本书主要讨论随机过程的基础理论和应用方法。全书共七章，内容包括：概率论基础，随机过程基础，泊松过程及其推广、马尔可夫过程、二阶矩过程及其均方分析、平稳过程、以及高阶统计量与非平稳过程等。 本书强调随机过程的基础理论、物理意义与应用方法，注重理论联系实际，力求从概念的物理背景、理论的逻辑推导与应用的典型例子三个方面加以阐述。内容全面，叙述清楚，例题与图示丰富，便于教学与自学。 本书以初等概率论、高等数学的基本知识为基础，可以作为理工科高等院校有关专业研究生与高年级本科生的教学用书，也可供有关领域的师生、科研和工程技术人员参考。

前 言 本书自2013年8月出版发行以来，被电子科技大学和国内多所高校用作研究生和高年级本科生相关课程的主讲教材与参考书，教学效果好，得到了广泛的社会认同。本次修订中，作者广泛吸取广大师生与科研人员的反馈意见，结合新的学术与教学研究，以适应当前新工科教育的发展与教学需要。 随机过程是一门应用性很强的学科。它在各个科技领域中得到充分的发展，形成了许多富有启发性的模型与典型的应用方法。单纯地照搬数学理论难以理解其精髓，也无法有效地解决具体的工程问题。因此，本书在编写与修订中强调理论联系实际，力求从概念的物理背景、理论的逻辑推导与应用的典型例子三个方面加以阐述。通过了解物理背景与体会直观意义，有助于读者理解数学概念的本质，更好地掌握其理论体系，进而形成正确的思路与工作方法。 针对理工科学生的数学背景，本书以微积分、线性代数与初等概率论为基础，采用循序渐进、简明易懂的编写方式。全书共7章。内容包括：概率论基础、随机过程基础、泊松过程及其推广、马尔可夫过程、二阶矩过程及其均方分析、平稳过程，以及高阶统计量与非平稳过程。其中第1章复习与总结初等概率论的基础内容，同时扩充一些新的理论知识，通过温故知新的方式帮助学生更好地学习随机过程的理论。为了方便施教与自学，全书各个章节既安排了充分的举例，又绘制了丰富的图示，还在章末配备了大量的习题。本书建议的学时数为32～60学时，教师可以根据具体的教学需要，适当选择其中一些内容组织教学。 本次修订在保持原来的章节结构、组织特点与写作风格的基础上，力图在内容的先进性与代表性、理论体系与物理背景的有机结合、简明易读性与富有启发性方面进行全面优化。内容上主要做了以下修订：进一步解释概率空间各要素及其关系，明确条件期望的一般定义，改进例1.23与例1.24阐述条件平均求解复杂数学期望的方法；增加例2.16（赌徒输光模型），改进布朗运动建模分析，增加首达时间均值无穷的证明；优化泊松过程的建模分析，增加非齐次泊松的随机选择定理、条件泊松过程的应用（例3.13）；突出马尔可夫过程的动态系统的应用背景，增加例4.4（品牌动态选择），从物理特点引入常返态与暂态的概念，从数学与物理本质阐述遍历性，突出Q矩阵的引入思路；调整二阶矩变量及其随机过程的内容次序，简化均方可导判断准则，突出平稳调制过程中带通过程的功率谱特性；改进部分习题。 本书编写过程中，李乐民院士给予了指导。本书得到电子科技大学信息与通信工程学院等多个学院师生的大力支持与帮助。编著者也参考了许多文献书籍，从中获得了不少有益的启示。编著者在此一并表示衷心的感谢。 本书由李晓峰、唐斌、舒畅、傅志中、周宁编著。全书由李晓峰统编定稿。限于作者水平，书中谬误与疏漏在所难免，恳请读者批评指正。 本书得到电子科技大学研究生院的全力支持和教材建设经费资助。 编著者 于电子科技大学 （xfli@uestc.edu.cn）

