分数阶傅里叶变换作为非平稳信号处理的重要方向之一，其基本理论近十多年来得到了长足的发展，并被广泛地应用于雷达、通信、信息安全等领域。本书从基础、应用基础、应用三个层面深入、系统地论述了分数阶傅里叶变换的相关研究成果。全书共分为13章，各章内容均紧

紧围绕分数阶傅里叶变换这一主题，包括： 定义和性质、采样及数值计算、分数阶傅里叶域滤波、随机信号和阵列信号处理、雷达和通信中的应用、图像处理、线性正则变换等。

本书是关于分数阶傅里叶变换理论与应用的一部专著，可供从事相关科研工作，需要对非平稳信号进行处理的研究人员和工程技术人员学习与参考，也可作为高等院校和科研院所信号与信息处理、通信与信息系统、信息安全与对抗、光学工程等专业的教材或教辅资料。

随着现代信号处理理论的迅猛发展，所处理的信号已经由早期的平稳信号逐渐发展到非平稳、非高斯、非单采样率的复杂信号，产生了众多新的信号处理工具。其中，作为非平稳信号处理理论的重要分支之一，分数阶傅里叶变换由于其独有的特点而受到了众多科研人员的青睐，近十多年来新的研究成果不断涌现。作者所领导的课题组是国内较早开展分数阶傅里叶变换相关研究的课题组之一，并努力保持着研究的一致性和连贯性，始终致力于分数阶傅里叶变换理论体系的完善和实际工程应用的开拓。本书是作者近十年来的研究成果经过提炼整理，并融合国内外相关研究的最新进展而形成的，部分研究成果填补了该领域的研究空白。本书体系完整，层次清晰，注重理论与应用的结合，注意知识性和可读性，图文并茂，含有大量的仿真示例，对重要的知识点既有详尽的公式推导，又有合理充分的物理解释，本书不仅可以作为相关研究人员的工具书，而且也可以作为感兴趣读者的入门书籍。

本书共分13章。第1章介绍了分数阶傅里叶变换的发展史，说明了分数阶傅里叶变换在信号处理领域的应用情况。第2章详细介绍了分数阶傅里叶变换定义及其多样性分析，总结了分数阶傅里叶变换的相关性质（基本性质、不确定性准则、高斯函数的分数阶傅里叶变换、周期信号的分数阶傅里叶变换），给出了分数阶傅里叶变换矩的定义以及分数阶傅里叶变换与时频表示的关系，最后还介绍了二维分数阶傅里叶变换、分数阶傅里叶变换的光学实现以及多参数分数阶傅里叶变换。第3章首先给出了基于分数阶傅里叶变换的分数阶算子构造方式，然后根据分数阶傅里叶变换的特点从两个方面阐述了一些常用的分数阶变换。第4章阐述了分数阶傅里叶域乘性滤波器和最优（Wiener）滤波器的实现方法、物理含义及应用特点，并依据上述滤波理论，进一步对分数阶傅里叶变换应用于线性调频信号的检测和参数估计问题作了详细论述。第5章对已有分数阶傅里叶变换离散算法的来源、算法步骤、运算复杂度、准确性等方面都作了详细介绍和分析，并针对部分算法在实际应用中所遇到的问题提出了相应的解决方法。第6章详细介绍了分数阶傅里叶域采样理论，包括时域均匀采样、时域周期非均匀采样以及多通道采样，提出了分数阶傅里叶域数字频率的概念，分析了分数阶傅里叶域分辨率和分数阶圆周卷积。第7章研究了分数阶傅里叶域多抽样率滤波器组理论，给出了整数倍和有理分数倍抽样率转换的实现方法，然后分析了分数阶傅里叶域信号多相结构，讨论了抽取/内插滤波器的高效实现、分数阶傅里叶域M通道滤波器组等。第8章深入研究了随机信号通过分数阶傅里叶域滤波器后的系统响应的统计特征，是对随机信号经过线性时不变系统的扩展。第9章提出了两种基于分数阶傅里叶变换的波束形成方法以及对宽带线性调频信号的一维、二维DOA估计方法。第10章着重讨论了分数阶傅里叶变换在动目标检测、SAR成像、雷达目标识别和脱靶量测量中的应用。第11章则对chirprate调制、通信信道的多路复用和多载波通信中采用分数阶傅里叶变换的可行性、有效性作了详细论述。第12章利用分数阶傅里叶变换的灵活性、chirp基分解以及统一的时频变换特性，研究了基于分数阶傅里叶变换的图像去噪、图像识别、数字水印和图像加密问题。第13章介绍了分数阶傅里叶变换的进一步推广——线性正则变换。了解线性正则变换不但有助于深入地理解分数阶傅里叶变换，而且能够为读者提供新的思路。

