本书系统地阐述了复变函数论、数学物理方程的各种解法、特殊函数以及计算机仿真编程实践等内容，对培养思维能力和实践编程能力具有指导意义。本书在取材的深度和广度上充分考虑到前沿学科领域知识内容，形成了具有前沿学科特点的数学物理方法与计算机仿真相结合的系统化理论体系。 本书结构层次清晰，理论具有系统性和完整性，重点立足于对思维能力的培养，加强计算机仿真能力的训练，分别介绍了复变函数、数学物理方程和特殊函数的计算机仿真求解及其解的仿真图形显示。习题解答和仿真程序等可以通过网络下载。 本书可作为物理学、地球物理学、电子信息科学、光通信技术、空间科学、天文学、地质学、海洋科学、材料科学等学科领域的理工科大学本科教材，也可供相关专业的研究生、科技工作者作为参考资料并进行计算机仿真训练。     读者对象：物理学、地球物理学、电子信息科学、光通信技术、空间科学、天文学、地质学、海洋科学、材料科学等专业方向的学生，相关技术人员

序 将数学思想方法应用于现代高新技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和研究目标。建立数学物理模型并给出解决方法，尤其是计算机仿真解法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。 在这里，不妨引用柯朗在《数学物理方法》一书（德文版，序言）中的一段话加以描述，“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体性。而且在许多情况下，物理学家也不再体会数学家的观点，这种分裂无疑地对于整个科学界是一个严重的威胁。科学发展的洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引导我们的努力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明，以重新统一这种分离的趋向"(译文引自该书中译本)。或许我们今天所应做的正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是将这种分裂进行重新统一并实现有机结合的具体体现。 本书系统阐述了复变函数论、数学物理方程、特殊函数以及计算机仿真编程实践四篇内容，精妙的数学思想与深刻的物理内涵在浅显的文字和系统的逻辑思维下，显得易于理解并颇具趣味性。本书既加强了数学理论和物理模型的联系，也加强了数学物理问题中典型实例的计算机仿真方法。计算机仿真编程篇中详细给出了计算机仿真编程思想和实践方法，这对于加强计算机仿真求解数学物理典型问题具有积极的理论意义和实际意义。使用计算机仿真软件解决专业技术问题（建立物理模型）是科学工作者进行科学研究最为重要的辅助设计方法。这无论对于培养大学本科生、研究生的理论知识水平和思维能力以及实践编程能力都具有积极的意义。 数学物理方法在高等数学和大学物理（包括力学、热学、声学、光学和电磁学）的基础上，既拓深了高等数学的内容，也给出了各个专业技术领域里具有普遍意义的典型物理模型的数学解法，同时为四大力学（理论力学、电动力学、统计力学和量子力学）和其他专业课程有关的数学物理问题做了准备，起到了承上启下的作用。本书既是数学理论的延续，也是物理模型的解决方法，是数学理论方法在专业理论中典型应用的系统性的产物，是数学和物理学系统理论的结晶。 本书不仅可以使读者学习到系统的基础理论，而且将引导读者通过对具体物理过程的分析，抓住主要因素，对物理现象建立系统的数学模型（即用数学理论来分析、模拟物理现象），并对数学模型（如微分方程）进行分析、求解（包括计算机仿真求解和动态演示），以达到对物理现象的深入了解。本书将引导读者从纯数学的学习转入到将数学和物理紧密结合，将抽象的数学理论应用于实际物理问题的具体方法的学习，有利于培养读者分析问题和解决问题的能力。 读者在学习本书中所获得的数理知识的提高以及思维能力的训练，将使他们终身受益。 中国科学院院士刘盛纲 2011年7月 前言 为适应21世纪“数学物理方法”课程教学改革发展的需要，并加强理、工科专业本科生（研究生）的计算机编程实践能力的培养，作者本着将系统的数学物理方法理论知识与计算机仿真编程实践相结合的愿望编写了本书。全书包括：复变函数篇、数学物理方程篇、特殊函数篇以及计算机仿真篇共4篇，系统而全面地阐述了数学物理方法的内容，加强了典型实例分析和理论总结。 