本书遵循教育部高等院校非数学类专业数学基础教学指导分委会修订的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，依据工科数学“复变函数与积分变换教学大纲”，结合该学科的发展趋势，在积累多年教学实践的基础上编写而成的。本书旨在培养学生的数学素质，提高其应用数学知识解决实际问题的能力，强调理论的应用性。本书共分8章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换。每章均配习题及相关数学实验，书末附有习题参考答案。本书适合高等院校工科各专业，尤其是自动控制、通信、电子信息、测控、机械工程、材料成型等专业作为教材，也可供科技、工程技术人员阅读参考。

复变函数与积分变换是高等院校工科专业一门专业基础课，更是自然科学与工程技术中常用的数学工具。复变函数与积分变换是高等数学的理论推广，覆盖的知识面广，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理学、电磁学、空气动力学、流体力学、弹性力学和自动控制学等领域。因此，复变函数与积分变换的基本理论与方法，对于高等院校工科学生、工程技术人员是必不可少的数学基础知识，有着重要的学习意义和应用价值。

本书遵循教育部高等学校“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，立足普通高等院校人才培养的需要，并结合近年来教改实践经验和工科部分专业课程内容改革的要求编写而成。

本书共8章，内容主要包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换，并对各章精心设计了Matlab数学软件在复变函数与积分变换中的应用，适度嵌入了相关的数学实验课题。

本书结构严谨，逻辑清晰，对繁琐的理论推导进行了适度的约简。把握“科学、简约、实用”的原则，将现代数学的观点、思想、应用渗透其中，兼顾数学方法的物理意义与工程应用背景，通俗易懂，易教易学，体系安排与高等数学基本一致，注重与实变量函数的比较和分析，做到“实、复变函数打通”，强调二者的联系与变化，并利用数学软件和数学实验大大拓宽了复变函数与积分变换的应用范围。

我们希望通过学习本书，读者能初步掌握使用复变函数的方法和进行积分变换的技巧，能处理一些专业课程中的理论知识和实际问题。在编写过程中，我们注意到了与高等数学的衔接，在内容上力求概念形式和叙述的连续、延伸，同时更注意其中的创新和发展，这样使读者既感到内容的深化和拓展，又不会感到陌生而易于学习。另外，读者会体会到富有工科专业特色的内容安排。总之，本书便于读者课内外学习，易于培养读者的数学思维和感受数学的应用价值。

本书主要由闫焱、阎少宏、张永利组织编写，参与本书编写的还有赵慧娟、赵文静、曲博超。特别是河北联合大学的刘保相、金殿川和徐秀娟三位教授为本书的编写提出了很好的意见和建议，在此一并表示衷心感谢！

本书得以出版，要诚挚感谢河北联合大学教材指导委员会的支持，清华大学出版社的协作。由于水平有限，书中难免有疏漏之处，恳请广大读者批评指正，不胜感激。

编著者2013年3月

第1章复数与复变函数

1.1复数的概念与运算

1.1.1复数的概念

1.1.2复数的代数运算及运算性质

1.1.3复数的几何表示

1.1.4复球面

1.1.5复数的乘幂与方根

习题1.1

1.2复变函数

1.2.1预备知识

1.2.2复变函数

习题1.2

1.3复变函数的极限与连续性

1.3.1复变函数的极限

1.3.2复变函数的连续性

习题1.3

实验一复数的表示与基本运算

第2章解析函数

2.1解析函数的概念及判定

2.1.1复变函数的导数与微分

2.1.2解析函数的概念

2.1.3函数解析的充要条件

习题2.1

2.2初等函数

2.2.1指数函数

2.2.2对数函数

2.2.3幂函数

2.2.4三角函数

2.2.5反三角函数

习题2.2

2.3调和函数

2.3.1调和函数的概念

2.3.2解析函数的表达式

习题2.3

实验二复变函数的极限与导数

第3章复变函数的积分

3.1复变函数积分的概念

3.1.1复变函数积分的定义

3.1.2积分的存在定理及其计算公式

习题3.1

3.2解析函数积分基本定理

3.2.1柯西—古萨(CauchyGoursat)积分定理

3.2.2不定积分

习题3.2

3.3复合闭路定理

习题3.3

3.4柯西积分公式与高阶导数公式

3.4.1柯西积分公式

3.4.2解析函数的高阶导数

习题3.4

实验三复变函数的积分

第4章级数

4.1复数项级数

4.1.1复数列的极限

4.1.2复数项级数的收敛

习题4.1

4.2幂级数

4.2.1复变函数项级数的概念

4.2.2幂级数

4.2.3收敛圆与收敛半径

4.2.4幂级数的运算和性质

习题4.2

4.3泰勒级数与洛朗级数

4.3.1泰勒级数及展开方法

4.3.2洛朗级数及展开方法

习题4.3

实验四函数的泰勒级数展开

第5章留数

5.1孤立奇点

5.1.1孤立奇点的分类

5.1.2函数的零点与极点的关系

5.1.3函数在无穷远点的性态

习题5.1

5.2留数及其应用

5.2.1留数的概念

5.2.2留数的计算

5.2.3留数定理及其应用

5.2.4在无穷远点的留数

习题5.2

5.3留数在定积分计算上的应用

5.3.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的积分

5.3.2形如∫+∞-∞R(x)dx的积分

5.3.3形如∫+∞-∞R(x)eaixdx(a>0)的积分

习题5.3

实验五留数的基本运算与闭曲线上的积分

第6章共形映射

6.1共形映射的概念

6.1.1有向曲线的切向量

6.1.2解析函数导数的几何意义

6.1.3共形映射的定义

习题6.1

6.2分式线性映射

6.2.1分式线性映射的一般形式

6.2.2分式线性映射的分解

6.2.3分式线性映射的性质

6.2.4唯一决定分式线性映射的条件

6.2.5两个典型区域间的映射

习题6.2

6.3几个初等函数所构成的映射

6.3.1幂函数与根式函数

6.3.2指数函数与对数函数

习题6.3

第7章傅里叶变换

7.1傅里叶积分

7.1.1周期函数的傅里叶级数

7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式

7.1.3傅里叶积分公式的变形形式

习题7.1

7.2傅里叶变换的概念

7.2.1傅里叶变换的定义

7.2.2单位脉冲函数及其傅里叶变换

习题7.2

7.3傅里叶变换的性质

7.3.1线性性质

7.3.2对称性质

7.3.3相似性质

7.3.4位移性质

7.3.5微分性质

7.3.6积分性质

7.3.7卷积与卷积定理

*7.3.8乘积定理

*7.3.9自相关定理

习题7.3

实验六傅里叶变换

第8章拉普拉斯变换

8.1拉普拉斯变换的概念

8.1.1问题的提出

8.1.2拉普拉斯变换的定义

8.1.3拉普拉斯变换的存在定理

习题8.1

8.2拉普拉斯变换的性质

8.2.1线性性质

8.2.2相似性质

8.2.3位移性质

8.2.4延迟性质

8.2.5微分性质

8.2.6积分性质

8.2.7卷积与卷积定理

*8.2.8初值定理与终值定理

习题8.2

8.3拉普拉斯逆变换

8.3.1复反演积分公式

8.3.2象原函数的求法

习题8.3

实验七拉普拉斯变换

附录A傅里叶变换简表

附录B拉普拉斯变换简表

附录CMatlab简介

习题答案

参考文献