本书以傅里叶变换原理为基础，系统地总结和介绍了平面声波、柱面声波以及球面声波在波数空间的数学模型和物理概念，以及近场声全息方法在进行正向声场预测和逆向声场重构时的原理、计算步骤和应用。全书共8章，第1章对广义函数进行了综述，第2章介绍了平面波和倏逝波的物理概念，引出傅里叶声学和角谱的定义。第4章和第6章分别在柱坐标系和球坐标系下，介绍柱面波和球面波的表达和物理概念，并用图形详细解释了如贝塞尔函数和球谐函数等复杂函数的细节。第3、5、7和8章分别对应运用平面、柱面、球面以及任何几何形状的声学量测量全息面时，通过近场声全息方法，求解声场重构逆问题的过程，即实现在时间和空间上逆向重构声场的过程和步骤。

本书讲解透彻，并配有大量图表和实验结果。每一章末尾都有练习题，以便检验读者对各章内容的理解，并提供了进一步的概念和理论。由于本书自成一体，读者无需具有声学背景，所有必要的公式和概念都包含其中。本书可作为大学高年级学生和研究生课程的教科书，也可作为水声学、结构声学以及气动声学等领域中从事近场声全息、近场/远场声辐射、声成像、声场可视化、传声器阵列信号处理、声源识别和定位技术的科研工作者和工程师的参考书和工具书。

（作者为中译本写的）

本书的英文版问世于16年前，而日文版的发行迄今也已过去了10年。在这段时间里，人们对该书持久的、与日俱增的关注凸显了这次中译本出版的意义。这种持久的人气应归因于本书所述主题的大部分内容具备的基础性，以及近场声全息（Nearfield Acoustical Holography, NAH）在当今世界中日趋增加的重要性与普及程度。本书的读者群已经涵盖了其他学科，特别是高保真音响系统的研究，这归因于第6章中对球谐函数所作的清晰的论述。

从1999年至今，NAH理论有了长足的发展，如果重写本书，我会将这些进展添加进去。事实上，从那时起我已陆续发表了超过30篇关于该主题的文章，其中最值得关注的是可用于自动确定k空间滤波器的正则化理论的发展。该进展极大地提高了利用软件包来进行NAH分析的能力。Tikhonov正则化理论与Morozov偏差原理相结合，为NAH的具体实现提供了一种强有力的工具。这个主题在我的一篇题为Regularization methods for nearfield acoustical holography的文献（该文献发表于2001年Journal of the Acoustical Society of America学报第110卷，第1976~1988页）中有所涉及。

第二个关键性的进展是逆边界元法（Inverse Boundary Element Methods, IBEM）的发展，该方法源于本书第8章给出的相关内容。IBEM方法针对的对象是： 它的几何表面可以不必与简单的可分离的坐标系（separable coordinate system）共形。第8章中论述的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）和上面所述的Tikhonov正则化理论一起，构成了求解这些任意几何形状对象的逆问题的基础。相关结论发表在题为Interior nearfield acoustical holography in flight的文献中，该文献发表于2000年Journal of the Acoustical Society of America学报第108卷，第1451~1463页。我的同事Nicolas Valdivia对Krylov子空间迭代法的研究也取得一定的进展，以解决SVD方法难以处理的较大规模数据（更多测量点）的求逆问题。其结果参见文献Krylov subspace iterative methods for boundary element method based nearfield acoustic holography，该文献刊登于2005年Journal of the Acoustical Society of America学报第117卷，第711~724页。

IBEM方法中的很多工作已被一种更为简单的方法取代，该方法直接源自IBEM理论，称做等效源法（Equivalent Source Method, ESM）。大量的研究论文已经涌现，其中很多文章是我的同事Nicolas Valdivia所著。我认为ESM的出现是NAH方法的一个重大进展，因为该方法通过利用一系列点状单极子的分布，就能够处理具有复杂几何结构声源的声场重构问题。

最后，第三个显著的进展称为Patch近场声全息，即Patch NAH。这个方法在处理平面和柱面几何结构时，放松了对于测量表面必须大于延伸的声源表面的要求。利用Patch近场声全息方法，只需在面积小于声源表面的区域上进行阵列信号测量，并且通过物理的方式对孔径进行延展，即可消除3.9节中所述的边缘问题。读者可以参考Saijyou和Yoshikawa最近发表的文章Reduction methods of the reconstruction error for largescale implementation of nearfield acoustical holography，该文献发表于2001年Journal of the Acoustical Society of America学报第110卷的第2007~2023页，更多信息可参考我的一篇文章——Fast Fourier transform and singular value decomposition formulations for patch nearfield acoustical holography，该文献发表于2003年Journal of the Acoustical Society of America学报第114卷，第1322~1333页。由Brüel & Kjaer公司的Jrgen Hald开发的Patch技术——称做统计最优近场声全息方法（Statistically Optimized Nearfield Acoustical Holography, SONAH）——是Patch方法的一个重大发展，相关文章的标题为Basic theory and properties of statistically optimized nearfield acoustical holography，发表于2009年的Journal of the Acoustical Society of America学报。

