本书系统地介绍了加密算法和认证等信息安全技术需要的数学基础知识，涉及布尔代数、线性代数、数论、抽象代数、椭圆曲线和格理论等内容，并就这些数学基础知识在加密算法与认证等技术中的应用进行了简要的分析介绍。本书在对包括多个数学难解问题在内的、面向单钥制和双钥制加密算法及相关认证技术的数学基础知识进行了完整梳理的同时，给出了密码学等新的发展所需的数学基础知识，构成了相对完备的数学知识体系。本书注重思想方法的培养和技能的训练，可作为信息安全、通信工程、信息工程及计算机专业等本科生及研究生的教材，也可作为从事相关专业科研、工程技术等人员的参考书。

本书主要介绍支撑信息安全技术的数学基础知识，为了佐证介绍的数学基础知识的有用性，也简要地涉及信息安全技术中的加密算法和认证技术本身的相关内容，实现数学基础知识与信息安全技术之间较好地关联、融合，以便更好地促进基础课程与后续的专业课程之间的无缝衔接。 在信息安全成为研究和应用的热点的当下，提供完备而又紧致的数学基础知识，使信息安全中的基本理论和方法能成为自我完备的知识体系，这不仅是信息安全知识体系自身的迫切需要，也是信息安全学科的一种内在要求，更是信息安全专业人才培养中一个最基本的前提条件。 分析信息安全的相关知识体系结构，不难发现，加密算法和认证技术是其中最主要的部分，信息安全的理论发展和技术创新都以这两部分为基础，所以加密算法和认证技术的支撑理论自然成了不折不扣的基础知识。因此，把在加密算法和认证技术中用到的数学基础知识进行系统性的归纳梳理，并辑录成一个整体，就构成了本书。相较于其他相关的图书，本书有一些基本的特点：其一，聚焦重要的加密算法和认证技术，并把数学基础知识与相应的加密算法和认证技术等进行了具体的知识链接，实现了抽象知识与具体应用的较好汇融，更把相关的数学理论与加密算法和认证技术中的知识进行互相印证，既顾及了相关数学的抽象性，又尽可能地展现了这些知识所具有的明确的应用性，使学生在学习这些知识时能最大限度地减少认知上的抽象性观感和畏难情绪，并尽可能地激发他们学好该课程的内在动力；其二，在介绍知识点时，在尽可能地体现知识的严谨性和紧致性的同时，努力使用诸如举例、类比等手法来透彻地介绍实质内容和相应背景；其三，本着“授人以渔”的想法，强调基本的思路、技巧和方法的训练，培养更好地解决问题的能力；其四，在具体的编写方法上，通过充分应用“推出符号”等数学语言，展现文本的简约之美，同时，强调了具体思路的脉络，对于深入理解具体内容，提供了深层次的帮助，等等。 本书共分9章，除第1章绪言外，具体的章节介绍的内容分别是，第2章介绍布尔代数理论中有关异或运算的相关知识；第3章介绍线性代数中的向量与矩阵等基本内容；第4章介绍数论中的整数整除运算等基本概念；第5章着重介绍同余式的求解，分别介绍一次同余式、二次同余式及高次同余式的解的存在性、解的个数及相关同余式解的具体解法等；第6章讨论素性检验问题，对主要的几种素性检验方法进行深入探讨；第7章介绍抽象代数的相关内容，分别介绍群、环、域和模的相关知识；第8章介绍椭圆曲线及基于椭圆曲线的离散对数难解问题的密钥体制；第9章除结合当前信息安全的发展对比较主要的发展趋势等做分析外，还介绍近年来相对热门的格理论，以及以其难解问题为基础的密码体制。这样，把现今主要的加密算法和认证技术所需的数学基础知识进行了比较完备的辑录。所构成的内容既体现了知识的基础性和完备性，又较好地体现了与时俱进的特性。 因为某种机缘，我被要求讲授“信息安全数学基础”这门基础课程，所以时时思考如何把这门课程讲好，让学生在接受相应知识的同时，更有思想方法和技能的训练和相应能力的提升。多年来，我积累了较多的心得体会，在试着把这些心得体会用到具体授课中的同时，希望把它们记录下来形成文字，集腋成裘，这便成了编写这本书的最深层的一个因由。 本书是在学习其他优秀教材等资料的基础上编写而成的，在此对提供相关优质资料的专家表示真挚的谢意。虽然对书稿的结构布局、具体编写和相关结论的推演，其过程相对枯燥且进展缓慢，但也不乏乐在其中的真切体验，度过了很多快乐的好时光。此外，感谢家人的支持和鼓励，他们对我的帮助让我忘记背后、努力向前，向着标杆直跑。 张焕炯 2022年3月于杭州

