本书为关于分形理论及其在信号处理中应用的专著。全书共分11章。前4章从对非线性科学的介绍入手，列出分形的概念、原理、特点，并进一步介绍了分形理论的两大理论研究方向--迭代函数系统和多重分形。第5章～第10章介绍分形在图像压缩、信号噪声、图像边缘提取、图形学、数字水印、语音信号、通信信号等信号处理方面的具体应用。第11章展望了分形的发展趋势。

    本书取材广泛，叙述通俗易懂，内容全面、新颖，充分反映了近几年分形理论在信号处理中应用的最新研究动态，并包含了作者近几年的研究成果。本书可供从事分形理论、信号处理、图像处理、通信技术、噪声研究等领域的科技人员与教师阅读，也可以作为相关学科专业的研究生教材。

    随着计算机和大规模集成电路的迅猛发展，数字信号处理技术得到了很大的发展，并且已经广泛应用于国民生产和国防的各个领域。数字信号处理中所涉及的理论和技术很多，如傅里叶变换、滤波器设计、时频分析、小波变换等。最近几年，许多交叉学科的理论也被用于数字信号处理中，包括混沌理论、神经网络、遗传算法、免疫算法等，其中由数学、物理学、气象学、地形学等许多学科在研究中共同发展起来的分形理论，由于其独特的特性、在解决复杂问题时所带来的意想不到的效果，得到许多信号处理研究学者的青睐。尽管有一段时间由于分形本身的复杂性而使得其在信号处理中的应用难以得出理想成果，而导致研究的人有所减少，但随着传统信号处理手段越来越难以解决一些复杂问题，分形又被人们所采用。由于近几年分形理论本身的发展，计算机运算速度的大大提高，使得分形在信号处理中的成果越来越多，层出不穷。

    分形属于非线性科学。中国科学院士谷超豪教授曾讲过： “非线性现象虽然复杂多姿，但拥有各种类型的共性，非线性科学是研究非线性现象共性的一门学问。虽然目前非线性科学尚处于形成阶段，但它代表了科学发展的未来。近期非线性科学研究的主题是混沌、分形和孤立子。”分形理论的研究对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体，在做科学研究的时候，将一个物理模型转化为一个数学模型以后，很多复杂物理模型所对应的数学形式就是不光滑和不可微的几何形体和模型，这就是分形可以在信号处理及其相关学科大展宏图的根本原因。

    本书系统介绍分形理论的基本概念、目前研究现状和未来发展趋势，重点介绍分形在信号处理若干领域的应用研究。本书共分11章，前4章从非线性科学的介绍入手，列出分形的概念、原理、特点，进一步介绍了分形理论的两大理论研究方向--迭代函数系统和多重分形。第5章～第10章介绍分形在图像压缩、信号噪声、图像边缘提取、图形学、数字水印、语音信号、通信信号等信号处理方面的具体应用。第11章展望了分形的发展趋势。本书的特点是较全面地介绍了分形理论在信号处理方面的最新应用成果，尤其是采用多重分形方法取得的一系列成果。  本书在基本概念部分借鉴了已出版的若干分形理论书籍的内容，在应用介绍部分参考了近几年各学者的研究成果，其中作者的研究成果约占一半。

    本书由赵健统稿、执笔、定稿，雷蕾、蒲小勤参与编写部分内容。感谢西北工业大学的何卫平教授的指导，感谢西安邮电学院的谢端老师在编写过程中所提建议。本书由西北大学和西北工业大学的老师合作完成，在本书的编写过程中，得到西北大学、西北工业大学的许多老师、研究生的帮助，在此表示衷心的感谢。

