本书阐述正则化对偶模型研究及在图像重构中的应用，主要内容包括迫近算子基本原理，正则化对偶模型基本原理，正则化原始-对偶模型基本原理，以及迫近算子、正则化对偶模型、正则化原始-对偶模型在图像重构中的应用。 本书可作为计算机科学与技术、数据科学与大数据技术、工业、医学图像处理及人工智能等专业高年级本科生、研究生的教材和参考书，也可作为相关领域教师、科研人员、医学工作者和工程技术人员等的参考书。

前言 正则化对偶模型在大数据图像和视频处理中的应用于21世纪初被提出，该技术不是直接对大规模非光滑原始正则化模型进行处理，而是利用对偶变换，将原始正则化模型转化为对偶模型，利用对偶模型较好的数学特性，使得不适定反问题容易被处理。近年来，随着数据科学与大数据技术的兴起及人工智能的广泛应用，无论是在理论研究上还是在实际工程应用中，正则化对偶模型都得到了飞速发展。 21世纪，大数据科学和人工智能是推动社会发展的核动力，而图像和视频处理是检验大数据科学和人工智能技术应用的“试金石”。从本质上来讲，图像和视频都是非结构、大规模数据，重构的质量和速度是图像和视频在实际工程中应用发展的瓶颈，而解决这一问题的关键是建立准确的数学模型和有效的迭代算法。在大规模图像重构不适定反问题研究中，能量泛函正则化模型研究极其活跃，引起世界各国的广泛关注。然而，由于给定的正则化模型是大规模的、非光滑的，经典优化理论很难对其进行有效的处理，使得学术界不得不转向对优化理论进行研究，也就是说，急需发展一套适用于处理非光滑目标函数的优化理论。在国内，目前尚未见有关正则化对偶模型在图像重构中应用方面的专著出版。为推动该领域的发展，本书阐述如何将原始正则化模型转化为对偶模型，以使对偶模型具有良好的特性。在此基础上，针对大规模优化问题很难处理，以及处理速度慢的特点，本书利用算子分裂原理，将大规模优化问题分裂为几个小的子问题（子问题具有良好的特性，如光滑特性、具有封闭的解析解等），使得获得的子问题容易处理，进而设计高效、快速交替迭代的算法，使得大规模数据的实时处理成为可能。 本书是在参考大量国内外论文和学术专著的基础上，结合作者多年来在能量泛函正则化模型这一领域的研究积累撰写而成的。由于该领域属于交叉学科，涉及门类较多，作者为研究此领域，在美国密苏里大学圣路易斯校区、密苏里州圣路易斯华盛顿大学进行了为期一年多的访问学习，并在密苏里大学圣路易斯校区理学院进行了调和分析及成像问题研究。在新冠肺炎疫情期间，作者静下心来，对该领域进行深入思考、潜心钻研，几经寒暑易稿，最终成书，了却了作者出版一部“正则化对偶模型研究”方面专著的心愿。 在本书的素材准备过程中，边素轩女士提供了大量的图像素材，并对整本书进行了语言润色，在前后章节及每章结构安排等方面，提出了很多宝贵意见，并对稿件进行了排版。赤峰学院大数据图像处理研究所的王晓辉博士、姜喜玲博士和刘清荣博士为本书的出版提出了很多宝贵意见，使作者受益匪浅，在此表示衷心的感谢。感谢电子工业出版社徐蔷薇编辑为本书的出版所做的精心细致的工作。 本书得到了内蒙古科技厅自然科学基金（编号：2020MS06003、2016MS0602）的资助，从而得以顺利出版，作者在此对内蒙古科技厅的领导表示衷心的感谢。 全书共6章，第1章介绍正则化对偶模型国内外发展现状，着重介绍对偶模型、原始-对偶模型国内外研究的现状，分析其优缺点，并指明发展方向；第2章介绍正则化对偶模型研究的数学基础；第3章介绍图像重构基本原理；第4章介绍迭代算法在图像重构正则化模型中的应用；第5章介绍正则化对偶模型原理及在图像重构中的应用；第6章介绍正则化原始-对偶模型原理及在图像重构中的应用。 本书参考了国内外相关领域许多专家的研究成果，引用了其观点和数据，作者在此表示诚挚的谢意。 由于作者水平有限，加之负责新兴交叉学科数据科学与大数据方向的教学工作，教学任务繁重，对大数据处理研究处于探索阶段，书中难免存在不妥与疏漏之处，敬请相关领域的专家、学者和读者批评斧正，以期共同推动正则化对偶模型在大数据图像处理中的应用，为我国科技事业的快速发展贡献微薄之力。 李旭超 2022年2月于赤峰学院 大数据图像处理研究所