复变函数篇系统阐述了复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数定理、保角变换、傅里叶变换和拉普拉斯变换，利用复变函数系统理论中的各种基本定理或公式求解一个典型的环路积分，从而将各章节的内容联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体。本篇加强了对发散思维的培养、创新思维的启发和计算机仿真编程实践能力的训练。 数学物理方程篇讨论了线性和非线性数学物理问题，主要对满足线性叠加原理的数学物理方程进行了详细讨论，包括数学模型的建立、数学物理方程的分类（双曲型、抛物型和椭圆型方程）和标准化，并详细讨论了线性方程的求解方法。求解方法具体包括：① 行波法（又称达朗贝尔解法）；② 分离变量法（数学物理方程的主要解法）；③ 幂级数解法；④ 格林函数法；⑤ 积分变换法；⑥ 保角变换法；⑦ 变分法；⑧ 计算机仿真解法（利用MATLAB中的偏微分方程工具箱PTEtool求解）。该篇最后对数学物理方程的解法进行了综述，对典型的非线性KdV方程给出了孤立波解，对典型的非线性Burgers方程给出了冲击波解。 特殊函数篇通过对勒让德方程、连带勒让德方程以及球谐函数方程解的讨论，分别引出了勒让德多项式、连带勒让德函数以及球函数，介绍了其基本性质及本征值问题，讨论了在定解问题中的应用；对贝塞尔方程解的讨论引出了第一、第二、第三类贝塞尔函数，介绍了贝塞尔函数的基本性质、本征值问题及其在定解问题中的应用；初步讨论了虚宗量贝塞尔方程、球贝塞尔方程的解及其对应的特殊函数性质。 计算机仿真篇主要介绍利用数学工具软件和常用计算机语言实现对复变函数、数学物理方程以及特殊函数的计算或求解进行计算机仿真。计算机仿真方法可以广泛应用于科学研究中，并能对研究结果进行直观的显示（对随时间变化的波动方程和热传导方程能动态演示解的图形分布）。 本书还有配套的丰富的网络资源，主要包括：① 数学物理基础篇（包括矢量基础和矢量场论部分）；② 全书习题答案，难题的详细解答，计算机仿真程序；③ 几类特殊函数（如埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等）的引入及其基本理论介绍；④ 典型的数学问题、物理问题、数学物理问题的讨论与计算机仿真，以及数学定理的仿真验证，从而加强创新思维的启发以及计算机仿真能力的训练；⑤ 电子课件。读者可从http://www.hxedu.com.cn（华信教育资源网）或http://www.uestc.edu.cn电子科技大学精品课程“数学物理方法”中下载。 本书中的部分理论、典型实例和计算机仿真源于作者在美国加州大学（圣巴巴拉分校）研究访问期间所查询的大量外国原版书籍内容，同时也参阅了大量国内同行专家们的文献资料，谨此向他们的辛勤劳动表示由衷的谢意！作者衷心感谢刘盛纲院士在百忙之中阅读了本书并提出了宝贵意见和建议。作者向本书的责任编辑和电子工业出版社的热情支持表示由衷的谢意！作者也为本书的编写付出过劳动的博士生、硕士生们表示感谢！他们是江萍、刘长久、徐权、伍振海、何修军、赵晓云等。 在本书落笔时，作者油然感悟到对浩瀚宇宙中科学知识的渴望和自身认知科学的肤浅。在荏苒的时光中，作者所想表达的愿望和读者的期望未必能达到和谐一致。限于作者水平，未能尽意的文字只能起到抛砖引玉的作用，谨此诚挚地希望广大读者提出宝贵意见和建议（Email：unicode@phei.com.cn或yanghj@uestc.edu.cn），疏漏之处恳请专家和读者不吝指正。 本书为教师提供相关教学资源，有需要者，请登录到http://www.hxedu.com.cn,注册之后进行下载。 作者

