本书着重介绍随机微分方程的强解、弱解及其与扩散和带跳跃的马氏过程间的联系。第一章讨论Brown运动的*积分。第二章介绍随机过程的一般理论的梗概，着重于随机过程的对偶投影理论。第三章和第四章讨论了连续半鞅的随机微分方程的强解、Ito方程的弱解、马氏型Ito方程弱解的存在唯一性条件及其与扩散过程的联系。第五章讨论一维情形，着重论述边界点的分类、常返性与保守性。第六章介绍带边界的随机微分方程与扩散、Fichera边界分类。第七章给出一般半鞅的分解及Ito公式、拟左连续的随机有限点过程的积分，还讨论了带有平稳点过程的典型情形。

第３ 版序 本版除改正了一些印刷错误外， 在第四章的最后加进了有关动力体系的随机扰动的大偏 差理论的简单介绍。 再　版　序 这一版对原书各章内容除做了局部更动外， 主要的变动为： 把Ｂｒｏｗｎ 运动的局部时的内 容改写为连续半鞅的局部时； 讨论了含有δ 函数的Ｉｔｏ 过程； 扩大了第五章， 加进了可测系 数的一维随机微分方程的Ｅｎｇｅｌｂｅｓｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ 理论与Ｚｖｏｎｋｉｎ 方法和轨道唯一性的Ｌｅ Ｇａｌｌ 方 法， 以及Ｓｔｒａｔｏｎｉｃｈ 方程的Ｄｏｓｓ 方法； 对Ｍｃｋｅａｎ－Ｖｌａｓｏｖ 随机微分方程做了简短介绍； 加进 了Ｂｒｏｗｎ 弋巡律及其推导。 此外， 本版还改正了原书的许多疏忽与印刷错误。 特别值得一提的是， 本书对于记号与名词索引作了一个完备易用的表。 序　　言 近年来， 随机微分方程、扩散过程及随机分析有了迅速发展， 并广泛应用于系统科学、 工程控制、生态学等各个方面。在这个领域中， 先后出现了Ｇｉｈｍａｎ－Ｓｋｏｒｏｈｏｄ， Ｓｔｒｏｏｃｋ－ Ｖａｒａｄｈａｎ， Ｉｋｅｄａ－Ｗａｔａｎａｂｅ 等著名概率学家的专著。它们分别各有侧重地总结了这个领域内 的最重要的新成果， 并且对基本理论做了全面的阐述。这些著作在我国受到了广泛的重视。 但是由于它们篇幅过大， 论题过多， 而且个别地方还不自封， 所以对初学者来说， 并不容易 掌握。编写本书的目的， 是力图选择上述著作中的一部分基本知识、概念和典型的方法， 做 一个较为浅显的阐述， 并辅以笔者学习上述名著的体会， 加入某些一般理论在具体情况下的 实现和应用， 以期便于读者理解掌握， 铺填初学者走向专门研究的道路上的坑隙沟堑， 为有 兴趣学习随机微分方程与扩散过程的初学者提供一本入门的教科书。 随机微积分与随机微分（积分） 方程起源于马氏过程的构造， 后者起始于Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ 的分析方法与Ｆｅｌｌｅｒ 的半群方法。但是对于扩散过程， 更接近物理直观的Ｌａｎｇｅｖｉｎ 方程 ｄＸｔ ＝ ｖｍ ｄＢｔ ＋ａｄｔ 是很有吸引力的。可惜的是Ｂｒｏｗｎ 运动Ｂｔ 对几乎所有的轨道无处可微， 因而从数学上说ｄＢｔ 不能按一般的想法定义积分。Ｉｔｏ 首先给出了积分的定义， 并以随机积分（微分） 方程 Ｘｔ ＝ Ｘ０ ＋ ∫ｔ ０ σ（ｓ，Ｘｓ ）ｄＢｓ ＋ ∫ｔ ０ ｂ（ｓ，Ｘｓ ）ｄｓ 的解来表达扩散过程。至今， 从Ｉｔｏ 开始的随机微积分不仅适用于扩散过程， 而且适用于一 大类非常广泛的随机过程———半鞅， 成为随机分析的有力工具。 本书着重介绍随机微分方程的强解、弱解及它们与扩散过程和某些带跳跃的马氏过程之 间的联系。本书假定读者只具有测度论、随机过程论基础与离散鞅论方面的基本知识。在这 个基础上书中的内容是自封的。本书的主要内容曾在北京大学数学系及概率统计系研究生课 中讲授。本书的使用对象是高年级大学生、研究生及对基本理论及其应用有兴趣的科技 人员。 本书第一章讨论Ｂｒｏｗｎ 运动的随机积分。这是经典随机微积分的主要内容。虽然它们是 第二章的特例， 这里还是用较多的篇幅叙述并证明。一则对于只需要经典情形的读者， 如不 准备专门从事随机过程理论研究的读者， 提供必要的知识； 再则也可以把它们当作现代随机积分理论的背景。此外， 读者也可以根据具体情况， 跳过第二章与第三章的某些节段， 也可 以跳过第一章直接进入第二章。第二章的前三节介绍了随机过程一般理论的梗概（对于希 望更全面学习与了解现代鞅论的读者可参考参考文献［Ｙ］， ［ＨＷＹ］， ［ＲＹ］； 这方面的结 果也可以参考参考文献［Ｊ］， ［ＤＭ］）， 然后介绍半鞅的随机积分和连续半鞅的Ｉｔｏ 公式（我 们把不连续情况放到第七章讨论）。