目录 第1章 正则化对偶模型国内外发展现状 001 1.1 图像重构模型的发展阶段 002 1.1.1 数据拟合阶段 002 1.1.2 贝叶斯理论应用阶段 004 1.1.3 能量泛函正则化模型阶段 010 1.2 迭代步长更新准则 020 1.3 正则化对偶模型存在的问题及发展方向 020 1.3.1 正则化对偶模型存在的问题 020 1.3.2 正则化对偶模型的发展方向 021 1.4 本章小结 021 本章参考文献 022 第2章 正则化对偶模型研究的数学基础 027 2.1 图像延拓 027 2.2 有限差分法 033 2.2.1 一元函数的泰勒公式 033 2.2.2 二元函数的泰勒公式 035 2.2.3 利用差分计算扩散函数的解 037 2.3 图像的矢量分析 040 2.3.1 一阶微分算子 040 2.3.2 二阶微分算子 044 2.4 非参数化迫近算子及参数化迫近算子 046 2.4.1 非参数化迫近算子的定义 046 2.4.2 常用函数的迫近算子 046 2.4.3 参数化迫近算子的定义 050 2.4.4 常用函数参数化迫近算子 051 2.4.5 迫近算子在图像重构中的应用 054 2.5 本章小结 060 本章参考文献 061 第3章 图像重构基本原理 064 3.1 图像重构解决的基本问题 065 3.1.1 图像重构基本原理简介 065 3.1.2 图像重构常用检测的数学模型及其仿真 065 3.2 傅里叶变换及图像重构基本原理 072 3.2.1 连续傅里叶变换 072 3.2.2 离散傅里叶变换 079 3.3 层析成像基本原理 088 3.3.1 平行束和扇束扫描 089 3.3.2 利用平行束和扇束投影数据进行层析成像 093 3.4 本章小结 100 本章参考文献 101 第4章 迭代算法在图像重构正则化模型中的应用 103 4.1 图像的稀疏化表示 105 4.2 不动点原理及在图像重构模型中的应用 109 4.2.1 不动点迭代原理 109 4.2.2 迭代算法在图像重构模型中的应用 112 4.3 正则化模型及迭代算法在图像重构中的应用 118 4.3.1 光滑型正则化模型在图像重构中的应用 119 4.3.2 非光滑型正则化模型在图像重构中的应用 123 4.3.3 混合型正则化模型在图像重构中的应用 131 4.4 本章小结 135 本章参考文献 136 第5章 正则化对偶模型原理及在图像重构中的应用 139 5.1 对偶变换的物理意义及应用举例 139 5.1.1 对偶变换的物理意义 140 5.1.2 对偶变换应用举例 142 5.1.3 对偶变换的性质及应用 147 5.2 对偶模型基本原理 151 5.2.1 利用对偶变换将原始模型转化为对偶模型 151 5.2.2 利用拉格朗日乘子原理将原始模型转化为对偶模型 152 5.2.3 原始模型与对偶模型的算子关系 153 5.2.4 原始函数与对偶函数的对偶函数的关系 153 5.3 图像重构中的对偶模型 156 5.4 对偶模型迭代算法 163 5.4.1 对偶模型优化基本原理 163 5.4.2 迭代算法在图像重构对偶模型中的应用 164 5.4.3 对偶模型中的预测-校正交替迭代算法收敛特性 175 5.5 本章小结 177 本章参考文献 178 第6章 正则化原始-对偶模型原理及在图像重构中的应用 181 6.1 变分不等式基础及应用 182 6.1.1 变分不等式 182 6.1.2 变分不等式的应用 183 6.2 基于转化模型的交替迭代算法 185 6.2.1 基于原始-对偶模型的迫近-梯度交替迭代算法 185 6.2.2 基于增广拉格朗日模型的交替方向乘子迭代算法 191 6.3 交替迭代算法步长及迫近算子的计算 194 6.3.1 交替迭代算法步长的确定 194 6.3.2 迫近算子的计算 196 6.4 图像重构中迫近算子的计算 201 6.5 本章小结 203 本章参考文献 204