本书主要介绍基本的集合论，拓扑结构，代数结构，偏序结构这些“数学常识”，为读者继续学习打基础。在内容的选择上，注重概念的基本性和常用性，在内容的表述上，注重语言的标准性与严谨性，防止读者误入歧途，走弯路。

引言

本书包含集合论、拓扑以及代数的初等知识 ,适合于数学专业一二年级的本科生学习 ,也可作为计算机专业离散数学课程的教材 ,或供一些数学爱好者以及研究者作为一个基本的手册使用。

当一个高中生刚刚进入大学数学专业学习时 ,最先学习到的是数学分析和高等代数的课程。由于大学数学专业课程的设置 ,很多教师在遇到一些基本的拓扑和抽象代数的概念时,都只是简单提一下,然后匆匆的进入相应知识的传授。很多低年级同学对于这些概念都会产生似懂非懂、似是而非的感觉。低年级的任课教师觉得这是高年级的课程 ,也没有花时间去阐述这些内容。但是这些跳跃会大大影响学生对教师所讲授课程的理解 ,有时也会对这些知识产生一些畏惧心理。有些学生为了学习这些基本概念会查阅很多书籍或资料 ,而书籍或资料也不一定考虑这些低年级本科生的知识储备 ,学生也难以在短时间内掌握这些知识。所以编写一本有利于学生在短时间内学习和掌握这些知识的图书,对于低年级本科生的学习十分有帮助。

本书两位作者对于这个问题进行过多次交流。两位作者也曾分别作为高等代数的任课老师和助教 ,用这本书的内容在山东大学泰山学堂进行了实验教学。泰山学堂作为我国拔尖人才培养的基地之一 ,为我们教学改革和教学尝试提供了很好的试验田。我们在教授高等代数的同时,穿插讲授本书的知识,使得我们的教学效果大大改善。很多同学在学习这本书的内容之后 ,对于低年级的基本知识理解得更加透彻了 ,同时也消除了对高年级课程的恐惧感。泰山学堂是国家教育部拔尖计划的实施单位 ,本书作者之一在此教学单位长期从事本科教学活动 ,深切感受到本科一二年级学生在学习各种理论知识的同时 ,需要加强基本逻辑和基础知识的严格训练 ,同时也感受到同学对于此类知识和训练的需求和渴望。本着这个目的 ,我们将这些基础知识成书以飨读者。本书在撰写过程,大量使用了插图,使得枯燥无味的数学变得栩栩如生。同时也使用了很多贴近生活的语言 ,使得抽象难懂的数学变得平易近人。书中列举了很多生动有趣的例子,从而使艰深晦涩的数学概念变得更加容易掌握。

. II .引言

本书在编写和出版过程中获得教育部高教司基础学科拔尖学生培养实验计划的资助,对此我们表示感谢。

刘守民熊锐

于山东大学泰山学堂 2019年 5月

关于本书

本书的目的介绍基本的集合论、拓扑结构、代数结构、偏序结构这些“数学常识” ,以便为读者继续学习扫清障碍 ,故更多地呈现语言性、常识性概念。同时也呈现数学的标准语言,防止读者误入歧途。

本书的受众被设定为至少有一学期本科学习经历的低年级的学生 ,因此 ,数学分析 (高等数学 )和高等代数 (线性代数 )的基本常识都被认为已知。同时 ,由于选材的相似性 ,也可作为计算机专业“离散数学”课程的参考。当然 ,任何人都可将本书作为参考。

本书的简史本书的初稿于 2016年 11月 19日问世。在 2017年 2月 19日,经过林吉祥的检查 ,改正了大量笔误。同年 3月,习题被分为习题、问题、刁题三个档次。同年 4月,提示被调整为灰色。同年 5月,页面大小调整为 A5。2017年 12月 15日到 2018年 2月 20日将原书全部重写了一遍。在此期间 ,范畴论加入又被删去,群作用曾经单辟一章 ,现在已经变成一节 ,完备格一章的闭包映射被提前提及 ,完备格也因此成为一节,总体结构变化不大。

本书的结构本书分为四个部分 ,每个部分都有注记 ,声明来源和参考文献。最后列出字母表、符号表、索引等可供读者参考。每章配有导言 ,大体介绍每章内容。定义中的概念用粗体标记,定理、证明、评注等条目不必说 ,前面配有危险标志的补充是可以暂时跳过的条目 ,尽管这会错过很多乐趣。每节配有习题 ,有三种习题 :习题表示比较容易的题目 ;问题表示比较困难的题目 ;配有骷髅标志的刁题则是所用知识或技巧超出本书所设定的范围，但比较有趣的题目。本书中稍有困难的问题都配有提示 ,提示与题目分开放在书后，这可以防止有兴趣的读者轻易看到提示而立刻丧失挑战的兴趣,也可以防止长时间思考之后不得要领而丧失求知的乐趣。

. IV .关于本书

内容上,关系图如下。

? 

第二部分拓扑结构

第一部分 →  ?

?  第三部分 

朴素集合论  代数结构 

第四部分

偏序结构

?

?