第1章 绪言 1 1.1 信息安全技术 1 1.2 信息安全技术的数学基础 2 思考题 4 第2章 布尔代数基础 5 2.1 布尔代数中的逻辑变量（值） 5 2.2 二值条件下的布尔代数的基本运算 5 2.3 二值布尔代数中的异或运算 7 2.4 单向函数 8 2.5 流密码简介 9 2.6 随机数及伪随机数 11 思考题 12 第3章 线性代数基础 13 3.1 行列式的概念 13 3.2 向量和矩阵及其基本运算 14 3.3 向量组的线性相关及线性无关 18 3.4 矩阵的相似关系 19 3.5 矩阵的合同变换 20 3.6 块密码简介 22 思考题 23 第4章 整数及其除运算的基本性质 24 4.1 整数的整除关系、基本属性及表述形式 24 4.2 整数数组的最大公因数和最小公倍数 31 思考题 42 第5章 同余及同余式 44 5.1 同余关系 44 5.2 剩余类 48 5.3 求模运算 56 5.4 一次同余式的求解及中国剩余定理 58 5.5 二次同余式 63 5.6 素数模条件下的同余式求解及奇素数模下的二次剩余 65 5.7 奇素数模条件下的二次剩余的计算及二次同余式的求解 76 5.8 合数模条件下的二次剩余的计算及二次同余式的求解 81 5.9 素数的平方表示 88 5.10 高次同余式 90 5.11 在密码学中的应用举例 105 思考题 107 第6章 素性检验 109 6.1 素数概述 109 6.2 切比雪夫不等式及素数定理 110 6.3 Miller-Rabin素性检验方法 111 6.4 Fermat素性检验 112 6.5 Solovay-Stassen素性检验 114 6.6 一种确定性的素性检验方法 115 6.7 其他的素性检验方法 117 6.8 素性检验的应用 118 思考题 118 第7章 抽象代数基础 119 7.1 抽象代数中的相关概念 119 7.2 群 120 7.2.1 群的定义 120 7.2.2 群的结构分析 123 7.3 几种具体的群 130 7.3.1 循环群 130 7.3.2 置换群 135 7.3.3 有限生成交换群 138 7.3.4 离散对数问题及在数字签名中的应用 140 7.4 环 141 7.4.1 环的定义及基本性质 141 7.4.2 理想 143 7.4.3 同态和同构 145 7.4.4 环结构举例 147 7.5 域 149 7.5.1 域的定义及构造 149 7.5.2 扩域的概念及性质 151 7.5.3 有限域及其构造 156 7.6 模 158 7.6.1 模的定义及子模、商模 158 7.6.2 模的同态与自由模 160 思考题 160 第8章 椭圆曲线概述 162 8.1 椭圆曲线的基本概念 162 8.2 椭圆曲线上的运算规则 163 8.3 不同域上的椭圆曲线介绍 165 8.4 椭圆曲线上的离散对数问题 168 8.5 基于椭圆曲线离散对数难解问题的密码体制简介 168 思考题 170 第9章 信息安全技术的主要发展趋势和格理论基础 171 9.1 信息安全技术发展趋势概论 171 9.2 格理论基础 173 9.2.1 基本概念 173 9.2.2 格元素的生成及相关概念 175 9.3 格理论中的难解问题 176 9.4 格密码简介 178 思考题 179 参考文献 180