    分形理论及其在信号处理中的应用书中涉及的研究内容得到国家“863计划”、国家自然科学基金、中国博士后科学基金、陕西省自然科学基金的部分资助。

    限于水平，书中难免有错误与不妥之处，恳请读者批评指正。

第1章 绪论1

1.1 分形概述1

  1.2 分形与信号处理3

  1.3 分形与混沌信号处理5

第2章 非线性科学理论8

2.1 非线性科学理论基础8

2.1.1 非线性的产生8

2.1.2 世界在本质上是非线性的9

2.1.3 非线性的有关概念11

2.1.4 非线性现象的主要特征14

  2.2 非线性科学研究的主要内容16

  2.3 非线性科学研究的主要课题及国内外进展17

第3章 分形的数学基础22

3.1 分形空间与迭代函数系统IFS22

3.1.1 数学基础22

3.1.2 分形空间24

3.1.3 压缩映射26

3.1.4 迭代函数系统IFS29

  3.2 凝聚IFS 拼贴定理 带参量IFS32

3.2.1 凝聚IFS32

3.2.2 拼贴定理33

3.2.3 带参量IFS34

  3.3 测度与维36

3.3.1 Hausdorff 测度36

3.3.2 Hausdorff 维37

3.3.3 Hausdorff 维的等价定义39

3.3.4 分形维39

3.3.5 盒维（box dimension) 43

第4章 多重分形理论46

  4.1 多重分形的概念46

4.1.1 基于测度理论的多重分形谱的定义46

4.1.2 基于Rèny广义维数的多重分形谱的定义47

  4.2 分形集与自相似性函数48

4.2.1 分形维数49

4.2.2 自相似函数50

  4.3 奇异谱50

4.3.1 分解函数51

4.3.2 Legendre变化51

4.3.3 数值计算52

4.3.4 光滑摄动53

  4.4 多重分形的几何特性53

第5章 分形图像压缩57

  5.1 图像压缩概述57

5.1.1 冗余度压缩（熵编码）58

5.1.2 限失真编码（熵压缩）60

  5.2 分形图像压缩算法与实现60

5.2.1 局部迭代函数系统(LIFS)61

5.2.2 分形数字图像压缩方法63

5.2.3 具体算法步骤65

5.2.4 仿真实验结果及其分析66

5.2.5 一种解决方块效应的方法69

  5.3 小波分形的图像压缩71

5.3.1 小波变换图像压缩概述71

5.3.2 小波变换与分形的混合编码72

5.3.3 一种小波域基于分形理论的图像压缩算法73

  5.4 分形在视频图像压缩中的应用75

第6章 分形在信号噪声中的应用79

  6.1 分形分析方法在电子器件噪声研究中的应用79

6.1.1 电子器件噪声的分形研究意义79

6.1.2 半导体器件噪声的分类和特点80

6.1.3 传统分析方法的不足82

6.1.4 电迁移过程中信号奇异性的变化84

6.1.5 电迁移噪声关联性分析87

6.1.6 光耦器件的筛选88

  6.2 多重分形SAR图像消噪91

6.2.1 SAR成像原理91

6.2.2 SAR斑点特性95

6.2.3 常规消噪方法在SAR图像斑点消噪中应用的局限性96

6.2.4 SAR图像多重分形方法消噪算法机理100

第7章 分形图像边缘提取105

  7.1 经典图像边缘提取研究105

  7.2 多重分形图像特征108

  7.3 基于多重分形分析图像边缘提取算法109

7.3.1 算法的提出与实现109

7.3.2 实验结果与分析 111

第8章 分形计算机图形学114

  8.1 逃逸时间法114

  8.2 Mandelbrot集和Julia集115

8.2.1 Mandelbrot集115

8.2.2 Julia集118

  8.3 Newton分形119

  8.4 L系统122

8.4.1 简单的向前生成元格式122

8.4.2 左右生成元的混合格式122

8.4.3 分枝结构的简单进退格式123

8.4.4 分枝结构带空指令的进退格式123

  8.5 高维和高次情形124

8.5.1 高维情形124

8.5.2 高次情形125

8.5.3 广义Mandelbrot集和Julia集125

第9章 分形数字水印127

  9.1 数字水印技术127

9.1.1 数字水印的基本原理和框架128

9.1.2 数字水印典型算法130

  9.2 基于分形的图像置乱132

9.2.1 图像置乱概述132

9.2.2 基于分形的数字水印图像置乱133

  9.3 分形图像水印算法136

9.3.1 改变分形编码参数嵌入水印136

9.3.2 利用图像自相似性嵌入水印138

9.3.3 分形与其他方法相结合嵌入水印138

  9.4 一种基于IFS与密码学的数字水印算法141

9.4.1 水印信息的分形IFS建模141

9.4.2 具体实现方法142

第10章 分形在其他信号处理方面的应用146

  10.1 分形在语音信号处理方面的应用146

10.1.1 语音信号的分形特征147

10.1.2 语音CELPC算法150

10.1.3 多重分形理论应用于声目标信号特征提取152

10.1.4 多重分形在语音质量客观评价中的应用153

  10.2 分形在通信中的应用155

10.2.1 分维与通信机规模分布的关系155

10.2.2 分形滤波应用于CDMA 2000信道估计157

第11章 总结与展望161

  11.1 总结161

  11.2 未来展望162

11.2.1 分形理论的未来展望162

11.2.2 分形在信号处理中应用的未来展望165

参考文献166