还有一个关键性的进展涉及到测量方法——为了得到带有相位信息的全息图（这种全息图是NAH、IBEM和ESM走向实际应用的起点）而必须进行的前端信号处理。“傅里叶声学”讨论了当目标声源在空间域和时间域中均为稳态时所需进行的信号处理。利用时域傅里叶变换，这些声源的辐射特征可以得到完整描述。遗憾的是,没有讨论非稳态的信号处理，而相关分析是非稳态的信号分析的核心。后者需要用到基于随机数据分析的理论基础，参见Bendat 和 Piersol的著作Random Data Analysis and Measurement Procedures，2000年Wiley & Sons公司出版的第三版。这些处理步骤构成了现在一些商业化NAH测试系统中所用到的前端处理的理论依据。第一个实施该方法的是Bruel & Kjaer公司和Jrgen Hald开发的STSF系统 。这些测量步骤相比于对稳态信号的分析而言更为复杂，而且Jrgen Hald提供的方案确实向处理现实世界中的噪声源问题迈出了关键一步。在涉及球形阵列的几篇文章中，我已经实施了这种方法，这些文章是对本书第7章内容的很好补充。特别地，在Volumetric acoustic vector intensity imager这篇文章中(该文献发表于2006年Journal of the Acoustical Society of America学报第120卷，第1887~1897页)，我们探讨了一个包含50个阵元的空心球阵列。在这篇文章中，我们利用球面NAH，来重构一架飞行中的波音777飞机内部空间区域中的声强矢量场。

2010年，针对水下测量的问题，我发表了一篇关于NAH理论向电磁领域过渡的文章Nearfield Electromagnetic Holography in Conductive Media，该文献发表于IEEE Transactions on Antennas & Propagation学报第58(4)卷，第1181~1192页，理论部分直接来源于“傅里叶声学”的相关进展。

我想强调最简单的NAH系统——第2章和第3章中所述的平面阵列和平面NAH的持久的重要性。在我的经验中，我们感兴趣的许多声源都可以用平面阵列系统来测量，从而将分析过程的复杂度降到最低。第2章和第3章的内容与上面所述的新进展相结合，为实验者和企业家提供了开发独立的测量系统的工具。此外，传声器阵列技术的进步及其成本的降低，使NAH、IBEM和ESM技术成为与时俱进的技术。实验者和企业家可能从中获得巨大的回报。我真诚地希望《傅里叶声学》的中译本能为读者提供相关的知识基础，以帮助引导21世纪重要的测量技术的发展和市场化。

