《复分析》是一部为数学及相关专业大学二年级和三年级学生编写的教材， 理论与实践并重。为了便于非数学专业的学生学习， 全书内容简明、易懂， 读者只需掌握微积分和线性代数知识即可阅读。本书共十章内容， 分别为： 复分析预备知识、柯西定理及其应用、亚纯函数和对数、傅里叶变换、整函数、Gamma函数和Zeta 函数、Zeta 函数和素数定理、共形映射、椭圆函数、Theta 函数的应用。后还有附录A和附录B， 分别介绍了渐近理论和单连通与Jordan 曲线定理。附录A主要内容包括Bessel函数、Laplace方法、Stirling公式、Airy函数和分割函数等； 附录B中介绍了单连通、卷绕数和Jordan曲线定理等内容。本书每个章节都引用了大量的例子， 使读者能很好地理论联系实际。此外， 每章后还附有大量的练习和问题， 让读者在掌握知识的同时能举一反三， 将问题推广。一些问题甚至是超出本书范围的， 这些问题用星号标记， 这给读者的深入钻研留出了足够的空间。

从2000年春季开始，四个学斯的系列课程在普林斯顿大学讲授，其目的是用统一的方法去展现分析学的核心内容.我们的目的不仅是为了生动说明存在于分析学各个部分之间的有机统一，还是为了阐述这门学科的方法在数学其他领域和其他自然科学的广泛应用.本书是对讲稿的一个详细阐述. 虽然有许多优秀教材涉及我们覆盖的单个部分，但是我们的目标不同：不是以单个学科，而是以高度的互相联系来展示分析学的各种不同的子领域.总的来说，我们的观点是观察到的这些联系以及所产生的协同效应将激发读者更好地理解这门学科.记住这点，我们专注于形成该学科的主要方法和定理（有时会忽略掉更为系统的方法），并严格按照该学科发展的逻辑顺序进行. 我们将分析学的内容分成四册，每一册反映一个学期所包含的内容，这四册的书名如下： Ⅰ傅里叶分析导论. Ⅱ复分析. Ⅲ实分析：测度论、积分以及希尔伯特空间. Ⅳ泛涵分析：分析中的几个论题. 但是这个列表既没有完全给出分析学所展现的许多内部联系，也没有完全呈现出分析学在其他数学分支中的显著应用.下面给出几个例子：第一册中所研究的初等（有限的）Fourier级数引出了Dirichlet特征，并由此使用等差数列得到素数有无穷多个；X射线和Radon变换出现在第一册的许多问题中，并且在第三册中对理解二维和三维的Besicovitch型集合起着重要作用；Fatou定理断言单位圆盘上的有界解析函数的边界值存在，并且其证明依赖于前三册书中所形成的方法；在第一册中，θ函数首次出现在热方程的解中，接着第二册使用θ函数找到一个整数能表示成两个或四个数的平方和的个数，并且考虑ζ函数的解析延拓. 对于这些书以及这门课程还有几何额外的话.一学期使用48个课时，在很紧凑的时间内结束这些课程，每周习题具有不可或缺的作用，因此，练习和问题在我们的书中有同样重要的作用.每个章节后面都有一系列“练习”，有些习题简单，而有些则可能需要更多的努力才能完成.为此，我们给出了大量有用的提示来帮助读者完成大多数的习题.此外，也有许多更复杂和富于挑战的“问题”，特别是用星号标记的问题是最难的或者超出了正文的内容范围. 尽管不同的分册之间存在大量的联系，但是我们还是提供了足够的重复内容，以便只需要前三本书的极少的预备知识：只需要熟悉分析学中初等知识，例如极限、极数、可微函数和Riemann积分，还需要一些有关线性代数的知识.这使得对不同学科（如数学、物理、工程和金融）感兴趣的本科生和研究生都易于理解本系列丛书. 我们怀着无比喜悦的心情对所有帮助本系列丛书出版的人员表示感谢.我们特别感谢参与这四门课程的学生.他们持续的兴趣、热情和奉献精神所带来的鼓励促使我们有可能完成这项工作.我们也要感谢Adrian Banner和Jose Luis Rodrigo，因为他们在讲授本系列丛书时给予了特殊帮助并且努力查看每个班级的学生的学习情况.此外，Adrian Banner也对正文提出了宝贵的建议. 我们还特别感谢以下几个人：Charles Fefferman，他讲授第一周的课程（成攻地开启了这项工作的大门）；Paul Hagelstein，他除了阅读一门课程的部分手稿，还接管了本系列丛书的第二轮教学工作；Daniel Levine，他在校对过程中提供了有价值的帮助.最后，我们同样感谢Gerree Pecht，因为她很熟练地进行排版并且花了时间和精力为这些课程做准备工作，诸如幻灯片、笔记和手稿. 我们还要感谢普林斯顿大学的250周年纪念基金和美国国家科学基金会的VIGRE项目的资金支持.