曾经或正在北京理工大学电子工程系学习的博士董永强、齐林、李炳照、赵兴浩、陈恩庆、辛怡、杨小明，博士生张峰、孟祥意、李雪梅、杨倩、吴海洲、张南，硕士张卫强等，结合学位论文对分数阶傅里叶变换的理论和应用进行了广泛而深入的研究，他们所取得的有关成果对完成本书起到了重要的作用，作者在此一并向他们表示感谢！

本专著获得了国家科学技术学术著作出版基金、国家杰出青年科学基金（No.60625104）、国家自然科学基金（No.60232010、No.60572094、No.69972003、No.60890072），973计划项目（No.2009CB724003、No.2010CB731902)、北京市优秀博士论文奖励项目、总装重点和面上基金项目、总装预研项目、国防科工委基础科研项目的资助。

作者

2009年5月

第1章绪论

1.1分数阶傅里叶变换的发展历程

1.2分数阶傅里叶变换在信号处理中的应用

1.2.1分数阶傅里叶变换的特点

1.2.2相关应用

1.3本书的章节安排

参考文献

第2章分数阶傅里叶变换定义及性质

2.1分数阶傅里叶变换的定义

2.1.1基本定义

2.1.2分数阶傅里叶变换的其他定义

2.2分数阶傅里叶变换的多样性

2.2.1造成多样性的因素

2.2.2分数阶傅里叶变换核函数

2.3分数阶傅里叶变换的性质

2.3.1基本性质

2.3.2不确定性准则

2.3.3高斯函数的分数阶傅里叶变换

2.3.4周期信号的分数阶傅里叶变换

2.3.5分数阶傅里叶变换矩

2.3.6分数阶傅里叶变换与时频表示的关系

2.4二维分数阶傅里叶变换

2.5分数阶傅里叶变换的光学实现

参考文献

第3章分数阶算子及分数阶变换

3.1分数阶算子

3.1.1分数阶卷积

3.1.2分数阶相关

3.1.3分数阶酉算子和埃尔米特算子

3.2分数阶变换

3.2.1基于傅里叶变换的广义形式

3.2.2基于时频旋转性质

3.3基于分数阶傅里叶变换的对偶转换

3.3.1一般对偶算子及其分数阶版本

3.3.2离散算子和周期算子以及它们的分数阶形式

参考文献

第4章分数阶傅里叶域滤波

4.1波形估计

4.2分数阶傅里叶域的时频滤波

4.2.1线性调频（LFM）信号的分数阶傅里叶域滤波

4.2.2多分量线性调频信号的检测和参数估计

4.2.3扫频滤波器在分数阶傅里叶域的实现及其推广

4.2.4时频滤波示例及误差分析

4.3分数阶傅里叶域最优滤波

4.3.1分数阶傅里叶域的最优滤波

4.3.2多阶最优滤波

4.3.3仿真结果

参考文献

第5章数值计算

5.1采样型DFRFT

5.1.1Ozaktas采样型算法

5.1.2Pei采样型算法

5.2特征分解型DFRFT

5.2.1傅里叶变换的特征值与特征函数

5.2.2DFT矩阵的特征值

5.2.3DFT矩阵的Hermite特征向量

5.2.4DFRFT核矩阵

5.3线性加权型DFRFT

5.3.1基于DFT的线性组合

5.3.2基于DFRFT的线性组合

5.4特殊的DFRFT

5.4.1ZoomFRFT

5.4.2单点快速计算

5.5其他离散分数阶变换

5.6关于DFRFT的总结

参考文献

第6章采样

6.1时域均匀采样

6.1.1采样定理

6.1.2分数阶傅里叶域数字频率

6.1.3离散时间分数阶傅里叶变换和分数阶傅里叶级数

6.1.4分数阶圆周卷积

6.1.5分数阶傅里叶域分辨率

6.1.6对chirp类信号的采样

6.2时域周期非均匀采样

6.2.1基本概念

6.2.2非均匀采样信号的模型

6.2.3周期非均匀采样信号的分数阶傅里叶谱分析

6.2.4周期非均匀采样chirp信号的分数阶傅里叶谱分析

6.2.5周期非均匀采样信号的分数阶傅里叶谱重构

6.2.6仿真实例

6.3分数阶傅里叶域多通道采样

6.3.1分数阶傅里叶域多通道采样定理

6.3.2分数阶傅里叶域多通道采样的滤波器组高效实现

6.3.3分数阶差分采样和非均匀采样滤波器组

参考文献

第7章分数阶傅里叶域多抽样率滤波器组理论

7.1分数阶傅里叶域L倍抽样率转换分析

7.1.1分数阶傅里叶域内插分析

7.1.2L倍抽样率转换的分数阶傅里叶域分析

7.1.3分数阶傅里叶域L倍内插恒等关系

7.2分数阶傅里叶域1/M倍抽样率转换分析

7.2.1分数阶傅里叶域抽取分析

7.2.21/M倍抽样率转换的分数阶傅里叶域分析

7.2.3分数阶傅里叶域M倍抽取恒等关系

