本书系统讲解拓扑学理论知识，共分两部分，第一部分一般拓扑学，包括集合论、拓扑空间、连通性、紧致性以及可数性公理和分离性公理；第二部分代数拓扑学，较完整地阐述了基本群、覆叠空间及其应用． 本书论证严密、条理清晰，并带有大量的例子及不同难度的习题，适合作为大学数学专业高年级本科生或一年级研究生的教材或参考书．

本书是为拓扑学引论编写的教材，适用于高年级本科生和一年级研究生程度的一学期或两学期课程． 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，同时，它也是进一步学习分析、几何和代数拓扑的基础．拓扑学的入门教材应当包含什么样的内容，数学家们对此并没有一致的看法．适合在这一课程中讲授的论题很多，但对于不同的要求应当有不同的选择．对于本书的选材，我力图在各种不同的观点之间取得某种平衡． 预备知识 本书中大部分内容的学习，并不要求预修其他课程，甚至不要求了解很多集合论的知识．然而，在此我必须强调，除非读者学过一点数学分析或者“严格微积分”，否则对在本书第一部分引入的大部分概念的动机将会感到困惑．如果学生对于诸如连续函数、开集与闭集、度量空间等有所了解，学习的过程将会十分顺畅，尽管实际上并不要求具备这些知识．在第8章中，我们假定读者熟知群论基础． 根据本人的经验，学习拓扑学课程的多数学生已经有了一些关于数学基础方面的知识，但是掌握程度差异很大，所以，本书一开始就用一整章的篇幅讨论集合论与逻辑学．从初级水平开始，上升到可以称为“准高手”的水平．这一章涉及的内容都是本书后文中所必需的． 大多数学生对于这一章的前几节都很熟悉，但是，这些学生中有许多学到中间几节时，便会感到不知所措．到底这一章的教学要花费多少时间和精力，主要取决于学生的数学领悟力和数学体验．为了判断学生是否掌握了开始学习拓扑学所需的集合论知识，一个有效的检验方法就是看他们能否顺利地(正确地)完成习题． 许多学生(以及教师)喜欢跳过第1章中的基础内容而直接进入拓扑学的学习．轻视基础学习的后果便是混淆和错误．你可以先学习马上要用到的那几节，而暂时搁置其余部分，等到需要时再补．前7节内容(直到可数性)为本书通篇所需要．我通常将其中某些部分指定为课外阅读或讲座材料．讨论选择公理和良序定理的第9节和第10节到第3章中讨论紧致性时才会用到． 讨论极大原理的第ll节仅在讨论Tychonoff定理(第5章)和线性图的基本群的有关定理(第14章)时才会用到，可以延后些处理． 本书的内容编排 本书可适用于多种教学安排．我力图使本书的编排更具弹性，以便教师能根据个人的喜好自由取舍． 第一部分包含前面8章，它以人们通常所说的一般拓扑为主题．就个人观点而言，前4章是主体，这些内容任何一本拓扑学入门教程都会包含，是点集拓扑的“核心”，涉及的内容包括集合论、拓扑空间、连通性、紧致性(包括有限积的紧致性)、可数性公理和分离性公理(包括Urysohn度量化定理)．第一‘部分的其余4章研究其他一些论题，彼此相互独立，但都依赖于前4章中的核心内容．教师可以按任何顺序选用． 第二部分是代数拓扑引论．它只依赖于第1章至第4章中的核心内容．本书这一部分较为完整地阐述了基本群、覆叠空间的概念以及它们的各种应用．这一部分中的某些章是相互独立的。 书中有些节带有星号，放弃或者搁置这些节不影响本书的连贯性． 某些定理也带有星号．依赖于带星号的那些节或定理的后续内容都适时地给出了说明，并且在需要用到带星号部分的地方再次说明．部分习题也对其前面的带星号的内容有所依赖，但这类依附关系是显而易见的． 有几章的末尾附有补充习题，这些补充习题提供了探索那些略微偏离本书主线的课题的机会，有进取心的学生不妨以这些习题中的一个为基础动手作论文或者作研究课题．大部分补充习题都是完全自含的，只是关于拓扑群的补充习题在本书后面几节中有一些附加习题作为其后续． 教学安排 选用本书作为一般拓扑学教材的大多数教师都希望讲完第1章至第4章，再加上第5章中的Tychonoff定理．也有许多人愿意多讲一些附加专题．有几种选择：Stone-Cech紧致化(第38节)，度量化定理(第6章)，Peano曲线(第44节)，Ascoli定理(第45节和／或第47节)以及维数论(第50节)．对于上述每一个方案，我都在不同学期里采用过． 对于代数拓扑学一学期的课程而言，可以讲完第二部分的大部分内容． 在一个学期中既讲一般拓扑学又讲代数拓扑学也是可以的，作为代价要适当降低一些难度．一个可行的方案是讲授第l章至第3章，然后讲授第9章，后者不依赖于第4章． (第10章和第13章中不带星号的那些节也不依赖于第4章．) 版本说明 熟悉本书第l版的读者将会发现，本书中讨论一般拓扑学的部分没有本质性的变动．我一直在尽全力来“调整”教材内容和习题．第1版中讨论代数拓扑学的最后一章已经进行了本质性的扩充和改写，这便是本书的第二部分．从第l版问世的几年以来，将拓扑学作为一门两个学期的课程已经日益成为一种共识，第一个学期讲一般拓扑学，第二个学期讲代数拓扑学．但愿这一版通过对后者相关内容的扩充能够满足此类教学的需要．

