本书是印度数学家V．K．Krishnan编写的《泛函分析习题集及解答》(Textbook of Functional Analysis: A problem—oriented approach）的中译本．它涵盖了泛函分析的基本内容： 赋范线性空间、HahnBanach定理、Banach空间、一致有界性原理、开映射定理、闭图像定理、对偶性、自反性、弱收敛性、Hilbert空间、Hilbert空间上的算子及其谱理论，对Hilbert空间上的自伴算子、酉算子、正规算子及其谱理论进行了详细讨论．其所选习题难度适中、覆盖面广，给出的解答也较详细．十分适合于学习泛函分析的数学系本科生、研究生或讲授泛函分析的教师作为参考书使用．

    泛函分析越来越被认为是数学的基本领域．这个领域是拓展很多经典数学内容的平台．在这个领域建立起来的理论和技巧被应用到数学的众多分支，特别是被应用到应用数学．因此，在印度以至国外的大学里，泛函分析已经被视为数学研究生课程的核心内容．

    现在已经出现了很多优秀的泛函分析教科书，这些教科书主要详述这个领域的理论框架，它们给出了定理及其严格证明．即使大部分这类书提供了难度不等的习题，但一般都不给出解答．从学生的角度来看，定理的证明有两个目的，第一个自然是确信定理叙述的结果，而第二个也许是最重要的，是理解证明过程应用的技巧．而第二个目的同样可以在习题解答中达到．虽然很多学生能够重新写出定理的证明，但他们在解答即使是中等难度的习题时也会感到困难，甚至有些教师在解答习题时也会觉得吃力．为准确地掌握数学的一个分支，做一定数量与之有联系的习题是唯一的途径，很多人不理解在学习和授课过程中的这个问题．

    本书不采用“引理定理证明推论”这个模式，在每一节的开始我们简要地引入基本概念，之后是与这些概念的简单应用有关的练习．这些练习的主要目的是加深对概念的理解，之后是问题及解答．为使正常水平学生可以理解，这些解答都是很详细的，为使读者阅读起来不费力，问题解答之间都是相互独立的，这样做的结果之一是在某个解答中使用的想法和技巧可能会在别的解答中重复出现．

    大部分经典结果都是以问题形式出现的，因此这本书将以教科书为第一目的，而不应仅仅被视为一本习题集．正如书名所表明的那样，它将通过解习题帮助学习理解泛函分析的基本内容．

    我们选取的主题包含了印度大学理科硕士教学大纲的核心内容．前4章讨论赋范线性空间，Banach空间，对偶空间及谱论，余下的3章涵盖了内积空间、Hilbert空间、有界算子及Hilbert空间上的谱理论，本书几乎所有的问题都是书后列出的参考文献中提供的经典书籍中的习题．有些问题可能是新的．

    正如每本泛函分析教材一样，我们希望读者具有线性代数、实分析及度量空间的基本常识，有时也要求读者知道一点Lebesgue积分及复分析理论．

    我们尽了最大努力使本书不出现错误，但我声明这个愿望可能达不到，有些错误仍会出现在本书中，对此我负全责．

第1章赋范线性空间

1.1线性空间及范数

1.2线性映射的连续性

1.3等价范数，Riesz引理，有限维空间

1.4HahnBanach定理

第2章Banach空间

2.1完备赋范空间

2.2一致有界性原理

2.3开映射定理及闭图像定理

第3章对偶性

3.1对偶空间

3.2弱收敛性

第4章有界线性算子

4.1紧算子

4.2有界算子的谱

第5章Hilbert空间

5.1内积空间

5.2标准正交集

5.3正交补及泛函的表示

第6章Hilbert空间上的算子

6.1有界算子及伴随算子

6.2自伴算子,酉算子及正规算子

第7章Hilbert空间中的谱理论

7.1谱及数值域

7.2紧自伴算子及谱定理

参考文献