本书是国家精品在线开放课程“微积分”的主讲教材，力求达到教材的多元化、多样性的目的，适应不同程度学生的学习. 本书主要针对拔尖创新人才培养而编写，分上、下两册. 上册内容包括极限与连续、导数与微分、微分中值定理及导数应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程；下册内容包括多元函数微分学、多元函数积分学、第二型曲线积分与第二型曲面积分、无穷级数、含参变量积分、傅里叶分析. 本书可作为高等学校理工科专业微积分课程的教材，也适合参加考研的学生参考.

2009年，“基础学科拔尖学生培养试验计划”正式启动，旨在培养中国自己的学术大师. 探索建立拔尖创新人才培养的有效机制，促进拔尖创新人才脱颖而出，是建设创新型国家、实现中华民族伟大复兴的历史要求，也是当前对教育改革的迫切要求. 2020年，部分高校开展基础学科招生改革试点（即强基计划）. 强基计划开宗明义：聚焦国家重大战略需求，在确保公平公正的前提下，探索建立多维度考核学生的评价模式，逐步形成基础学科拔尖创新人才选拔培养的有效机制，重点破解基础学科领军人才短缺和长远发展的瓶颈问题. 本书就是对拔尖创新人才培养的重要探索，在工业和信息化部“十四五”规划教材的建设要求下，坚持以学生为中心，通过深度与广度的探索，强化学生的数学基础. 近年来，一些高水平研究型大学已经在拔尖创新人才培养方面进行了有益的尝试和多样化的探索，并取得了初步成果. 未来技术学院作为哈尔滨工业大学对拔尖本科学生实施“精英教育”的试验田、示范区，秉承“学术型、国际化、高素质、重创新”的培养理念，以探索路子、选拔尖子、培育苗子为使命宗旨，竭力为拔尖学生的科学精神塑造、创新意识培养、实践能力成长、综合素质提升等搭建平台、提供舞台，培养造就未来的学术带头人、工程领军人、政企领导人等杰出人才. 本书正是针对哈尔滨工业大学未来技术学院及其他高校拔尖创新学生编写的微积分教材，增加了传统微积分教材中较少介绍的实数理论、一致收敛、一致连续、高阶微分、广义重积分、重积分的变量代换、场论初步、外微分形式、含参变量积分、傅里叶积分与傅里叶变换等方面的内容，力求做到让学生知其然也知其所以然. 信息化教学、信息化教材建设是这几年教育方式的一个发展趋势，本书的一个特色是增加了网络学习的配套资湛源. 以教材为主、以网上资源为辅的学习方式更适应现在网络时代的学习需求. 本书是国家精品在线开放课程“微积分”的主讲教材，力求达到教材的多元化、多样性的目的，适应不同程度学生的学习. 本书分上、下两册. 上册内容包括极限与连续、导数与微分、微分中值定理及导数应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程；下册内容包括多元函数微分学、多元函数积分学、第二型曲线积分与第二型曲面积分、无穷级数、含参变量积分、傅里叶分析. 书中带星号（*）的内容为选学内容. 本书可作为高等学校理工科专业微积分课程的教材，也适合准备考研的学生参考. 由于作者水平有限，加之编写时间仓促，书中错误和不足之处在所难免，恳请读者不吝赐教，批评指正.

