本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中有精心选取的全国竞赛（非数学类）的部分原题。书中还给出了最近几届全国大学生数学竞赛（非数学类）的试卷，有别于试卷本身的“参考答案”，我们对部分题目重新做了解答，为读者提供了更高质量的参考解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。全部习题都附有较详细的解答，以便于读者自学。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，书中加入了一些历史上的数学名题，如“最速降线问题”“等周问题”“圆周率是无理数”； 还提供了一些数学新题，如“公路占地原理”“弯管的启示”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。

自2010年《大学生数学竞赛习题精讲》发行以来，受到全国各高校师生的广泛关注和热评，收到了辅导教师和参赛学生大量的反馈信息和建议，我们在此基础上对本书进行了多次修改、重印和再版，至今已经是第3版了。在多次的改版中，仍坚持以数学竞赛的训练为主导思想，保留了很多基本题，并且增加了更多的新题目，同时删除了很多过于繁琐枯燥且不适合数学竞赛的题目。使得教材中的题目稳定保持在1200多道题，同时给出了最近几届全国大学生数学竞赛(非数学类)的试卷。有别于试卷本身的“参考答案”，本书对部分试题重新做了解答，为读者提供了更高质量的参考解答。

在本书中，有特色的题大都被命名并开列在目录中，如“用施托尔茨定理求极限”“线性微分方程特解的算子解法”“将地球变为黑洞”等。对每一节的习题都以标题的形式做了详细的分类，以帮助读者归纳和查找，也使该书的内容更为系统化。为适合“非数学专业”学生的特点，习题的解答避免使用诸如“εδ”“一致连续”“一致收敛”等专业化的数学概念和方法，这样更适合非数学专业的学生解题。全书习题的难易差异较大，以适合不同层次的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。经典的基本题约占二分之一，书中难度较大的题目都标以“*”号。本书涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。由于只在决赛阶段才会出现15%~20%的线性代数试题，其数量很少且不成系统，因此在本书中没有安排线性代数的内容。

为满足高层次学生对“数学梦”的追求，本书中增加了很多趣味性的题目。这些题目本身或解题的技巧性都很有吸引力，它们在其他的教学参考书中几乎是见不到的，如“陈家全的百米世界纪录”“默比乌斯带的参数方程”“曲线簇的包络线”“公路占地原理”“弯管的启示”等题目。一些历史名题也被列入本书之中，如 “等周问题”“圆周率是无理数”“最速降线问题”等。它们都经过作者的改写，使得非数学专业的学生也能够读懂。这些题被标以“**”，并介绍了相应的历史背景。现在理工科本科学生所学的微积分知识已经非常丰富，远超于牛顿的微积分水平，因此对于牛顿时期的历史名题，读者可以小试牛刀，看看自己与数学大师们的差距，以此锻炼创造性的思维，这是一件很有乐趣的事情。一些纯数学问题在本书中做了应用化处理，以强调数学建模的重要意义，如“咕噜金定理”“一刀二饼问题”“公路隔离栏原理”“马王堆一号墓的年代考证”等，这样的题目也可以作为数学建模的教学案例。

教师在辅导的过程中，应注意多讲基本题。具有代表性的基本题大都被编排在例题之中。很多基本题尽管也有一定的难度，但教师讲授的重点则应放在解题的基本方法和思路上。例如“微分中值等式”问题，本书给出了构造辅助函数的一般性方法，教师只需把这个方法讲明白，此类习题可由学生自己完成。本书配有详细的习题解答，很适合学生自学之用。特别是积分应用中的各种微元法，其基本思想分别在各个积分章节的“内容要点”和题目的评注里做了阐述，讲授时要做到融会贯通。微积分的复杂演算是众多参赛学生的弱项，教师应在竞赛的培训中注意对学生的演算能力、耐心和技巧的培养。本书中提供了大量的演算技巧和简算方法，这也是在培训中需加以强调之处。对于经济和管理类的学生，除去“曲线与曲面积分”的内容，其他内容皆适用。

本书的编写受到了很多高校教师的关心和帮助，他们是： 北京邮电大学的孙洪祥，中国地质大学(北京)的李志刚、邢永丽，北京科技大学的李卫东、王辉等，在此表示感谢。也感谢曾庆黎、李少琪、陈振国、赵丽娟等老师为本书提供的大量咨询工作。

