《机器人学的几何基础》是一部关于机器人学中有着重要应用的几何概念的精彩导论。第2版提供了对相关领域内容的深入讲解，并仍保持独特的风格：它的重点不是集中在运动学和机器人学的计算结果上，而是包含极其重要的最新材料，它们反映了这一领域的重要进展，并将机器人学与群论和几何学中的数学基础联系在一起。  

    

主要特征 

    * 首先对代数几何、微分几何以及李群和李代数的基础概念作了简短的综述； 

    * 用新的一章分析了克利福德代数与机器人运动学以及三维欧氏几何之间的联系； 

    * 使用机器人学中的实例介绍数学概念和方法； 

    * 利用新的方法解决机器人设计和控制中的重要问题； 

    * 应用刚体运动群的相交理论给出机器人运动学中熟知的枚举问题的解决方法； 

    * 在另一章新内容中，针对具有终端执行器约束的机器人拓展了动力学研究，从而推导出并联机器人的运动方程。 

    《机器人学的几何基础》适用于众多领域的研究生以及科研工作者，特别是对机械工程、计算机科学以及应用数学领域的读者尤其重要。它也是一本非常难得的参考书。 

    本书是早期工作--1996年Springer-Verlag出版的Geometrical Methods in Robotics的扩展和修订版.我非常高兴有这次出版机会，它包含许多修订和新增内容.新的两章和一些新的节所涉及的新增内容，反映了该领域过去几年的新进展，还有一些内容是在前期工作中遗漏的.

    与前一版相同，本书的目标是将李群以及与之相关的代数和几何概念介绍给机器人学的研究者.我希望这些方法所蕴含的力量和精确在应用到机器人学的问题时仍能得以清晰体现.如今Ball的开创性工作已被人们所熟悉，但是Study及其同事们的工作还没有引起广泛的重视，至少在讲英语的国家是这样的.这本书也希望引起广大读者对他们的一些工作的关注.

    在第1~4章，给出了李群及其李代数理论的详细介绍.为了说明这些概念所使用的例子，除最简单的以外均来自于机器人学.所以，与多数标准的李群教科书不同，本书的重点放在非半单群--固有三维欧几里得运动群.特别是，找出了这个群的连续子群，而且将它们的李代数的元素与Reuleaux低副曲面联系起来.这些曲面由Reuleaux在19世纪下半叶首先提出.它使我们能将李代数元素与各种基础机械关节联系起来.这些关节所允许的运动，就是由相应李代数元素产生的单参数子群.对于旋转和刚体运动群，本书给出了指数映射及其导数的详细分析. 

    第5章考虑某些几何学问题，它们是机器人学和机构学的基础.在第4章中介绍使用李代数元素的指数描述机器人运动学，这些想法被进一步推广，从而简化运动学的某些标准结果.本章考虑三关节手腕和三关节定位机械臂的运动学.

    第6章介绍直纹曲面和线聚的某些经典理论.这些内容也受益于李代数的思想.在机器人学中最重要的直纹曲面是圆柱双曲面和柱形面.本章将给出这些曲面的完整描述.

    第7章介绍群表示论.重点再一次放在固有欧几里得运动群.在机器人学中使用了这种群的许多种表示.由此带来的一个好处是能够得到“转移原理”的简洁叙述和证明，而此前这个原理在机构学领域处于“民间法则”的状态.

    Ball的旋量理论构成本书多数内容的基础.Ball的论文发表于20世纪初，稍早于李(Lie)和Cartan在连续群方面的研究工作.Ball提出的无穷小旋量能被看作是固有欧几里得运动群的李代数元素.在第8章中研究了旋量系中这个李代数的线性子空间，而且，使用群论的方法推导了旋量系的Gibson-Hunt分类.

    第9章介绍克利福德代数.本章的注意力围绕关于固有欧几里得运动群的克利福德代数展开深入研究.这是退化的双线性型的克利福德代数，这些内容在标准的数学文献中也算是比较深奥的.这个代数是进行群及其某些几何表示计算的非常有效的工具.而且，它使我们能够定义Study二次曲面，这是一种包含固有欧几里得运动群元素的代数簇.

    第10章将更详细地研究克利福德代数.本章讲述了在这个代数下如何描述点、线、面，以及几何运算在这种代数下如何用代数运算建模.这个结论被用于分析6自由度工业机器人的运动学，而且证明了关于逆运动学可解性的机器人设计的重要定理.

