本书是一本介绍数值方法的教材, 除了介绍传统数值分析课程所讲授的插值与逼近、数值微分与数值积分、线性与非线性方程组求解、矩阵特征值计算、常微分方程数值方法等, 还介绍了偏微分方程的三大类数值离散方法(有限差分方法、有限元方法、无网格方法). 本书不仅强调算法的推导演算, 还注重介绍算法的收敛性理论和实际应用. 每章最后均附有一些需要理论推导或上机实验的习题, 供读者选用. 本书适合理工科专业的本科生、研究生以及从事科学工程计算的技术人员阅读.

随着科学技术的发展,数值方法日益受到重视.20世纪40年代,Neumann与Goldstine发表了题为“高阶矩阵的数值求逆”的经典论文,开启了现代数值方法研究与应用的新局面.同一时期,Courant提出了基于变分数值求解偏微分方程的方法,1960年Clough将其命名为有限元方法.20世纪50年代,Lanczos等人发明了求解线性代数方程组的共轭梯度算法;Francis等人使用QR迭代数值求解特征值问题;Powell和Broyden等数学家致力于数值求解非线性方程(组),发明了诸多拟Newton算法.20世纪70年代,多重网格方法开始被广泛研究,并逐渐成为数值求解大规模代数方程组的最有效的方法之一.1990年,物理学家Kansa提出了数值离散偏微分方程的无网格方法,大大降低了传统网格离散方法(有限差分方法、有限元方法)在复杂求解区域生成网格的困难,该方法已被成功应用于航空航天设计、流体力学模拟、计算机图形学、机器学习与神经网络等诸多领域. 从20世纪50年代起,我国高等学校为信息与计算科学专业本科生开设了“数值分析”课程,后来逐渐兼顾到数学与应用数学专业本科生以及其他理工类非数学专业研究生.本书的主要阅读对象为理工类本科生与研究生,以及从事科学工程计算的技术人员.不同于传统的数值分析教材,本书不仅介绍“数值分析”课程的基础内容(插值与逼近、数值微分与数值积分、线性与非线性方程组求解、矩阵特征值计算、常微分方程数值方法),而且还增加了对偏微分方程数值离散方法(有限差分方法、有限元方法、无网格方法)的初步介绍.在介绍插值与逼近时,本书以试探空间的构造为核心主题,特别介绍了径向基函数有限维近似空间.与现有数值分析教材的区别之一还在于,本书增加了对无网格方法的介绍,包括Kansa配点方法、对称配点方法、Galerkin配点方法、多尺度配点方法等,从而使读者能够掌握使用径向函数对给定偏微分方程进行离散的技术. 本书第1～6章由许秋燕编写,第7～9章由刘智永编写.在编写本书的过程中,我们参考了许多国内外相关专著和教材.所参考的书籍已全部列入本书最后的参考文献,本书部分内容也取材于这些文献,在此一并致谢.感谢宁夏大学数数值方法学统计学院、宁夏科学工程计算与数据分析重点实验室对本书的编写给予经费支持.两位编者均得到了宁夏“青年科技人才托举工程”项目的支持,在此表示感谢. 限于编者的水平,书中难免有错漏和不足之处,欢迎广大读者批评指正.