大学生数学竞赛是促进大学数学教育，培养学生创新能力的重要方式。期望本书成为广大参赛学生和数学爱好者的有益读物，书中的很多习题也可以用于其他数学教学之中。此书还有很多不足之处，恳请读者批评指正，我们的邮箱为 zkchxy@163．com。

编者2019年12月

第1部分要点、例题与习题

第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.1.1内容要点

1.1.2例题选讲

1.1.3习题汇编

 内容分类

一般数列的极限

递推、迭代数列的极限

数列的收敛速度

数列极限的综合题

函数极限

 特色题

数列极限的平均值例2

数列xn+1=c+xn的极限例3

用比值法和根值法求数列极限例5

数列an，n-p趋于零的速度比较例7（1）

lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7（2）

用施托尔茨定理求数列极限题10

用夹逼准则求数列极限题12

数列 sinnθ 的极限题15

用单调有界原理求数列极限题25

方程tanx=x的根所成数列的

极限题37

交叉迭代的数列极限题41

空间中4个点交叉迭代的点列

极限题43

幂指型极限的等价无穷小代换题51

用微分中值定理求极限题52

笛卡儿叶形线的渐近线题56

函数 (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的

极限题61

x→0+时函数 xxxx的极限题62

1.2一元函数的连续性

1.2.1内容要点

1.2.2例题选讲

1.2.3习题汇编

 内容分类

介值定理、零点定理与连续性

函数方程与连续性

连续函数的应用题

 特色题

2x的函数方程例1

椭圆的外切正方形例2

奇偶次多项式的实零点与最值例3

连续性与不动点例4

最大、最小函数的连续性题8

地球上的同温点题14

陈家全的百米世界纪录题15

方桌的平稳摆放问题题17

“一刀二饼”问题题19

第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.1.1内容要点

2.1.2例题选讲

2.1.3习题汇编

 内容分类

求导法

高阶导数

导函数的性质

微分中值等式

 特色题

用递推公式求x=0处arctanx的

高阶导数例3

导函数的极限定理例5

导函数的介值定理例7

微分中值等式的一般解法例10

函数行列式的导数题14

相关变化率题16

反函数的二三阶导数题27

导数不为零的函数是单调函数题33

导函数没有第一类间断点题34

重根与导函数题39

其他特色题题2，25（2），31

2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及

泰勒公式

2.2.1内容要点

2.2.2例题选讲

2.2.3习题汇编

 内容分类

泰勒公式

泰勒公式与不等式

函数的单调性与不等式

函数的凹凸性与不等式

函数的极值与最值

 特色题

函数展开为麦克劳林公式的常用

方法例1

麦克劳林公式与等价无穷小例2

泰勒公式与不等式例3，4

极值的高阶导数判别法例8

关于严格凹（凸）不等式例10

从低阶到高阶排列的4个无穷小题7

若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题24

反函数的凹凸性题29

平均值不等式题35

柯西不等式题36

凹凸函数与最值题44

数列 {nn}的最大项题46

函数∑ni=1|x－ai|的最小值题47

伯努利不等式(1+x)α≥1+αx题49

其他特色题

题9，26，27，28，32，37，39，54

2.3一元函数微分学综合题

 内容分类

导数与函数方程、恒等式

方程的根与导数

优化问题

其他综合题

 特色题

f(x)=tanx的函数方程题4

方程2x=x2+1有3个不同的实根

题17

多项式［(x2－1)n］(n)的实零点分布

题20

由图形判断x3－3x+p=0的根题26

公路上的选址问题与重心法题30

函数1+x+…+xn/n!的实零点题38

e是无理数题43

误差悖论与泰勒公式题45

与arctanx的高阶导数有关的问题题47

数列{nsin(2πen!)}的极限题50

最大熵原理题55

其他特色题

题1，10，14，15，24，42，49，57

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.1.1内容要点

3.1.2例题选讲

3.1.3习题汇编

 内容分类 

有理函数的积分

三角函数有理式的积分

无理函数的积分

幂三指函数的积分

综合题

 特色题

有理函数积分的5个常见类型例1

三角函数有理式积分的常用换元法例2

函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封

闭性例8

非常规分解的有理函数的积分题2

∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题5

∫cosmxsinnxdx的递推公式题7

用倒代换计算的积分题10

∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分

题13

函数系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题15

分段函数的原函数题26

3.2定积分及其在几何与物理中的

应用

3.2.1内容要点