后三部分原则上不互相影响,最多在习题中按照行文顺序有所照应。因此希望了解某一块知识的读者大可在了解第一部分知识和记号之后直接跳到相应章节,不必拘泥于固有顺序。

引用的网站在网络日益发达的现代,很多时候有趣的问题和专业的介绍可以从网络获得,在本书中, wiki表示维基百科 (https://en.wikipedia.org/wiki/); mo表示 MathOver?ow( https://mathoverflow.net/); MSE表示 MathStackExchange (https://math.stackexchange.com/)。后接数字只要在网址后加入同样的数字即可访问。

一些统计本书中定理、命题、引理和推论共 159目,证明和解共 133目。定义 157目,例子 118目,补充 43目。习题下共有 304道题目,其中习题共 180道,问题共 78道,刁题共 46道,共提示了 220次。

致谢

感谢来自教育部高教司基础学科拔尖学生培养实验计划的大力支持 ,否则本书或难问世。感谢以下老师和同学的支持和帮助 (按拼音排序 ):白朗 ,崔浩 ,戴懿韡 ,侯晟宇,贾玉涵 ,林吉祥 ,刘睿涵 ,刘思阳 ,卢穗麒 ,孟俊宇 ,钱丽萍 ,王可 ,王琳 ,王鹏辉 ,王宇轩,徐泽,许文璐,姚力丁,张港回,张洁松,赵汗青。并且向本书的听众 ——2017级和 2018级泰山学堂数学取向全体同学表示感谢。尤其要感谢学院领导 :刘振美 ,彭实戈的关心和鼓励。最后要感谢林吉祥的细心检查。没有他们的支持和鼓励 ,这本书不是现在的样子。

第一部分朴素集合论

第 1章集合的基本概念 . 3 

1.1集合、元素  3 

1.2子集、幂集  4 

1.3集合的运算  6 

1.4 Cartesius积  10 

1.5 Russell悖论  12

第 2章映射 14 

2.1映射的定义  14 

2.2映射的运算  18 

2.3交换图  23 

2.4运算与运算律  27

第 3章集合的基数 32 

3.1基数的定义  32 

3.2基数的比较  36 

3.3三条定理 . 41 

3.4 Cantor悖论 . 43

第 4章关系 44 

4.1关系的定义  44 

4.2关系的运算  48 

4.3关系的闭包  50 

. VIII .

第 5章等价关系与偏序关系  54 

5.1等价关系与划分 . 54 

5.2等价关系与映射 . 58 

5.3偏序关系 . 62 

5.4 Zorn引理  66

第一部分注记. 72

第二部分拓扑结构

第 6章拓扑的基本概念 . 79 

6.1拓扑的定义和例子  79 

6.2子空间、商空间  85 

6.3连续映射 . 89 

6.4生成的拓扑  94 

6.5乘积拓扑 . 98 

6.6度量空间 102

第 7章分离公理和可数公理 .108 

7.1分离公理 108 

7.2分离公理的性质 113 

7.3可数公理 115 

7.4可数公理的性质 119

第 8章拓扑性质 121 

8.1紧致的概念 .121 

8.2紧致的性质 .125 

8.3连通的概念 .129 

8.4连通的性质 .133

第二部分注记135

第三部分代数结构

第 9章群的基本概念 .143 

9.1群的定义和例子 143 

 . IX . 

9.2子群与商群 .148 

9.3生成的子群 .153 

9.4同态与同构 .155 

9.5群的直积 161 

9.6对称群 .164 

9.7群作用简介 .169

第 10章环的基本概念173 

10.1环的定义和例子 173 

10.2子环与商环 .178 

10.3环同态 181 

10.4环的直积 183 

10.5多项式环 187 

10.6模简介 191

第 11章域的初步介绍194

第三部分注记198

第四部分偏序结构

第 12章偏序集的基本概念 .205 

12.1偏序集的定义和例子 205 

12.2链条件与良序集 207 

12.3偏序集的映射 211 

12.4偏序集的直积 216

第 13章格的基本概念219 

13.1格的定义与例子 219 

13.2子格、理想与滤子 224 

13.3同态、同构 227

第 14章更多的格 229 

14.1完备格 229 

.X. 

14.2模格 .231 

14.3分配格 234 

14.4 Boole代数 235

第四部分注记238

部分习题提示243

逻辑符号 262

字母表263

参考文献 265

索引 .269 

由于课程设置的因素，学生很难比较系统地接触集合论、拓扑和代数方面的知识。很多教师在遇到一些基本的拓扑和抽象代数的概念时，都只是简单提一下，然后匆匆的进入相应知识的传授。很多低年级同学对于这些概念都会产生似懂非懂，似是而非的感觉，这些跳跃会大大影响学生对教师所受课程的理解，有时也会对这些知识产生一些畏惧心理。本书主要介绍基本的集合论，拓扑结构，代数结构，偏序结构这些“数学常识”，弥补各门数学课程之间所遗留下来的知识缝隙，为读者继续学习其他数学课程打基础。

刘守民： 本科毕业于山东大学数学院，硕士毕业于中科院数学所，荷兰莱顿大学，法国波尔多一大，博士毕业于荷兰埃因霍芬理工大学，曾在荷兰阿姆斯特丹大学做博士后工作，现为山东大学泰山学堂副教授，数学取向小组副组长。常年从事本科教学，曾教授过高等代数，抽象代数，实分析，微分几何，交换代数，同调代数，拓扑群，量子群等课程，研究方向为代数表示论。