第1章 概率论基础 （1） 1.1 概率空间 （1） 1.1.1 概率 （1） 1.1.2 条件概率与独立性 （4） 1.2 随机变量与典型分布 （5） 1.2.1 随机变量 （5） 1.2.2 典型分布 （7） 1.2.3 多维随机变量 （9） 1.2.4 条件随机变量 （11） 1.2.5 独立性 （11） 1.3 随机变量的函数 （13） 1.3.1 一元函数 （13） 1.3.2 二元函数 （14） 1.4 数字特征 （16） 1.4.1 黎曼-斯蒂阶积分 （16） 1.4.2 数学期望(或统计平均) （17） 1.4.3 矩与联合矩 （18） 1.5 条件数学期望 （20） 1.5.1 基本概念 （20） 1.5.2 主要性质 （22） 1.6 特征函数、矩母函数与概率母函数 （23） 1.6.1 特征函数 （24） 1.6.2 矩母函数与概率母函数 （27） 1.6.3 其他常用变换 （28） 1.7 随机收敛性与极限定理 （29） 1.7.1 随机变量序列的收敛性 （29） 1.7.2 收敛定理 （30） 1.7.3 大数定律 （30） 1.7.4 中心极限定理 （32） 习题 （33） 第2章 随机过程基础 （36） 2.1 定义与基本特性 （36） 2.1.1 概念 （36） 2.1.2 基本特性 （36） 2.1.3 举例 （38） 2.1.4 分类 （41） 2.2 平稳性与平稳过程 （41） 2.2.1 严格与广义平稳过程 （41） 2.2.2 平稳过程的相关函数 （42） 2.3 独立过程与白噪声过程 （43） 2.4 高斯过程 （45） 2.4.1 高斯分布 （45） 2.4.2 高斯随机变量的性质 （46） 2.4.3 高斯随机过程 （49） 2.5 独立增量过程 （50） 2.5.1 基本概念 （50） 2.5.2 基本性质 （51） 2.5.3 平稳独立增量过程 （52） 2.6 布朗运动 （55） 2.6.1 背景与定义 （55） 2.6.2 基本性质 （57） 2.6.3 首达与过零点问题 （58） 2.6.4 布朗桥 （60） 习题 （60） 第3章 泊松过程及其推广 （63） 3.1 背景与定义 （63） 3.2 到达时刻与时间间隔 （66） 3.2.1 基本概念 （66） 3.2.2 基本性质 （67） 3.2.3 指数流 （68） 3.2.4 指数随机变量的一些性质 （69） 3.3 到达时刻的条件分布 （70） 3.4 过滤泊松过程 （72） 3.4.1 基本概念与性质 （72） 3.4.2 泊松冲激序列 （74） 3.5 复合泊松过程 （74） 3.6 非齐次与条件泊松过程 （75） 3.7 更新过程 （78） 3.7.1 定义与更新函数 （78） 3.7.2 剩余寿命与年龄 （80） 3.7.3 若干极限定理 （80） 习题 （81） 第4章 马尔可夫过程 （84） 4.1 马尔可夫链及举例 （84） 4.1.1 一般马尔可夫过程 （84） 4.1.2 马尔可夫链 （85） 4.1.3 转移概率、C-K方程与概率分布 （86） 4.1.4 齐次马尔可夫链 （87） 4.1.5 举例 （89） 4.2 状态特性与分类 （93） 4.2.1 可达、可通与首达 （93） 4.2.2 常返态与非常返态 （95） 4.2.3 周期性 （97） 4.3 状态空间分解 （98） 4.3.1 等价类 （98） 4.3.2 状态闭集与空间分解 （99） 4.4 遍历性、极限分布与平稳分布 （100） 4.4.1 遍历性的基本概念 （100） 4.4.2 有限状态链的遍历性 （102） 4.5 隐马尔可夫链 （103） 4.5.1 基本概念 （103） 4.5.2 最大后验概率(MAP)估计方法 （104） 4.6 连续时间马尔可夫链及其基本性质 （106） 4.6.1 定义 （106） 4.6.2 Q矩阵 （107） 4.6.3 