3.2.2例题选讲

3.2.3习题汇编

 内容分类

定积分与广义积分的计算

积分等式及变限积分

定积分在几何与物理中的应用

 特色题

某些定积分的简算例2，题1

连接两点的最短路径是线段例4

求变项和的极限例5

定积分与微元法例6

图形绕斜轴的旋转体体积例7，题30

正交函数系题7,8

柱壳法求旋转体体积题29

椭圆外等距线的长度题38

惠更斯摆的等时性题44

旋轮线的等时性题45

其他特色题例3，题2，15，17，19，23

3.3定积分综合题

 内容分类

积分不等式

积分极限

其他综合题

 特色题

积分的柯西不等式题3

凹凸形函数的积分不等式与等式题15

积分极限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx题21

积分极限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x题29

原函数的奇偶性和周期性题32

圆周率π是无理数题37

最大微分熵题43

其他特色题题2,4，11，12,18，42，48

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.1.1内容要点

4.1.2例题选讲

4.1.3习题汇编

 特色题

下料问题例1

曲面上的蚂蚁寻路问题例2，题14

正劈锥的参数方程例3

默比乌斯带的参数方程例5

一般旋转曲面的参数方程例6

在椭球面上截圆题1

单叶双曲面是直纹面题6

欧拉四面体问题题8

齐次函数与锥面方程题11

空间圆的参数方程题15

礼花绽放题21

其他特色题题16，17，18

4.2多元函数的极限、连续与微分

4.2.1内容要点

4.2.2例题选讲

4.2.3习题汇编

 内容分类

多元函数的极限与连续

偏导数

全微分

高阶偏导数

综合题

 特色题

x2+y2的方向导数与偏导数例4

已知全微分求原函数例7，题18

高阶偏导数例10，题20

解偏微分方程例13，题31

极坐标下的偏导数题6

调和函数题21,22

一个二元函数的恒等式题34

齐次函数题38

其他特色题例8，题7，37

4.3多元函数微分学的应用

4.3.1 内容要点

4.3.2例题选讲

4.3.3习题汇编

 内容分类

多元函数微分学的几何应用

多元函数的极值与最值

多元函数微分学的综合题

 特色题

曲线簇的包络线例2，题6,7

等距线例3，题9

最远（近）点的垂线原理例5，题24,25，26，27

一个不寻常的切线问题题2

椭球面的切线束题10

柱面方程的特征题11

唯一极值非最值的例子题22

点到3条直线的距离之和最小题32

4点共圆时四边形的面积最大题36

三角形的费马点题37

其他特色题题15，21，37，38，

第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.1.1内容要点

5.1.2例题选讲

5.1.3习题汇编

 内容分类

重积分的计算与简算

重积分的一般变量代换

含参数的积分

积分不等式

求面积和体积问题

综合题

 特色题

重积分的对称奇偶性例1

用重心法计算的重积分例3

卷积的计算例7，题21

卷积的运算律题20

二次型与椭圆的面积题31

二次型与椭球的体积题33

其他特色题例5,6，题5，11，22，23，26，34，42，44

5.2曲线积分与曲面积分

5.2.1内容要点

5.2.2例题选讲

5.2.3习题汇编

 内容分类

曲线积分

对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分

 特色题

用平移变换计算的一个曲线积分例1

闭曲线内部有奇点的曲线积分例2

调和函数的平均值定理例4

灵活选择的面积微元 例5

用积分坐标的转换计算曲面积分例6，题22

用轮换对称计算的曲面积分例9

凑原函数计算曲线积分题10

用对称奇偶性计算曲面积分题14

用斯托克斯公式计算曲线积分

题27，28

其他特色题题6，11，23，30

5.3多元函数积分学的应用

5.3.1内容要点

5.3.2例题选讲

5.3.3习题汇编

 内容分类

多元积分学的几何应用

多元积分学的物理应用

 特色题

用微元法解释对称奇偶性例1，题1

用曲线积分求柱面的面积例2

星形线的旋转面面积例3

圆锥面铺平后其上的曲线长度不变例4

公路隔离栏原理例5

公路占地原理例6

等周问题的证明例7

圆柱面铺平后其上的曲线长度不变

题2

咕噜金定理题6

弯管的启示题8

阿基米德定律的推导题16

旋转液面的形状题18

雪堆的融化问题题19

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.1.1内容要点

6.1.2例题选讲

6.1.3习题汇编

 内容分类

级数求和

正项级数

一般项级数

综合题

 特色题

拆项相消法求级数的和例1，题1

正项级数的敛散性与一般项趋于零的

速度例3

正项级数敛散性的积分判别法例4

条件收敛级数中的正负项级数例5

条件收敛的级数不满足加法交换律

例6

用泰勒公式分解级数例7，题29，30

级数的敛散性与数列的敛散性例8

比较法的极限形式不适合非正项

级数例9

一个二重级数的敛散性题17

数列xn=cosxn－1的敛散性题45

斐波那契数列与黄金分割比题47

无穷积分的敛散性与级数的敛散性题51,52

狄利克雷积分∫+∞0(sinx/x)dx条件收敛题53

压缩映射原理题58

其他特色题题13，14，31，34，35，48