目　　录
译者的话
前言
引言
第1章复分析预备知识1
1 复数和复平面1
1.1基本性质1
1.2收敛性3
1.3复平面中的集合4
2 定义在复平面上的函数5
2.1连续函数5
2.2全纯函数6
2.3幂级数10
2.4沿曲线的积分13
2.54练习17
第2章 柯西定理及其应用23
1 Goursat定理24
2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理26
3 一些积分估值29
4 柯西积分公式32
5 应用37
5.1Morera定理37
5.2全纯函数列37
5.3按照积分定义全纯函数39
5.4Schwarz反射原理40
5.5Runge近似定理42
6 练习44
7 问题47
第3章 亚纯函数和对数50
1 零点和极点51
2 留数公式54
2.1例子55
3 奇异性与亚纯函数58
4 辐角原理与应用62
5 同伦和单连通区域65
6 复对数68
7 傅里叶级数和调和函数70
8 练习72
9 问题75
第4章傅里叶变换78
1 F类79
2 作用在F类上的傅里叶变换80
3 PaleyWiener定理85
4 练习90
5 问题94
第5章 整函数96
1 Jensen公式97
2 有限阶函数99
3 无穷乘积101
3.1一般性101
3.2例子正弦函数的乘积公式102
4 Weierstrass无穷乘积104
5 Hadamard因子分解定理106
6 练习110
7 问题113
第6章 Gamma函数和Zeta函数115
1 Gamma函数115
1.1 解析延拓116
1.2 Γ函数的性质118
2 Zeta函数122
2.1 泛函方程和解析延拓122
3 练习127
4 问题131
第7章 Zeta函数和素数定理133
1 Zeta函数的零点134
1.1 1/ζ（s）的估计137
2 函数ψ和ψ1的简化138
2.1 ψ1的渐近证明142
3 练习146
4 问题149
第8章 共形映射151
1 共形等价和举例152
1.1 圆盘和上半平面153
1.2 进一步举例154
1.3 带形区域中的Dirichlet问题156
2 Schwarz引理圆盘和上半平面的自同构160
2.1 圆盘内的自同构161
2.2 上半平面的自同构163
3 黎曼映射定理164
3.1 必要条件和定理的陈述164
3.2 Montel定理165
3.3 黎曼映射定理的证明167
4 共形映射到多边形上169
4.1一些例子169
4.2SchwarzChristoffel积分172
4.3边界表现174
4.4映射公式177
4.5返回椭圆积分180
5 练习181
6 问题187
第9章 椭圆函数介绍192
1 椭圆函数193
1.1Liouville定理194
1.2Weierstrass函数196
2 椭圆函数的模特征和Eisenstein级数200
2.1 Eisenstein级数201
2.2 Eisenstein级数和除数函数203
3 练习205
4 问题207
第10章 Theta函数的应用209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式209
1.1进一步的变换法则214
2 母函数216
3 平方和定理218
3.1二平方定理219
3.2四平方定理224
4 练习228
5 问题232
附录A渐近236
1 Bessel函数237
2 Laplace方法Stirling公式239
3 Airy函数243
4 分割函数247
5 问题253
附录B单连通和Jordan曲线定理256
1 单连通的等价公式257
2 Jordan曲线定理261
2.1柯西定理的一般形式的证明268
注释和参考书目270
参考文献273

Elias M. Stein，数学家，美国普林斯顿大学终身教授，美国国家科学院院士，沃尔夫奖获得者。他是当代分析，特别是调和分析和分析领域领袖人物之一。由于在研究领域的突出贡献，Elias M. Stein荣获1984年美国数学会在论述方面的Steele奖，1993年获得瑞士科学院颁发的Schock奖，1999年获得瑞士科学院颁发的Schock奖。他的许多著作成为影响学科发展的重要参考文献。