向前向后微分方程 （109） 4.6.4 互通、遍历性与平稳分布 （110） 4.7 生灭过程 （111） 4.8 排队论及其应用简介 （113） 4.8.1 排队系统 （113） 4.8.2 马尔可夫队列及其举例 （114） 习题 （117） 第5章 二阶矩过程及其均方分析 （121） 5.1 二阶矩随机变量空间与均方极限 （121） 5.1.1 二阶矩随机变量空间 （121） 5.1.2 二阶矩过程 （122） 5.1.3 随机序列的均方极限 （123） 5.1.4 随机过程的均方极限 （125） 5.2 均方连续 （125） 5.3 均方导数 （126） 5.3.1 定义与可导准则 （126） 5.3.2 基本性质 （127） 5.4 均方积分 （128） 5.4.1 定义与可积准则 （129） 5.4.2 基本性质 （129） 5.4.3 黎曼-斯蒂阶均方积分与伊藤积分 （131） 5.5 平稳过程的均方导数与积分 （132） 5.6 高斯过程的导过程与积分过程 （133） 5.7 随机常微分方程 （135） 5.7.1 基本概念 （135） 5.7.2 简单线性常微分方程的解 （136） 5.7.3 计算解的均值与相关函数 （137） 习题 （138） 第6章 平稳过程 （140） 6.1 各态历经性(遍历性) （140） 6.1.1 基本概念 （140） 6.1.2 各态历经性定理 （141） 6.1.3 均值、方差与相关函数的估计 方法 （144） 6.2 功率谱密度 （144） 6.2.1 功率谱密度 （145） 6.2.2 相关函数的谱分解定理 （148） 6.2.3 平稳白噪声 （148） 6.3 具有随机输入的线性时不变系统 （149） 6.3.1 系统的输出过程 （150） 6.3.2 输出过程的均值与相关函数 （150） 6.3.3 输入为平稳过程的情形 （151） 6.3.4 输出中的瞬态部分 （153） 6.4 调制与带通过程 （154） 6.4.1 希尔伯特变换与解析过程 （154） 6.4.2 调制过程 （156） 6.4.3 复数表示法与相关函数 （157） 6.4.4 带通调制过程 （158） 6.5 AR、MA和ARMA过程 （161） 6.5.1 具有随机输入的离散LTI系统 （161） 6.5.2 白噪声通过离散LTI系统 （162） 6.5.3 AR过程 （163） 6.5.4 MA过程 （164） 6.5.5 ARMA过程 （164） 6.6 傅里叶级数、随机谱分解与采样 定理 （165） 6.6.1 傅里叶级数 （165） 6.6.2 随机谱分解 （166） 6.6.3 带限过程与采样定理 （168） 习题 （169） 第7章 高阶统计量与非平稳过程 （171） 7.1 高阶统计量 （171） 7.1.1 高阶矩及高阶累积量定义 （171） 7.1.2 高阶矩与高阶累积量的关系 （172） 7.1.3 高阶累积量的性质 （173） 7.1.4 高斯随机变量的高阶统计特性 （175） 7.1.5 高阶谱 （175） 7.1.6 随机过程通过线性时不变系统 （176） 7.2 循环平稳过程 （176） 7.2.1 严循环平稳过程与宽循环平稳 过程 （176） 7.2.2 循环相关函数与谱相关密度 函数 （177） 7.2.3 循环矩与循环累积量 （178） 7.2.4 循环矩谱与循环累积量谱 （179） 7.3 时频分析 （179） 7.3.1 不确定性原理 （179） 7.3.2 短时Fourier变换 （180） 7.3.3 Wigner-Ville分布 （181） 7.3.4 连续小波变换 （183） 习题 （186） 参考文献 （187）