7.3分数阶傅里叶域有理数倍抽样率转换分析

7.4分数阶傅里叶域信号多相结构

7.4.1分数阶傅里叶域信号多相结构

7.4.2分数阶傅里叶域信号多相结构的应用

7.5分数阶傅里叶域M通道滤波器组

7.5.1分数阶傅里叶域M通道滤波器组的基本关系

7.5.2分数阶傅里叶域M通道准确重建滤波器组的设计方法

7.5.3分数阶傅里叶域两通道滤波器组

参考文献

第8章分数阶傅里叶域随机信号处理

8.1随机信号通过分数阶傅里叶域滤波器的统计特性分析

8.1.1确定信号通过分数阶傅里叶域滤波器输入输出基本关系

8.1.2随机信号通过分数阶傅里叶域滤波器的统计特性

8.2分数阶功率谱

8.2.1分数阶功率谱的定义

8.2.2分数阶傅里叶域滤波器的输入输出分数阶功率谱关系

8.3分数阶白噪声和chirp平稳随机过程

8.3.1分数阶白噪声

8.3.2chirp平稳随机过程

8.4应用仿真

8.4.1多分量chirp信号检测和参数估计

8.4.2分数阶傅里叶域系统辨识

参考文献

第9章分数阶傅里叶域阵列信号处理

9.1基于分数阶傅里叶变换的波束形成

9.1.1波束形成简介

9.1.2基于分数阶傅里叶变换的MMSE波束形成

9.1.3基于分数阶傅里叶变换的LCMV波束形成

9.2基于分数阶傅里叶变换的DOA估计

9.2.1基于FRFT的宽带LFM信号一维DOA估计

9.2.2基于FRFT的宽带LFM信号二维DOA估计

9.2.3性能分析

参考文献

第10章在雷达中的应用

10.1雷达中的分数阶窄带和宽带模糊函数

10.1.1雷达数据

10.1.2模糊函数

10.2基于分数阶傅里叶变换的MTD

10.2.1预备知识

10.2.2基于分数阶傅里叶变换的长时间相参积累动目标检测

10.2.3仿真

10.3在SAR成像雷达中的应用

10.3.1检测运动目标

10.3.2基于分数阶傅里叶变换的chirp scaling成像算法

10.4在目标识别中的应用

10.4.1HFT的性质

10.4.2优化参数的求取

10.4.3实例

10.5在脱靶量测量中的应用

10.5.1原理

10.5.2算法步骤

10.5.3仿真

参考文献

第11章在通信中的应用

11.1chirprate调制

11.1.1调制/解调

11.1.2输出峰值

11.1.3调频率的取值

11.1.4与匹配滤波解调的比较

11.1.5误码率

11.1.6仿真

11.2单载波分数阶傅里叶域均衡技术

11.2.1分数阶卷积信道模型

11.2.2单载波分数阶傅里叶域均衡技术

11.2.3仿真结果

11.3分数阶傅里叶域内的多路复用

11.4基于分数阶傅里叶变换的多载波系统

11.4.1FRFTOFDM系统结构

11.4.2FRFTOFDM系统最优变换阶次选取方法

11.4.3FRFTOFDM系统信道估计方法

11.4.4FRFTOFDM系统信道均衡方法

11.5基于分数阶傅里叶变换的MIMOOFDM系统

11.5.1分数阶傅里叶变换的矩阵表示

11.5.2基于分数阶傅里叶变换的MIMOOFDM系统模型

11.5.3最优阶次

11.5.4仿真

参考文献

第12章在图像处理上的应用

12.1二维分数阶傅里叶变换

12.2图像去噪与重构

12.2.1图像去噪和复原

12.2.2图像重构

12.3图像识别

12.4数字水印

12.4.1基于离散分数阶傅里叶变换的鲁棒高斯水印

12.4.2基于离散分数阶傅里叶变换的多分量chirp类水印

12.4.3多分数阶傅里叶域的chirp类水印算法

12.5图像加密

12.5.1基于傅里叶变换的双相位编码图像加密

12.5.2基于分数阶傅里叶变换的图像加密

12.5.3基于保实分数阶傅里叶变换的数字图像实值加密

参考文献

第13章线性正则变换

13.1LCT的定义及性质

13.1.1定义

13.1.2性质

13.1.3LCT的特征函数

13.1.4卷积定理

13.2LCT域框架理论

13.2.1WH框架

13.2.2无量纲化处理

13.2.3主要结论

13.3LCT域的Hilbert变换

13.4LCT的离散实现

13.4.1采样

13.4.2LCT的离散形式

13.5LCT的应用

13.5.1滤波器设计

13.5.2用于通信信号的调制及抗多径效应

附录A常见信号的LCT

附录B一些常见信号的离散LCT

参考文献