第1章 极限与连续 1 1.1 函数 1 1.1.1 数集 1 1.1.2 函数的概念 2 1.1.3 初等函数 3 1.1.4 极坐标 8 习题1.1 10 1.2 数列的极限 11 习题1.2 15 1.3 数列极限的性质及收敛准则 15 1.3.1 收敛数列的性质 15 1.3.2 收敛数列的四则运算法则 17 1.3.3 收敛数列的判别法 19 习题1.3 26 *1.4 实数的基本定理 26 1.5 函数的极限 29 1.5.1 时函数的极限 29 1.5.2 时函数的极限 31 习题1.5 33 1.6 函数极限的性质与两个重要极限 33 1.6.1 函数极限的性质 33 1.6.2 两个重要极限 36 习题1.6 39 1.7 无穷小和无穷大 41 1.7.1 无穷小 41 1.7.2 无穷小的比较 42 1.7.3 无穷大 45 习题1.7 47 1.8 函数的连续性 47 1.8.1 连续与间断 47 1.8.2 函数连续性的判定定理 50 1.8.3 连续在极限运算中的应用 51 1.8.4 闭区间上连续函数的性质 52 1.8.5 一致连续性 55 习题1.8 57 综合题 59 第2章 导数与微分 61 2.1 导数的概念 61 2.1.1 导数的引例 61 2.1.2 导数的定义 63 习题2.1 67 2.2 导数的基本公式与四则运算求导法则 68 2.2.1 导数的基本公式 68 2.2.2 四则运算求导法则 70 习题2.2 73 2.3 其他求导法则 73 2.3.1 反函数与复合函数求导法则 73 2.3.2 隐函数与参数函数求导法则 75 *2.3.3 极坐标下导数的几何意义 78 2.3.4 相对变化率问题 79 习题2.3 80 2.4 高阶导数 82 2.4.1 高阶导数的定义 82 2.4.2 高阶导数的公式 84 习题2.4 89 2.5 微分 89 2.5.1 微分的定义 89 2.5.2 微分的运算 91 *2.5.3 微分在近似计算中的应用 93 *2.5.4 微分在误差估计中的应用 94 2.5.5 高阶微分 95 习题2.5 96 综合题 97 第3章 微分中值定理及导数应用 99 3.1 微分中值定理 99 3.1.1 罗尔中值定理 99 3.1.2 拉格朗日中值定理 101 3.1.3 柯西中值定理 104 习题3.1 106 3.2 洛必达法则 108 3.2.1 和型未定式 108 3.2.2 其他类型未定式 110 习题3.2 112 3.3 泰勒中值定理 113 习题3.3 119 3.4 极值、最值、凹凸性及函数作图 120 3.4.1 极值与最值 120 3.4.2 凸函数、曲线的凸向及拐点 124 3.4.3 曲线的渐近线 126 3.4.4 函数的分析作图法 127 习题3.4 128 3.5 平面曲线的曲率 130 3.5.1 弧微分 130 3.5.2 曲线的曲率 131 习题3.5 135 综合题 135 第4章 不定积分 137 4.1 原函数与不定积分 137 4.1.1 原函数与不定积分的概念 137 4.1.2 不定积分的性质与基本公式 139 习题4.1 141 4.2 换元积分法 142 习题4.2 147 4.3 分部积分法 148 习题4.3 153 4.4 几类函数的积分 153 4.4.1 有理函数的积分 153 4.4.2 三角函数有理式的积分 156 4.4.3 简单无理函数的积分 157 习题4.4 159 综合题 160 第5章 定积分及其应用 162 5.1 定积分的概念与性质 162 5.1.1 定积分的概念 162 5.1.2 达布上和与达布下和 165 5.1.3 可积函数 169 5.1.4 定积分的性质 172 习题5.1 175 5.2 微积分学基本定理 176 习题5.2 180 5.3 定积分的计算 182 5.3.1 定积分的换元积分法 182 5.3.2 定积分的分部积分法 185 习题5.3 189 5.4 广义积分 191 5.4.1 无穷区间上的广义积分 191 5.4.2 无穷区间上广义积分敛散性判别法 193 5.4.3 无界函数的广义积分 195 5.4.4 函数 200 习题5.4 201 5.5 定积分的应用 202 5.5.1 微元法 202 5.5.2 平面图形的面积 202 5.5.3 立体体积 206 5.5.4 平均值与平面曲线的弧长 210 5.5.5 定积分在物理问题中的应用 213 习题5.5 216 综合题 217 第6章 微分方程 220 6.1 微分方程的基本概念 220 习题6.1 223 6.2 一阶微分方程 223 6.2.1 可分离变量的方程 223 6.2.2 一阶线性微分方程 224 6.2.3 变量代换 226 6.2.4 应用实例 230 习题6.2 234 6.3 可降阶的高阶微分方程 235 6.3.1 型方程 236 6.3.2 型方程 236 6.3.3 型方程 237 6.3.4 应用实例 238 习题6.3 241 6.4 线性微分方程及其解的结构 242 6.4.1 二阶线性微分方程举例 242 6.4.2 线性微分方程解的结构 244 6.4.3 常数变易法 246 习题6.4 249 6.5 常系数线性微分方程 249 6.5.1 常系数齐次线性微分方程 249 6.5.2 常系数非齐次线性微分方程 251 6.5.3 欧拉方程 255 习题6.5 258 6.6 线性微分方程组 259 6.6.1 线性微分方程组的定义 259 6.6.2 线性微分方程组通解结构 260 6.6.3 常系数齐次线性微分方程组 263 6.6.4 常系数非齐次线性微分方程组 265 习题6.6 267 综合题 268