本书第三章讨论连续半鞅的随机微分方程的强解和Ｉｔｏ 方程的弱解。第四章讨论马氏型Ｉｔｏ 方程弱解的存在唯一性条件， 介绍了著名的Ｓｔｒｏｏｃｋ－ Ｖａｒａｄｈａｎ 定理， 并且在存在唯一条件的基础上构造了扩散过程。第五章讨论一维Ｉｔｏ 方程与 一维扩散， 着重论述了边界点的分类， 讨论了扩散的常返性与保守性。第六章是带边界的随 机微分方程与扩散， 介绍了Ｆｉｃｈｅｒａ 边界分类。第七章给出了一般半鞅的分解与Ｉｔｏ 公式， 并 讨论拟左连续的σ 有限点过程的随机积分及带有平稳点过程积分的随机微分方程。这种方 程的解是既有连续部分又有跳跃部分的强马氏过程的典型情形。 在本书的最后， 有一个关于连续时间鞅和Ｂｒｏｗｎ 运动构造及凸函数的性质的简短的 附录。 严加安同志对原稿提出了许多宝贵的意见， 笔者在此对他致以深切的感谢。

目　　录 第一章　Ｂｒｏｗｎ 运动的随机积分……………………………………………………………… １ １?? １　有关Ｂｒｏｗｎ 运动的某些性质…………………………………………………………… １ １?? ２　Ｉｔｏ 积分的可积函数类…………………………………………………………………… ５ １?? ３　平方可积鞅与局部平方可积鞅………………………………………………………… １２ １?? ４　对（Ｆｔ ）Ｂｒｏｗｎ 运动的Ｉｔｏ 积分………………………………………………………… １４ １?? ５　Ｉｔｏ 积分的例子………………………………………………………………………… ２１ １?? ６　关于无穷限情形的注记………………………………………………………………… ２３ １?? ７　Ｉｔｏ 过程与Ｉｔｏ 积分的链法则———Ｉｔｏ 公式…………………………………………… ２５ １?? ８　指数上鞅与指数鞅……………………………………………………………………… ３３ １?? ９　随机积分的内蕴时间…………………………………………………………………… ３７ １?? １０　Ｂｒｏｗｎ 运动的平移与Ｇｉｒｓａｎｏｖ 变换………………………………………………… ３９ １?? １１　Ｂｒｏｗｎ 参考族及关于它的局部鞅…………………………………………………… ４５ 习题…………………………………………………………………………………………… ４８ 第二章　鞅与鞅的随机积分…………………………………………………………………… ５０ ２?? １　严格事前σ 代数及可料时…………………………………………………………… ５１ ２?? ２　截口定理………………………………………………………………………………… ５５ ２?? ３　过程的投影理论与（ＤＬ） 类下鞅的Ｄｏｏｂ－Ｍｅｙｅｒ 分解……………………………… ６５ ２?? ４　局部平方可积鞅的特征与随机积分…………………………………………………… ７７ ２?? ５　局部平方可积鞅的分解………………………………………………………………… ８６ ２?? ６　半鞅及对半鞅的随机积分……………………………………………………………… ８８ ２?? ７　连续半鞅的Ｉｔｏ 公式与随机微积分计算……………………………………………… __________９５ ２ . ８　连续半鞅的局部时…………………………………………………………………… １０４ ２?? ９　Ｂｒｏｗｎ 局部时的Ｅｎｇｅｌｂｅｒｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ 零一律………………………………………… １１４ 习题…………………………………………………………………………………………… １１６ 第三章　随机微分方程的一般概念…………………………………………………………… １１９ ３?? １　连续半鞅的随机微分方程…………………………………………………………… １１９ ３?? ２　简单的例子…………………………………………………………………………… １３０ ３?? ３　Ｂｒｏｗｎ 运动的随机微分方程·弱解与分布唯一性………………………………… １３２ ３?? ４　弱解与鞅问题………………………………………………………………………… １４５ ３?? ５　Ｐｒｏｈｏｒｏｖ－Ｓｋｏｒｏｈｏｄ 