6.2函数项级数

6.2.1内容要点

6.2.2例题选讲

6.2.3习题汇编

 内容分类

幂级数的收敛域

函数的幂级数展开式

幂级数求和

一般函数项级数

综合题

 特色题

两个幂级数和的收敛域例1

e－1/x2不能展开为麦克劳林级数例6

傅里叶级数的闭合性公式例8

幂级数 ∑∞n=1sinnn2xn的收敛域题5

斐波那契数列的母函数题14

∑∞n=0sinnx与∑∞n=0cosnx的收敛域题20

用傅里叶级数求数项级数的和题24

有理函数的幂级数特征题30，31

提不尽的银行存款题38

傅里叶级数的维尔丁格不等式题42

用傅里叶级数证明等周问题题43

其他特色题题19，25，34，37

第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.1.1内容要点

7.1.2例题选讲

7.1.3习题汇编

 内容分类

用初等积分法解微分方程

线性微分方程

综合题

 特色题

积分因子例1，题8，9

非齐次线性方程特解的算子解法例5,6，7，题11

二阶线性齐次方程的朗斯基行列式例8

由通解求方程形式题1

二阶常系数非齐次线性方程的一个新

解法题19

用逆算子求不定积分∫x3e2xdx题20

可化为常微分方程的偏微分方程题21

其他特色题题14,25

7.2微分方程的应用题

 内容分类

微分方程的物理应用

微分方程的几何应用

其他应用题

 特色题

将地球变为黑洞题1

滑行距离问题题2

浮筒的振动题3

单摆小幅摆动的周期题4

悬链线题7

最速降线问题题8

马王堆一号墓的年代考证题9

攀岩的路径题10

雨滴流淌的轨迹题11

曳物线题12

追线问题题13

横渡江河的线路题14

摆渡线路题15

4人追逐线路题16

盘山公路的修筑题17

湖泊污染的治理题18

降雪与扫雪问题题21

凶犯的排除题22

给CPU降温题23

新技术的推广题24

第2部分习 题 解 答

第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.2一元函数的连续性 

第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及

泰勒公式

2.3一元函数微分学综合题

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.2定积分及其在几何与物理中的

应用

3.3定积分综合题

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.2多元函数的极限、连续与微分

4.3多元函数微分学的应用

第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.2曲线积分与曲面积分

5.3多元函数积分学的应用

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.2函数项级数

第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.2微分方程的应用

附录A中国大学生数学竞赛大纲

（非数学类）

附录B8~11届全国大学生数学竞赛预赛

（非数学类）赛题及解答

第8届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2016年）

第9届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2017年）

第10届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2018年）

第11届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2019年）

附录C7~10届全国大学生数学竞赛决赛

（非数学类）赛题及解答

第7届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2016年）

第8届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2017年）

第9届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2018年）

第10届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2019年）

附录D常用公式与记号

参考文献

作者从各种相关图书中精选了1200多道竞赛水平的例题和习题，并重新作答，有些题目还给出了多种解法，以拓展读者的解题思路。为了便于读者集中练习，对所选的习题进行了细致的分类和并按照先易后难的次序对同类题目进行排序。虽然每道练习题都给出了详细的解答，但为了给读者营造自主完成练习的环境，分提示、答案、解答三个层次来帮助读者逐步完成练习。

陈兆斗：1950年生人，理学硕士，中国地质大学（北京）数学教师，教授。多年参加北京市大学生数学竞赛的命题工作，并多次对学生做竞赛辅导。

科研方面，参加过国家自然科学基金和863等科研项目；在国内外发表过30多篇论文。编写教材方面，编写出版了《高等数学（工本）》北京大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（工本）习题详解》清华大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（下册）》北京大学出版社（2008年）（主编）。