这套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和体系进行了卓有成效的探索和改革.

　　第一册一元微积分部分, 基于传统的教学内容引申出“阶估计方法”, 通过简捷途径介绍了Euler求和公式. 

　　第二册多元微积分部分, 比较系统地研究了分析运算的换序问题, 介绍了Riemann积分的控制收敛定理.

　　第三册是典型问题与习题集，精选了适合现阶段教学要求并具有一定代表性的例题和习题.

　　本套书可作为数学专业以及其他对数学要求较高的理工科专业的数学分析教材或参考书.

　　

前    言

　　数学分析又叫古典微积分. 

　　古典微积分是一种知识体系——是自然科学的基础, 是一种教学体系——是现代教育的组成部分, 是一种思想体系——是全面细致地分析问题、处理问题的理论指导. 

　　古典微积分有2500多年的历史, 它的萌芽可以追溯到公元前500年前后, 确立于17世纪. 但是, 作为一种理论体系, 目前的古典微积分还不能说是完善的, 部分原因是分析运算的换序问题没有解决好, 长期以来依赖的一致收敛条件过强并且难以验证. 这种状况的长期存在, 不仅在古典微积分内部造成运算的换序困难, 而且在古典微积分的外部滋生了一种思潮——认为Riemann积分应该由Lebesgue积分取而代之.

　　本套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和体系进行了探索和改革，希望做到以下两点： 

　　第一, 在古典微积分的理论框架内, 解决好分析运算的换序问题；

　　第二, 精炼古典微积分的体系和内容，使之更加适合现阶段的教学需要. 

　　具体来说，本书内容取材上有三个突出特点：

　　1. 全面应用上下极限理论, 把上下确界作为古典微积分的灵魂, 简化了古典语言的繁琐表述和推导；

　　2. 把Euler求和公式作为古典微积分的基本公式之一，导出Fourier级数的基本理论；

　　3. 以前人的成果为基础，总结概括出简洁实用的“阶估计方法”. 

　　微积分是一门基础课，对于需要掌握专业数学工具以便将来解决各种实际问题的理工科青年人来说十分重要，但学起来也确实有一定困难，需要掌握相当多的知识和方法，以“求真务实”、“学以致用”为座右铭才能学好学通.

　　本书的出版得到了西北工业大学校领导、教务处、理学院和应用数学系负责同志的理解和支持，并且作为学校教学改革项目和规划教材获得了资助. 清华大学出版社对本书的出版也起到了积极的作用. 对于这些帮助, 作者表示由衷的感谢! 

　　作者出版本书的愿望是良好的, 是向着符合科学和教育发展需要的方向不懈努力的. 但是，一个人的知识和能力毕竟有限, 所以, 本书难免出现这样那样的缺点甚至错误, 衷心希望各位数学家、广大教师和学生批评指正.

　　

　　作?者

　　2013年3月于西北工业大学

目    录

第1章  数列极限 1

1.1　实数的性质  两个重要不等式 1

1.2  数集的确界 3

1.3  数列的确界 5

1.4  数列的极限 7

1.5  极限运算的性质  收敛数列的性质 10

1.6  极限的存在性  实数集的完备性 13

1.7  极限运算和初等运算的关系 18

1.8  无穷小数列与无穷大数列 20

1.9  数e及其相关极限 22

1.10  数列的上下极限 24

1.11  不定型极限  Stolz法则 29

　　

第2章  函数极限 33

2.1  函数及其相关概念 33

2.2  函数的最值  确界  振幅 35

2.3  函数极限的定义 39

2.4  函数的左右极限 43

2.5  函数在无穷远点的极限 44

2.6  对极限定义的总结 46

2.7  极限运算的性质  收敛函数的性质 46

2.8  极限的存在性 48

2.9  极限运算和常见运算的关系  求极限的变量替换法 50

2.10  无穷小量与无穷大量 51

2.11  不定型极限  求极限的例子 57

2.12  函数的上下极限 59

2.13  大O和小o 64

　　

第3章  函数的连续性 67

3.1  函数在一点的连续性 67

3.2  函数在一点的左右连续性  间断点的分类 68

3.3  连续函数及其运算 70

3.4  闭区间上连续函数的性质 73

3.5  一致连续性 75

第4章  微分与导数 78

4.1  微分与导数的概念 78

4.2  单侧导数  导函数 80

4.3  导数的几何与物理意义 82

4.4  求导法则 84

4.5  常用导数公式 87

4.6  参变量求导法  绝对值求导法  对数求导法 88

4.7  微分学基本定理 90

4.8  高阶导数 95

4.9  微分法则  高阶微分 99

4.10  L’Hospital法则 101

4.11  Taylor公式 104

第5章  导数的应用 111

5.1  两个函数的差是常数的条件 111

5.2  函数的单调性 111

5.3  函数的凹凸性 114

5.4  函数的最值 118

5.5  函数的极值 119

5.6  函数的作图 122

第6章  原函数与不定积分 125

6.1  原函数与不定积分的概念 125

6.2  积分运算的线性性质  逐项积分法 127

6.3  第一类换元积分法——凑微分法 128

6.4  第二类换元积分法——参变量积分法 129

6.5  分部积分法 131

6.6  有理函数的积分 132

6.7  三角函数有理式的积分 135

6.8  无理函数的积分举例 136

6.9  说明和补充例子 137

第7章  定积分 139

7.1  定积分的概念  微积分基本公式 139

7.2  积分的性质 143

7.3  函数的可积性  可积函数的性质 146

7.4  变限积分及其性质 153

7.5  分部积分法  换元积分法 156

7.6  积分中值定理  分部求和公式 160

7.7  函数的特性与积分的计算 162

7.8  积分不等式 164

　　

第8章  一元微积分的应用  向量值函数的微积分 166

8.1  曲线的长度  弧长微分 166

8.2  平面曲线的曲率  曲率半径 170

8.3  向量值函数的概念  极限  连续性 173

8.4  向量值函数的微分和导向量 176

8.5  向量值函数的积分 180

　　

第9章  广义积分 183

　　9.1  广义积分的概念 183

　　9.2  广义积分的收敛性 188

　　9.3  Riemann引理  Riemann点 192

　　9.4  三个典型的广义积分 196

　　9.5  有限和的积分估计  有限积的阶估计 198

第10章  数项级数  无穷乘积  Euler求和公式 201

10.1  数项级数的概念和性质 201

10.2  正项级数的收敛性 207

10.3  一般项级数的收敛性 214

10.4  绝对收敛级数与条件收敛级数的特殊性质 217

10.5  无穷乘积 220

10.6  Euler求和公式  Stirling公式 223

参考文献 229