第一部分一般拓扑学<br />第1章集合论与逻辑<br />1基本概念<br />2函数<br />3关系<br />4整数与实数<br />5笛卡儿积<br />6有限集<br />7可数集与不可数集<br />*8归纳定义原理<br />9无限集与选择公理<br />10良序集<br />*11极大原理<br />*附加习题：良序<br />第2章拓扑空间与连续函数<br />12拓扑空间<br />13拓扑的基<br />14序拓扑<br />15X×Y上的积拓扑<br />16子空间拓扑<br />17闭集与极限点<br />18连续函数<br />19积拓扑<br />20度量拓扑<br />21度量拓扑（续）<br />*22商拓扑<br />*附加习题：拓扑群<br />第3章连通性与紧致性<br />23连通空间<br />24实直线上的连通子空间<br />*25分支与局部连通性<br />26紧致空间<br />27实直线上的紧致子空间<br />28极限点紧致性<br />29局部紧致性<br />*附加习题：网<br />第4章可数性公理和分离公理<br />30可数性公理<br />31分离公理<br />32正规空间<br />33Urysohn引理<br />34Urysohn度量化定理<br />*35Tietze扩张定理<br />*36流形的嵌入<br />*附加习题：基本内容复习<br />第5章Tychonoff定理<br />37Tychonoff定理<br />38Stoneech紧致化<br />第6章度量化定理与仿紧致性<br />39局部有限性<br />40NagataSmirnov度量化定理<br />41仿紧致性<br />42Smirnov度量化定理<br />第7章完备度量空间与函数空间<br />43完备度量空间<br />*44充满空间的曲线<br />45度量空间中的紧致性<br />46点态收敛和紧致收敛<br />47Ascoli定理<br />第8章Baire空间和维数论<br />48Baire空间<br />*49一个无处可微函数<br />50维数论导引<br />*附加习题：局部欧氏空间<br /><br />第二部分代数拓扑学<br />第9章基本群<br />51道路同伦<br />52基本群<br />53覆叠空间<br />54圆周的基本群<br />55收缩和不动点<br />*56代数基本定理<br />*57BorsukUlam定理<br />58形变收缩核和伦型<br />59Sn的基本群<br />60某些曲面的基本群<br />第10章平面分割定理<br />61Jordan分割定理<br />*62区域不变性<br />63Jordan曲线定理<br />64在平面中嵌入图<br />65简单闭曲线的环绕数<br />66Cauchy积分公式<br />第11章Seifertvan Kampen定理<br />67阿贝尔群的直和<br />68群的自由积<br />69自由群<br />70Seifertvan Kampen定理<br />71圆周束的基本群<br />72黏贴2维胞腔<br />73环面和小丑帽的基本群<br />第12章曲面分类<br />74曲面的基本群<br />75曲面的同调<br />76切割与黏合<br />77分类定理<br />78紧致曲面的构造<br />第13章覆叠空间分类<br />79覆叠空间的等价<br />80万有覆叠空间<br />*81覆叠变换<br />82覆叠空间的存在性<br />*附加习题：拓扑性质与π1<br />第14章在群论中的应用<br />83图的覆叠空间<br />84图的基本群<br />85自由群的子群<br />参考文献<br />索引

James R.Munkres:　　James R. Munkres 麻省理工学院数学系教授。除本书外，他还著有《Analysis on Manifolds》、《Elementary Differential Topology》等书。