第1章 插值与逼近.......................................................1 1.1 问题介绍..........................................................1 1.2 多项式插值.......................................................2 1.2.1 概述.......................................................2 1.2.2 Lagrange插值..............................................4 1.2.3 Newton插值...............................................6 1.2.4 分片线性插值..............................................8 1.2.5 Hermite插值..............................................10 1.3 径向基函数插值..................................................13 1.3.1 概述......................................................13 1.3.2 再生核空间...............................................16 1.3.3 误差估计..................................................18 1.4 最佳逼近.........................................................20 1.4.1 最小二乘拟合.............................................20 1.4.2 最佳一致逼近.............................................22 1.4.3 最佳平方逼近.............................................23 1.4.4 正交多项式...............................................24 1.5 注记.............................................................26 习题1................................................................27 第2章 数值微分与数值积分.............................................31 2.1 问题介绍.........................................................31 2.2 数值微分.........................................................31 2.2.1 Taylor展开求导...........................................31 2.2.2 插值型求导...............................................33 2.3 数值积分.........................................................35 2.3.1 中点、梯形和Simpson求积公式..........................35 2.3.2 Newton-Cotes求积公式...................................37 2.3.3 复合求积公式.............................................39 2.3.4 Romberg求积公式........................................40 2.3.5 Gauss求积公式...........................................41 2.4 注记.............................................................45 习题2................................................................46 第3章 求解线性方程组..................................................49 3.1 问题介绍.........................................................49 3.2 直接法...........................................................50 3.2.1 LU分解..................................................50 3.2.2 Cholesky分解.............................................52 3.2.3 QR分解..................................................53 3.3 基本迭代法......................................................56 3.3.1 三种基本迭代法...........................................56 3.3.2 收敛性准则...............................................61 3.4 共轭梯度法......................................................62 3.5 注记.............................................................66 习题3................................................................66 第4章 求解非线性方程组...............................................70 4.1 问题介绍.........................................................70 4.2 非线性方程的迭代法.............................................70 4.2.1 二分法....................................................71 4.2.2 不动点迭代...............................................72 4.2.3 Newton迭代..............................................74 4.2.4 割线法....................................................75 4.3 非线性方程组的迭代法...........................................78 4.3.1 基本非线性迭代法.........................................78 4.3.2 Newton迭代法............................................80 4.3.3 Broyden算法.............................................81 4.4 注记.............................................................83 习题4................................................................84 第5章 矩阵特征值计算..................................................86 5.1 问题介绍.........................................................86 5.2 幂方法...........................................................87 5.2.1 乘幂法....................................................87 5.2.2 反幂法....................................................88 5.3 QR迭代.........................................................90 5.4 Rayleigh商迭代..................................................92 5.5 注记.............................................................94 习题5................................................................94 第6章 常微分方程数值方法.............................................96 6.1 欧拉方法.........................................................97 6.2 Runge-Kutta方法...............................................100 6.2.1 方法介绍.................................................100 6.2.2 常用的Runge-Kutta方法................................101 6.3 线性多步法.....................................................105 6.4 注记............................................................106 习题6...............................................................107 第7章 有限差分方法...................................................109 7.1 偏微分方程及其分类............................................110 7.2 抛物型方程有限差分方法........................................112 7.2.1 1-D抛物型方程离散.....................................112 7.2.2 稳定性、相容性和收敛性.................................114 7.2.3 2-D抛物型方程离散.....................................117 7.2.4 ADI格式................................................118 7.3 双曲型方程有限差分方法........................................120 7.3.1 基本差分方法............................................120 7.3.2 守恒律...................................................122 7.3.3 二阶双曲型方程..........................................123 7.4 椭圆型方程有限差分方法........................................126 7.4.1 基本差分方法............................................126 7.4.2 其他应用.................................................127 7.5 注记............................................................129 习题7...............................................................129 第8章 有限元方法.....................................................132 8.1 一维椭圆型方程离散............................................132 8.2 二维椭圆型方程离散............................................135 8.3 有限元收敛理论.................................................137 8.3.1 变分问题解的存在性.....................................137 8.3.2 Sobolev空间.............................................138 8.3.3 有限元插值理论..........................................140 8.3.4 误差估计.................................................142 8.4 一些常见有限元.................................................143 8.4.1 P1,P2有限元............................................143 8.4.2 Q1,Q2有限元............................................145 8.4.3 其他有限元..............................................147 8.5 注记............................................................149 习题8...............................................................149 第9章 无网格方法.....................................................152 9.1 Kansa方法.....................................................152 9.2 对称配点方法...................................................153 9.3 Galerkin配点方法..............................................154 9.4 多尺度配点方法.................................................155 9.5 基本解方法.....................................................157 9.5.1 PDEs的基本解..........................................157 9.5.2 齐次方程的求解..........................................158 9.5.3 非齐次方程的求解.......................................160 9.6 注记............................................................161 习题9...............................................................161 参考文献.................................................................165