目　　录 第一篇　复变函数论 第1章　复数与复变函数2 1.1　复数概念及其运算3 1.1.1　复数概念3 1.1.2　复数的基本代数运算4 1.2　复数的表示4 1.2.1　复数的几何表示4 1.2.2　复数的三角表示5 1.2.3　复数的指数表示6 1.2.4　共轭复数6 1.2.5　复球面、无穷远点7 1.3　复数的乘幂与方根8 1.3.1　复数的乘幂8 1.3.2　复数的方根9 1.3.3　实践编程：正17边形的几何作图法10 1.4　区域11 1.4.1　基本概念11 1.4.2　区域的判断方法及实例分析13 1.5　复变函数14 1.5.1　复变函数概念14 1.5.2　复变函数的几何意义———映射15 1.6　复变函数的极限16 1.6.1　复变函数极限概念16 1.6.2　复变函数极限的基本定理16 1.7　复变函数的连续17 1.7.1　复变函数连续的概念17 1.7.2　复变函数连续的基本定理18 1.8　典型综合实例18 小结23 习题24 计算机仿真编程实践25 第2章　解析函数27 2.1　复变函数导数与微分27 2.1.1　复变函数的导数27 2.1.2　复变函数的微分概念29 2.1.3　可导的必要条件29 2.1.4　可导的充分必要条件31 2.1.5　求导法则32 2.1.6　复变函数导数的几何意义33 2.2　解析函数34 2.2.1　解析函数的概念34 2.2.2　解析函数的法则35 2.2.3　函数解析的充分必要条件35 2.2.4　解析函数的几何意义（映射的保角性） 38 2.3　初等解析函数39 2.3.1　指数函数（单值函数） 39 2.3.2　对数函数———指数函数的反函数（多值函数） 40 2.3.3　三角函数（单值函数） 42 2.3.4　反三角函数（多值函数） 44 2.3.5　双曲函数（单值函数） 44 2.3.6　反双曲函数（多值函数） 45 2.3.7　整幂函数ｚｎ（单值函数） 46 2.3.8　一般幂函数与根式函数ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函数） 46 2.3.9　多值函数的基本概念48 2.4　解析函数与调和函数的关系49 2.4.1　调和函数与共轭调和函数的概念49 2.4.2　解析函数与调和函数之间的关系50 2.4.3　解析函数的构建方法50 2.5　解析函数的物理意义———平面矢量场52 2.5.1　用解析函数表述平面矢量场52 2.5.2　静电场的复势52 2.6　典型综合实例54 小结57 习题57 计算机仿真编程实践58 第3章　复变函数的积分59 3.1　复变函数的积分59 3.1.1　复变函数积分的概念59 3.1.2　复积分存在的条件及计算方法60 3.1.3　复积分的基本性质60 3.1.4　复积分的计算典型实例61 3.1.5　复变函数环路积分的物理意义62 3.2　柯西积分定理及其应用63 3.2.1　柯西积分定理63 3.2.2　不定积分64 3.2.3　典型应用实例66 3.2.4　柯西积分定理（柯西古萨定理）的物理意义66 3.3　基本定理的推广———复合闭路定理67 3.4　柯西积分公式70 3.4.1　有界区域的单连通柯西积分公式70 3.4.2　有界区域的复连通柯西积分公式71 3.4.3　无界区域的柯西积分公式72 3.5　柯西积分公式的几个重要推论74 3.5.1　解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 74 3.5.2　解析函数的平均值公式76 3.5.3　柯西不等式76 3.5.4　刘维尔定理76 3.5.5　莫勒纳定理77 3.5.6　最大模原理77 3.5.7　代数基本定理77 3.6　典型综合实例78 小结82 习题84 计算机仿真编程实践85 第4章　解析函数的幂级数表示86 4.1　复数项级数的基本概念86 4.1.1　复数项级数概念86 4.1.2　复数项级数的判断准则和定理86 4.2　复变函数项级数88 4.3　幂级数90 4.3.1　幂级数概念90 4.3.2　收敛圆与收敛半径91 4.3.3　收敛半径的求法92 4.4　解析函数的泰勒级数展开式94 4.4.1　泰勒级数95 4.4.2　将函数展开成泰勒级数的方法96 4.5　罗朗级数及展开方法97 4.5.1　罗朗级数97 4.5.2　罗朗级数展开方法实例99 4.5.3　用级数展开法计算闭合环路 积分101 4.6　典型综合实例102 小结105 习题107 计算机仿真编程实践108 第5章　留数定理109 5.1　解析函数的孤立奇点109 5.1.1　孤立奇点概念109 5.1.2　孤立奇点的分类及其判断定理109 5.2　解析函数在无穷远点的性质113 5.3　留数概念114 5.4　留数定理与留数和定理116 5.5　