方法……………………………………………………………… １４９ ３?? ６　（弱）解的存在性……………………………………………………………………… １５２ ３?? ７　含δ 函数的Ｉｔｏ 过程与Ｉｔｏ 公式……………………………………………………… １５７ 习题…………………………………………………………………………………………… １５９ 第四章　齐次马氏型随机微分方程…………………………………………………………… １６０ ４?? １　解的存在性与分布唯一性…………………………………………………………… １６０ ４?? ２　有限时间可能爆炸的解……………………………………………………………… １８０ ４?? ３　随机微分方程的解和扩散过程……………………………………………………… １８６ ４?? ４　扩散族的弱收敛……………………………………………………………………… １９５ ４?? ５　动力体系的随机扰动的大偏差理论介绍…………………………………………… １９６ 习题…………………………………………………………………………………………… ２０２ 第五章　一维随机微分方程与一维扩散……………………………………………………… ２０４ ５?? １　可测系数情形的弱解与分布唯一性·强解………………………………………… ２０４ ５?? ２　轨道唯一性与强解…………………………………………………………………… ２１０ ５?? ３　比较定理……………………………………………………………………………… ２１４ ５?? ４　Ｓｔｒａｔｏｎｏｖｉｃｈ 方程及其近似…………………………………………………………… ２１５ ５?? ５　一维随机微分方程解的性质与边界点的分类……………………………………… ２１８ ５?? ６　例子…………………………………………………………………………………… ２２９ ５?? ７　Ｂｒｏｗｎ 桥……………………………………………………………………………… ２３６ 习题…………………………………………………………………………………………… ２４４ 第六章　具有边界的随机微分方程…………………………………………………………… ２４６ ６?? １　反射Ｂｒｏｗｎ 运动及其边界局部时…………………………………………………… ２４６ ６?? ２　半直线上的Ｂｒｏｗｎ 运动……………………………………………………………… ２４８ ６?? ３　半空间的随机微分方程……………………………………………………………… ２５５ ６?? ４　退化情形的例子……………………………………………………………………… __________２６４ 习题…………………………………………………………………………………………… ２７０ 第七章　对半鞅的积分和含点过程的随机微分方程………………………………………… ２７２ ７?? １　不连续的局部鞅·半鞅及其积分的性质…………………………………………… ２７２ ７?? ２　正交鞅测度和对它的积分…………………………………………………………… ２８３ ７?? ３　取值于Ｒｄ 的点过程·整值随机测度及其分解……………………………………… ２８５ ７?? ４　半鞅的局部特征和按随机测度的分解……………………………………………… ２９２ ７?? ５　取值于可测空间的点过程及其积分………………………………………………… ２９６ ７?? ６　半鞅的Ｉｔｏ 公式………………………………………………………………………… ２９８ ７?? ７　Ｐｏｉｓｓｏｎ 点过程和独立增量过程的分解……………………………………………… ３０２ ７?? ８　含Ｐｏｉｓｓｏｎ 点过程积分的随机微分方程……………………………………………… ３１２ ７?? ９　Ｂｒｏｗｎ 运动的弋巡律………………………………………………………………… ３２１ 附录……………………………………………………………………………………………… ３３３ 一般记号………………………………………………………………………………………… ３４０ 特殊记号首次出现的章节……………………………………………………………………… ３４２ 名词索引………………………………………………………………………………………… ３４５ 参考文献………………………………………………………………………………………… ３５０