，技巧灵活、不易掌握”的内容变得有滋有味，变得可学、能学且容易学。 2．体现师范专业特色，突出面向中学的数论思维训练，为培养中学数学竞赛特长生提供平台资源，也为初等数论这门选修课培养数论后备师资，同时为学有余力，有志于数论研究的学生打下坚实的学术基础。 3．注重培养学生的创新意识和解决问题能力，尤其能运用数论知识解决一些实际问题的能力。 本书内容安排为5章：第1章为整除理论；第2章为同余；第3章为不定方程；第4章为同余式；第5章为原根、指标与数论函数。根据我们的经验，作为选修课，在每周3学时（每学时40分钟）的课时安排下，基本上可以讲授前4章中的核心内容。本书每章专门设置一节探究和拓展，精选了中学数学特别是竞赛数学中的一些真题及有趣问题，并且以二维码的方式链接了若干数论学家的阅读材料。本书也配有合适数量的习题，其中有基础的，也有需要一定技巧的，能较好地满足教与学的需求。 本书获浙江师范大学教材建设基金立项资助。本书由浙江师范大学的朱伟义主编，其从事数论教学二十余年。参与编写的还有（按姓氏笔画序）浙江师范大学的王瑾、严葵华，浙江省义乌中学的一线名师苏卫军。在编写过程中，征求了许多兄弟院校从事初等数论教学和研究的一线教师的意见和建议，吸收了他们的有关成果和经验，在此谨表示最衷心的感谢。同时编者深感学识有限，疏忽错误在所难免，恳望同仁批评指正。 编 者 2022年9月

第1章 整除理论 1 1.1　整除与带余除法 1 习题 5 1.2　最大公因数与最小公倍数 5 1.2.1 最大公因数 6 1.2.2 最小公倍数 9 习题 11 1.3　素数与算术基本定理 11 1.3.1 素数 12 1.3.2 算术基本定理 14 习题 16 1.4　函数[x]与{x} 17 习题 19 1.5　探究与拓展 20 真题荟萃 20 习题 26 第2章 同余 27 2.1 同余的概念和性质 27 习题 32 2.2 完全剩余系与简化剩余系 33 2.2.1　完全剩余系 33 2.2.2　简化剩余系 35 习题 37 2.3 欧拉定理与费马小定理 38 习题 42 2.4 探究与拓展 42 真题荟萃 42 习题 49 第3章 不定方程 50 3.1 一次不定方程 50 3.1.1　二元一次不定方程 50 3.1.2　多元一次不定方程 52 习题 54 3.2 特殊的二次不定方程 55 3.2.1　商高方程x2+y2=z2 55 3.2.2　佩尔方程 60 习题 62 3.3 几类特殊不定方程的初等解法 62 习题 66 3.4 探究与拓展 66 真题荟萃 66 习题 73 第4章 同余式 75 4.1 同余式的基本概念 75 习题 78 4.2 一次同余式组和孙子定理 78 习题 84 4.3 模p?的同余式与素数模的同余式 84 4.3.1　模p?的同余式 84 4.3.2　素数模同余式的性质 86 习题 89 4.4 二次同余式和平方剩余 90 4.4.1　素数模的二次同余式 90 4.4.2　Jacobi符号 102 4.4.3　合数模两次同余式 106 习题 108 4.5 探究与拓展 108 真题荟萃 108 习题 115 第5章 原根、指标与数论函数 116 5.1 原根及其存在性 116 5.1.1　阶数与原根的概念及基本性质 116 习题 119 5.1.2　原根存在的条件 119 习题 125 5.2 指标与指标组 125 5.2.1　指标与n次剩余 125 习题 130 5.2.2　模2n及合数模的指标组 131 习题 134 5.3 数论函数 134 5.3.1　数论函数的概念及应用 134 习题 136 5.3.2　积性函数 136 习题 139 5.3.3　M?bius变换 140 习题 143 5.4 探究与拓展 143 习题 147 参考文献 148