留数的计算方法117 5.5.1　有限远点留数的计算方法117 5.5.2　无穷远点的留数计算方法119 5.6　用留数定理计算实积分120 5.6.1　∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型积分121 5.6.2　∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型积分122 5.6.3　∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型积分124 5.6.4　其他类型（积分路径上有奇点）的 积分计算举例126 5.7　典型综合实例128 小结131 习题133 计算机仿真编程实践134 第6章　保角映射135 6.1　保角映射的概念135 6.2　分式线性映射136 6.2.1　分式线性映射的概念136 6.2.2　两种基本映射137 6.2.3　分式线性映射的性质138 6.2.4　分式线性映射的确定及应用139 6.2.5　三类典型的分式线性映射142 6.3　几个初等函数所构成的映射145 6.3.1　幂函数映射145 6.3.2　指数函数ｗ＝ｅｚ映射146 6.3.3　儒可夫斯基函数映射147 6.4　典型综合实例148 小结150 习题152 计算机仿真编程实践153 第一篇复变函数论全篇总结框图153 第一篇综合测试题15 第7章　数学建模———数学物理定解 问题156 7.1　数学建模———波动方程类型的建立158 7.1.1　波动方程的建立158 7.1.2　波动方程的定解条件164 7.2　数学建模———热传导方程类型的建立165 7.2.1　数学物理方程———热传导类型方程的建立165 7.2.2　热传导（或扩散）方程的定解 条件168 7.3　数学建模———稳定场方程类型的建立169 7.3.1　稳定场方程类型的建立169 7.3.2　泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件170 7.4　数学物理定解理论171 7.4.1　定解条件和定解问题的提法171 7.4.2　数学物理定解问题的适定性172 7.4.3　数学物理定解问题的求解方法172 7.5　典型综合实例172 小结175 习题175 计算机仿真编程实践176 第8章　二阶线性偏微分方程的分类177 8.1　基本概念177 8.2　数学物理方程的分类178 8.3　二阶线性偏微分方程标准化181 8.4　二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简183 8.5　线性偏微分方程解的特征185 8.6　典型综合实例185 小结186 习题187 计算机仿真编程实践187 第9章　行波法与达朗贝尔公式188 9.1　二阶线性偏微分方程的通解188 9.2　二阶线性偏微分方程的行波解189 9．3　达朗贝尔公式190 9.3.1　一维波动方程的达朗贝尔公式190 9.3.2　达朗贝尔公式的物理意义191 9.4　达朗贝尔公式的应用191 9.4.1　齐次偏微分方程求解191 9.4.2　非齐次偏微分方程的求解194 9.5　定解问题的适定性验证195 9.6　典型综合实例196 小结198 习题199 计算机仿真编程实践200 第10章　分离变量法201 10.1　分离变量理论201 10.1.1　偏微分方程变量分离及条件201 10.1.2　边界条件可实施变量分离的条件202 10.2　直角坐标系下的分离变量法202 10.2.1　分离变量法介绍202 10.2.2　解的物理意义205 10.2.3　三维形式的直角坐标分离变量206 10.2.4　直角坐标系分离变量例题分析207 10．