    在第11章更加全面地研究了Study二次曲面，其子空间和商被进一步深入分析.簇的相交理论被引入，并用于解决某些简单的枚举问题，例如一般6-R机器人的姿态数量.

    第12~14章包含机器人的静力学和动力学.力旋量（也就是力-力矩向量）空间被看作是李代数的对偶空间.它能够方便地得到机器人学中某些标准问题的简单描述，特别是夹持固体物体的问题.群论对于分离出没有摩擦力时不能完全固定的曲面提供了帮助.它们就是Reuleaux低副曲面. 

    为了处理机器人动力学，需要研究刚体的惯性性质.在标准的动力学教材中，质心的运动和绕质心的转动被分别处理.对于机器人采用6维描述更方便，而无须分离转动和平移运动.这将得到一个6×6的刚体惯性矩阵，而且还能够对一些源于Ball的思想给出现代的说明，例如，共轭旋量和惯性主旋量.机器人动力学的标准理论介绍了两种方法： 其一是简单的牛顿型方法；另一种是使用拉格朗日动力学.拉格朗日方法能够应用于机器人终端执行器微小振动的简单分析，而且引入了Ball提出的调和旋量.所使用的公式的简洁形式意味着简单机器人的运动方程能够非常方便地进行研究.这个优点被应用于机器人设计的研究，其目的是简化机器人的动力学，对于这个问题提出了一些方法.

    具有终端执行器约束的机器人动力学和具有星形结构机器人的动力学也进行了研究，得到了并联机器人动力学的描述，并提供了一些简单的示例.

    在第15章，介绍了微分几何的某些更深入的应用.研究了3个应用领域：过约束机构的活动度、沿测地线路径的机器人控制以及混合控制.

    尽管本书的第一版并不想成为“机器人几何学”的百科全书，然而近几年这一领域发展得非常快，因此已无法在原书目录基础上进行修订.本书选择内容的原则基于前几章概述的方法，基本上是微分几何的基础知识.

    但是有一个省略的方面我还希望提一下，这就是机器人视觉.机器人视觉的核心问题之一是使用来自于图像的信息求解摄像机经历的刚体运动.在这一领域还有许多其他吸引人的几何问题，请参考Kanatani的文献\.我感觉这个领域非常广阔，而且具有非常特殊的问题，值得我们单独处理.

    许多读者指出了本书第一版中的一些错误，在此我向他们表示谢意，特别要感谢Charles Wampler, Andreas Ruf和Ross McAree.在2002年Pertti Lounesto不幸去世前我曾与他短暂相聚.非常荣幸，他指出了在第一版克利福德代数一章中存在的错误.他希望利用他的广博知识和才华解决机器人学中的数学问题，这个计划被不幸地终止了.

    我怀着沉痛的心情告知各位读者，Ken Hunt和Joe Duffy在2002年去世.他们为机器人学和运动学做出了重要贡献，他们的去世是重大的损失.

