本书主要包含复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、复级数、留数和留数在定积分计算上的应用等内容. 每章都配有适量习题供读者选用，书末附有习题参考答案. 本书适合于高等院校工科各专业，尤其可作为电子工程、自动化、计算机、测控等专业的教材，还可供工程技术人员阅读参考.

本书作者在多年的“工程数学”教学工作中，感觉到“复变函数”对工科学生来说非常重要. 为此，希望将本书写得便于工科学生掌握，使得他们能运用课程中所学到的方法处理一些专业课程中的实际问题.

在选材上，本书既注重工科数学要求的计算技能的训练，又注意论证能力的培养，兼顾数学方法的物理意义与工程应用背景，突出复变量与实变量之间的关系、级数和积分表示方法，使之尽可能地满足工科各专业的需求，并充分地反映出复变函数的核心内容，真正做到既方便教师教学，又方便学生自学.

在编写上，本书内容精练，深入浅出，强调理论的应用性，对烦琐的理论推导进行适度的约简，将重点放在基本理论与基本方法的应用上，力求做到叙述简洁、通俗易懂.

考虑到“复变函数”的教学逢学生学完“高等数学”，因此本书将复变函数与高等数学做了比较，力求概念形式和叙述保持连续，同时更注意其中的创新和发展，使读者既感受到内容的深化和拓展，又不会感到陌生，因而更易于学习.

本书共分 5章，其中第 1、2、5章由杜秀云执笔，第 3章由宋哲执笔，第 4章由刘丽娟执笔，全书由杜秀云统稿. 

感谢辽宁师范大学物理与电子技术学院潘峰院长对本书出版的大力支持及“辽宁师范大学特聘教授专项经费”的资助 . 本书还得到“辽宁省重点专业（电子科学与技术专业）建设项目（ 906049）”和“辽宁师范大学博士启动基金（203564）”的资助. 清华大学出版社的责任编辑做了大量细致的工作，在此深表谢意.

由于水平有限，书中难免有疏漏之处，恳请广大读者批评指正. 

编 者 

2015年 5月

第 1章 复数与复变函数  1 

1.1复数. 1 

1.1.1  复数的概念 . 1 

1.1.2  复数的表示方法 . 1 

1.2复数的代数运算 . 4 

1.2.1  复数的四则运算 . 4 

1.2.2  复数的乘幂和方根 . 6 

1.3复变函数 . 9 

1.3.1  区域的相关概念 . 9 

1.3.2  复变函数的概念 . 10 

1.4复变函数的极限和连续性 11 

1.4.1  复变函数的极限 11 

1.4.2  复变函数的连续性 . 12  习题 1 . 13 

第 2章 解析函数  15 

2.1复变函数的导数 . 15 

2.1.1  复变函数的导数和微分 . 15 

2.1.2  求导法则 . 17 

2.1.3  柯西-黎曼条件 17 

2.2解析函数的定义与充要条件 . 21 

2.2.1  解析函数的定义 . 21 

2.2.2  解析函数的充要条件 . 21 

2.3解析函数和调和函数的关系 . 22 

2.3.1  调和函数 . 23 

2.3.2  共轭调和函数 . 23 

2.4初等函数 . 25 

2.4.1  指数函数 . 25 

2.4.2  对数函数 . 26 

2.4.3  三角函数和双曲函数 . 27 

IV 复变函数 

2.4.4  幂函数 . 29  习题 2 . 30 

第 3章 复变函数的积分  32 

3.1复变函数积分的概念和性质 . 32 

3.1.1  复变函数积分的概念 . 32 

3.1.2  复积分的计算方法 . 32 

3.1.3  复积分的性质 . 35 

3.2柯西定理 . 35 

3.2.1  单连通域柯西定理 . 35 

3.2.2  复连通域柯西定理 . 37 

3.2.3  不定积分 . 39 

3.3柯西积分公式和高阶导数公式 . 41 

3.3.1  柯西积分公式 . 41 

3.3.2  高阶导数公式 . 43  习题 3 . 45 

第 4章 复级数  47 

4.1复数项级数 . 47 

4.1.1  复数列 . 47 

4.1.2  复数项级数 . 48 

4.1.3  复变项级数 . 49 

4.2幂级数. 49 

4.2.1  幂级数的概念 . 49 

4.2.2  收敛圆和收敛半径 . 50 

4.2.3  幂级数的性质 . 52 

4.3泰勒级数 . 54 

4.3.1  泰勒定理 . 54 

4.3.2  展开方法 . 56 

4.4洛朗级数 . 59 

4.4.1  双边幂级数 . 59 

4.4.2  洛朗定理 . 61  习题 4 . 69 

第 5章 留数  71 

5.1孤立奇点 . 71 

5.1.1  孤立奇点的概念 . 71 

5.1.2  孤立奇点的分类 . 71 

5.2留数定理与留数的计算 . 76 

5.2.1  留数的定义和留数定理 . 76 

5.2.2  留数的计算 . 77 

5.3留数在定积分计算上的应用 . 79 

5.3.1  IR(cos θ, sin )d θ

2π0θ 型积分. 79 

5.3.2  I()d 

+.Rx x 型积分. 81 

5.3.3  I()ei dx m> (

+.Rx mx 0) 型积分 83 

5.3.4  被积函数在实轴上有孤立奇点的积分  85 

习题 5 . 87 

部分习题答案  88

模拟题（一）  94 

模拟题（二）  96

模拟题（一）参考答案  98

模拟题（二）参考答案  101

名词索引  104

参考文献  106 

目前市面上的复变函数教材种类繁多，但大多重视数学公式的推导， 对实际应用的重视程度不够，不适合电子工程、计算机、自动化等专业使用。本书是作者根据多年讲授电子信息和电子科学专业“复变函数”课程的讲义编写而成，适合高等院校工科各专业，尤其是电子工程、自动化、计算机、测控等专业作为教材，也可作为相关专业专科教材。