3　二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法210 10.4　球坐标系下的分离变量法213 10.4.1　拉普拉斯方程Δｕ＝0的分离 变量（与时间无关） 213 10.4.2　与时间有关的方程的分离变量215 10.4.3　亥姆霍兹方程的分离变量216 10.5　柱坐标系下的分离变量216 10.5.1　与时间无关的拉普拉斯方程分离变量216 10.5.2　与时间相关的方程的分离变量218 10.6　非齐次二阶线性偏微分方程的解法219 10.6.1　泊松方程非齐次方程的特解法219 10.6.2　非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法221 10.7　非齐次边界条件的处理222 10.8　典型综合实例224 小结228 习题230 计算机仿真编程实践232 第11章　幂级数解法———本征值问题233 11.1　二阶常微分方程的幂级数解法233 11.1.1　幂级数解法理论概述233 11.1.2　常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 234 11.1.3　奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解） 236 11.2　施图姆刘维尔本征值239 11.2.1　施图姆刘维尔本征值问题239 11.2.2　施图姆刘维尔本征值问题的性质240 11.2.3　广义傅里叶级数241 11.2.4　复数的本征函数族242 11.2.5　希尔伯特空间矢量分解243 11.3　综合实例243 小结243 习题245 计算机仿真编程实践245 第12章　格林函数法246 12.1　格林公式246 12.2　解泊松方程的格林函数法246 12.3　无界空间的格林函数基本解249 12.3.1　三维球对称情形250 12.3.2　二维轴对称情形250 12.4　用电像法确定格林函数251 12.4.1　上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法251 12.4.2　上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题253 12.4.3　圆形区域第一边值问题的格林函数构建254 12.4.4　球形区域第一边值问题的格林函数构建255 12.5　典型综合实例256 小结257 习题259 计算机仿真编程实践259 第13章　积分变换法求解定解问题260 13.1　傅里叶变换260 13.1.1　傅里叶变换260 13.1.2　广义傅里叶变换261 13.1.3　傅里叶变换的基本性质263 13.2　拉普拉斯变换268 13.2.1　拉普拉斯变换268 13.2.2　拉普拉斯变换的性质270 13.2.3　拉普拉斯变换的反演273 13.3　傅里叶变换法解数学物理定解问题275 13.3.1　弦振动问题275 13.3.2　热传导问题277 13.3.3　稳定场问题278 13.4　拉普拉斯变换解数学物理定解问题279 13.4.1　无界区域的问题280 13.4.2　半无界区域的问题280 小结282 习题284 第14章　保角变换法求解定解问题285 14.1　保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系285 14.2　保角变换法求解定解问题典型实例286 习题290 计算机仿真编程290 第15章　数学物理方程综述291 15.1　线性偏微分方程解法综述291 15.2　非线性偏微分方程292 15.2.1　孤立波292 15.2.2　冲击波294 小结295 第二篇综合测试题296 第三篇　特殊函数 第16章　勒让德多项式———球函数297 16.1　勒让德方程及其解的表示297 16.1.1　勒让德方程、勒让德多项式297 16.1.2　勒让德多项式的表示298 16.2　勒让德多项式的性质及其应用300 16.2.1　勒让德多项式的性质300 16.2.2　勒让德多项式的应用（广义 傅里叶级数展开） 303 16.3　勒让德多项式的生成函数（母函数） 305 16.3.1　勒让德多项式的生成函数的定义305 16.3.2　勒让德多项式的递推公式306 16.4　连带勒让德函数307 16.4.1　连带勒让德函数的定义307 16.4.2　连带勒让德函数的微分表示309 16．4．3　连带勒让德函数的积分表示309 16.4．4　连带勒让德函数的正交关系与模的公式309 16．4．5　连带勒让德函数———广义傅里叶级数309 16．4．6　连带勒让德函数的递推公式310 16．5　球函数310 16．5．