第1章 引言1

1.1 机器人学的基础理论1

1.2 机器人与机构2

1.3 代数几何4

1.4 微分几何7

第2章 李群10

2.1 定义与示例10

2.2 其他例子--矩阵群13

2.2.1 正交群O(n)13

2.2.2 特殊正交群SO(n)14

2.2.3 辛群Sp(2n,R)15

2.2.4 酉群U(n)16

2.2.5 特殊酉群SU(n)16

2.3 同态16

2.4 作用和积18

2.5 固有欧几里得群21

2.5.1 等距21

2.5.2 Chasles定理23

2.5.3 坐标标架24

第3章 子群27

3.1 同态定理27

3.2 商和正规子群29

3.3 再谈群作用31

3.4 矩阵的正规形32

3.5 SE(3)的子群36

3.6 Reuleaux低副39

3.7 机器人运动学40

第4章 李代数44

4.1 切向量44

4.2 伴随表示47

4.3 换位子50

4.4 指数映射53

4.4.1 旋转矩阵的指数55

4.4.2 SE(3)标准表示的指数58

4.4.3 SE(3)伴随表示的指数60

4.5 机器人雅可比矩阵和导数63

4.5.1 机器人雅可比矩阵63

4.5.2 李群上的导数64

4.5.3 角速度66

4.5.4 速度旋量67

4.6 子代数、同态和理想68

4.7 Killing型71

4.8 Campbell-Baker-Hausdorff公式72

第5章 运动学初步75

5.1 3-R手腕逆运动学75

5.2 3-R机器人逆运动学79

5.2.1 求解过程79

5.2.2 例题81

5.2.3 奇异点83

5.3 平面运动的运动学86

5.3.1 Euler-Savaray方程89

5.3.2 拐圆91

5.3.3 Ball点92

5.3.4 平稳曲率三次曲线92

5.3.5 Burmester点93

5.4 平面四杆机构95

第6章 直线几何学99

6.1 三维空间中的直线99

6.2 普吕克坐标101

6.3 克莱因二次曲面103

6.4 欧几里得群的作用105

6.5 直纹面108

6.5.1 二次线列109

6.5.2 柱形面111

6.5.3 曲率轴113

6.6 线聚115

6.7 机器人雅可比矩阵的逆118

6.8 格拉斯曼流形120

第7章 表示论124

7.1 定义124

7.2 组合表示126

7.3 SO(3)的表示132

7.4 SO(3)的Plethyism134

7.5 SE(3)的表示136

7.6 转移原理141

第8章 旋量系145

8.1 概述145

8.2 旋量2系149

8.2.1 R2的情况150

8.2.2 SO(2)×R的情况151

8.2.3 SO(3)的情况151

8.2.4 HpR2的情况152

8.2.5 SE(2)的情况152

8.2.6 SE(2)×R的情况153

8.2.7 SE(3)的情况153

8.3 旋量3系156

8.3.1 R3的情况157

8.3.2 SO(3)的情况157

8.3.3 SE(2)的情况157

8.3.4 HpR2的情况158

8.3.5 SE(2)×R的情况158

8.3.6 SE(3)的情况159

8.4 旋量系的辨识164

8.4.1 旋量1系和旋量5系164

8.4.2 旋量2系165

8.4.3 旋量4系168

8.4.4 旋量3系170

8.5 旋量系上的运算173

第9章 克利福德代数176

9.1 几何代数学177

9.2 关于欧几里得群的克利福德代数184

9.3 对偶四元数187

9.4 直纹面的几何学192

第10章 运动学深入198

10.1 点、直线和平面的克利福德代数198

10.1.1 平面198

10.1.2 点199

10.1.3 直线200

10.2 欧几里得几何200

10.2.1 关联200

10.2.2 交201

10.2.3 联合--混序积202

10.2.4 垂直--收缩204

10.3 Pieper定理207

10.3.1 机器人运动学207

10.3.2 T3机器人210

10.3.3 PUMA214

第11章 Study二次曲面217

11.1 Study的体217

11.2 线性子空间220

11.2.1 直线221

11.2.2 三维平面221

11.2.3 三维平面的交223

11.2.4 二次格拉斯曼流形225

11.3 部分旗和投射227

11.4 一些二次子空间230

11.5 相交论232

11.5.1 一般6-R机器人的状态237

11.5.2 6-3型Stewart平台构造239

11.5.3 三脚手腕240

11.5.4 6-6型Stewart平台242

第12章 静力学244

12.1 余旋量244

12.2 力、力矩和力旋量245

12.3 手腕力传感器247

12.4 终端执行器上的力旋量248

12.5 抓持250

12.6 摩擦255

第13章 动力学258

13.1 动量和惯性258

13.2 机器人运动方程262

13.2.1 一个刚体的方程262

13.2.2 串联机器人263

13.2.3 负载变化266

13.3 递归公式266

13.4 机器人的拉格朗日动力学270

13.4.1 欧拉-拉格朗日方程270

13.4.2 广义惯性矩阵的导数272

13.4.3 微小振动273

13.5 机器人的哈密顿动力学274

13.6 运动方程的简化277

13.6.1 基于设计的解耦277

13.6.2 可忽视坐标279

13.6.3 基于坐标变换的解耦283

第14章 约束动力学287

14.1 树形和星形机构287

14.1.1 树形和星形结构的动力学288

14.1.2 连杆速度和加速度289

14.1.3 树形和星形机构的递归动力学290

14.2 具有终端执行器约束的串联机器人292

14.2.1 完整约束292

14.2.2 一个刚体的约束动力学296

14.2.3 约束串联机器人297

14.3 受约束的树和星形机构298

14.3.1 自由系统299

14.3.2 并联机构300

14.4 平面四杆机构的动力学301

14.5 双足步行304

14.6 Stewart平台307

第15章 微分几何312

15.1 度量、联络和测地线312

15.2 过约束机构的活动度317

15.3 沿螺旋线轨迹控制机器人321

15.4 混合控制325

15.4.1 什么是混合控制325

15.4.2 约束326

15.4.3 投影算子327

15.4.4 第二基本形式330

参考文献334

索引342