厄尔·威廉姆斯

美国海军研究实验室

华盛顿特区，2015年5月

第1章傅里叶变换和特殊函数

1.1引言

1.2傅里叶变换

1.3傅里叶级数

1.4傅里叶贝塞尔(汉克尔)变换

1.5狄拉克δ函数

1.6矩形函数

1.7梳状函数

1.8连续傅里叶变换和离散傅里叶变换

1.8.1傅里叶变换的离散化

1.8.2傅里叶逆变换的离散化

1.8.3圆周变换： 傅里叶级数

习题

第2章平面波

2.1引言

2.2波动方程和欧拉方程

2.3瞬态声强

2.4稳态

2.5时间平均声强

2.6平面波展开

2.6.1引言

2.6.2平面波

2.6.3倏逝波

2.7以简正模态振动的无限大板结构

2.8波数空间： k空间

2.9角谱： 傅里叶声学

2.9.1波动场的外推

2.10瑞利积分的导出

2.10.1速度传播函数

2.11远场辐射： 平面声源

2.11.1圆对称振子

2.11.2埃瓦尔德球构建

2.11.3带障板的方形活塞

2.11.4行波模式下带障板的方形板

2.11.5带障板的圆活塞

2.11.6阵列第一乘积定理

2.12辐射功率

2.12.1低频展开

2.13点驱动无限大板的振动与辐射

2.13.1远场辐射

2.14有限大简支板的振动与辐射

2.14.1受流体载荷激励的矩形板

2.14.2矩形板的辐射： 辐射阻抗和辐射效率

2.15超声声强

2.15.1点声源的超声声强

2.15.2单一模态下简支板的超声声强

习题

第3章逆问题： 平面近场声全息

3.1引言

3.2理论概述

3.3一维辐射源的理论介绍

3.4测量噪声所致的病态重构

3.5k空间滤波器

3.5.1示例

3.6滤波器形状的改进

3.7测量噪声与测量距离

3.8k空间滤波器的截止频率的确定

3.9有限测量孔径的影响

3.10离散化和混叠现象

3.11利用离散傅里叶变换求解全息方程

3.12其他量的重构

3.12.1时域

习题

第4章柱面波

4.1引言

4.2波动方程

4.2.1贝塞尔函数

4.3通解

4.3.1内部域问题和外部域问题

4.4螺旋波谱： 傅里叶声学

4.4.1倏逝波

4.4.2螺旋波波速与声压之间的关系

4.5类瑞利积分

4.5.1无限长圆柱面上任意独立于z坐标的表面速度分布下的声辐射

4.5.2无限长圆柱面在驻波模式下的辐射

4.6远场辐射——柱面声源

4.6.1稳相估计

4.6.2一般速度分布下的远场和k空间

4.6.3带柱面障板上的活塞

4.6.4带柱面障板的局域螺旋波的辐射

4.7辐射功率

习题

第5章逆问题： 柱面近场声全息

5.1引言

5.2逆问题概述

5.2.1重构图像的分辨率

5.2.2k空间滤波器

5.3柱面近场声全息的实现

5.3.1快速傅里叶变换的运用

5.3.2离散化和有限扫描长度所引起的误差

5.4实验结果

5.4.1扫描控制和数据采集

5.4.2实验参数

5.4.3与其他技术对比： 双水听器与柱面近场声全息

5.4.4声压、速度和声强矢量的重构

5.4.5与表面加速度计的比较

5.4.6关于螺旋波谱的几个示例

习题

第6章球面波

6.1引言

6.2波动方程

6.3角函数

6.3.1勒让德多项式

6.3.2关联勒让德函数

6.3.3球谐函数

6.4径向函数

6.4.1球贝塞尔函数

6.5多极子

6.5.1单极子

6.5.2偶极子

6.5.3四极子

6.6球谐指向性形态

6.7外部域问题的通解

6.7.1球面波谱

6.7.2速度谱和声压谱的关系

6.7.3倏逝波

6.7.4指定径向速度条件下的边界值问题

6.7.5类瑞利积分

6.7.6辐射功率

6.7.7远场声压

6.7.8脉动球的辐射

6.7.9一般的轴对称声源

6.7.10带球面障板的圆形活塞

6.7.11带障板的点声源

6.8内部域问题的通解

6.8.1指定的径向表面速度

6.8.2脉动球

6.9瞬态辐射——外部域问题

6.9.1冲击激励球的辐射

6.10球面散射

6.10.1求解思路

6.10.2释压球的散射

6.10.3刚性球的散射

6.10.4弹性体的散射

习题

第7章球面近场声全息

7.1引言

7.2外部域——逆问题建模

7.2.1表面粒子速度的切向分量

7.2.2倏逝球面波

7.3内部域近场声全息

7.3.1倏逝球面波

7.3.2测量噪声的影响

7.3.3平面波示例

7.4散射近场声全息

7.4.1双层测量面法

7.4.2应用声强探头的声全息

习题

第8章格林函数和亥姆霍兹积分方程

8.1引言

8.2格林定理

8.3内部域亥姆霍兹积分方程

8.3.1球面边界示例

8.4辐射问题的(外部域)亥姆霍兹积分方程

8.5散射问题的亥姆霍兹积分方程

8.6格林函数与非齐次波动方程

8.6.1二维自由空间格林函数

8.6.2三维问题向二维问题的转化

8.7简单声源建模

8.7.1示例

8.8狄利克雷格林函数和诺伊曼格林函数

8.8.1球面的内部域诺伊曼格林函数

8.8.2点声源散射的等效情形

8.8.3平面诺伊曼格林函数和狄利克雷格林函数

8.8.4球面外部域诺伊曼格林函数

8.9利用本征函数的展开来构造内部域诺伊曼格林函数和狄利克雷格林

函数

8.9.1示例： 柱面腔体

8.10倏逝诺伊曼格林函数和狄利克雷格林函数

8.10.1柱面腔体的倏逝狄利克雷格林函数

8.10.2禁止频率

8.10.3柱面腔内部的倏逝诺伊曼格林函数

8.11任意形状结构体与诺伊曼格林函数

8.11.1外部域问题

8.12任意几何形状结构的共形近场声全息

习题

术语表

索引

本书也是一本译著，本书可作为声学领域的研究生教科书和参考书。