1　球函数的方程及其解310 16．5．2　球函数的正交关系和模的公式311 16．5．3　球面上函数的广义傅里叶级数312 16．5．4　拉普拉斯方程的非轴对称定解 问题313 16．6　典型综合实例314 小结317 习题320 计算机仿真编程实践320 第17章　贝塞尔函数321 17.1　贝塞尔方程及其解321 17.1.1　贝塞尔方程321 17.1.2　贝塞尔方程的解321 17.2　三类贝塞尔函数的表示式及 性质322 17.2.1　第一类贝塞尔函数322 17.2.2　第二类贝塞尔函数324 17.2.3　第三类贝塞尔函数324 17.3　贝塞尔函数的基本性质325 17.3.1　贝塞尔函数的递推公式325 17.3.2　贝塞尔函数与本征值问题327 17.3.3　贝塞尔函数的正交性和模329 17.3.4　广义傅里叶贝塞尔级数330 17.3.5　贝塞尔函数的母函数（生成函数） 331 17.4　虚宗量贝塞尔方程332 17.4.1　虚宗量贝塞尔方程的解332 17.4.2　第一类虚宗量贝塞尔函数的性质333 17.4.3　第二类虚宗量贝塞尔函数的性质333 17.5　球贝塞尔方程334 17.5.1　球贝塞尔方程334 17.5.2　球贝塞尔方程的解334 17.5.3　球贝塞尔函数的级数表示335 17.5.4　球贝塞尔函数的递推公式335 17.5.5　球贝塞尔函数的初等函数表示式335 17.5.6　球形区域内的球贝塞尔 方程的本征值问题336 17.6　典型综合实例336 小结339 习题341 计算机仿真编程实践341 第三篇综合测试题341 第四篇　计算机仿真 第18章　计算机仿真在复变函数中的 应用343 18.1　复数运算和复变函数的图形343 18.1.1　复数的基本运算343 18.1.2　复数的运算344 18.1.3　复变函数的图形346 18.2　复变函数的极限与导数、解析函数348 18.2.1　复变函数的极限348 18.2.2　复变函数的导数349 18.2.3　解析函数350 18.3　复变函数的积分与留数定理350 18.3.1　非闭合路径的积分计算350 18.3.2　闭合路径的积分计算351 18.4　复变函数级数352 18.4.1　复变函数级数的收敛及其收敛半径352 18.4.2　单变量函数的泰勒级数展开353 18.4.3　多变量函数的泰勒级数展开354 18.5　傅里叶变换及其逆变换355 18.5.1　傅里叶积分变换355 18.5.2　傅里叶逆变换356 18.6　拉普拉斯变换及其逆变换356 18.6.1　拉普拉斯变换357 18.6.2　拉普拉斯逆变换357 计算机仿真编程实践358 第19章　数学物理方程的计算机仿真求解359 19.1　用偏微分方程工具箱求解偏微分方程359 19.1.1　用ＧＵＩ解ＰＤＥ问题359 19.1.2　计算结果的可视化359 19.2　计算机仿真编程求解偏微分 方程362 19.2.1　双曲型：波动方程的求解362 19.2.2　抛物型：热传导方程的求解365 19.2.3　椭圆型：稳定场方程的求解367 19.2.4　点源泊松方程的适应解369 19.2.5　亥姆霍兹方程的求解370 19.3　定解问题的计算机仿真显示371 19.3.1　波动方程解的动态演示372 19.3.2　热传导方程解的分布373 19.3.3　泊松方程解的分布374 19.3.4　格林函数解的分布375 19.3.5　本征值问题中本征函数的分布376 计算机仿真编程实践377 第20章　特殊函数的计算机仿真应用378 20.1　连带勒让德函数、勒让德函数、 球函数378 20.1.1　连带勒让德函数378 20.1.2　勒让德多项式378 20.1.3　球函数379 20.1.4　勒让德多项式的母函数图形379 20.2　贝塞尔函数（柱函数） 380 20.2.1　贝塞尔函数380 20.2.2　虚宗量贝塞尔函数382 20.2.3　球贝塞尔函数的图形382 20.2.4　平面波用柱面波形式展开383 20.2.5　定解问题的图形显示384 20.3　其他特殊函数385 计算机仿真编程实践385 第四篇综合测试题386 参考文献387

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