本书是基于作者多年从事本科生、研究生数学建模以及相关课程教学的经验，综合参考了国内外数学建模教材、竞赛优秀论文、有关问题的学术文献等编写而成。全书从数学建模方法论开始，以丰富的实际案例为点，以各类数学方法为线，并包含了一些比较深刻的数学方法和思维方式。本书可以作为高等学校各专业大学生、研究生学习数学建模课程、参加数学建模竞赛的教材，也可以作为研究人员研究相关课题的参考书

高等院校培养人才，除了要求学生掌握知识、技能之外，近年来也越来越重视科研、创新能力的培养，而高水平的研究成果都需要有严谨、深刻的数学理论作为支持。对于有志进入科研领域的年轻学生来说，骤然从经典知识的学习转向灵活运用专业知识、数学理论做出创新成果，难度可想而知。面向高校大学生、研究生开设数学建模课程，则可以在很大程度上帮助他们克服这些难题。

从2002年起，北京理工大学面向全校本科生、工科研究生开设了数学建模课程。我们一开始考虑以比较复杂的数学理论、数学模型作为主要内容，但实际效果并不好。由于选修本课程的学生专业分散，因此试图以复杂案例来贴近专业方向不同的学生并不可行；另一方面，专注于讲解过于复杂的数学方法也不符合数学建模类课程的目的。经过几年的探索，我们认为，首先应该详细介绍如何从查阅文献入手，找到学生感兴趣的领域、问题的最前线；在此基础上，再通过一些实例来说明如何在阅读学术文献的基础上利用数学建模方法发展出自己的钻研思路和成果。同样重要的是，通过一些简单数学模型案例，介绍数学建模的基本思路和方法，以及数学的各个分支在现实中的背景和应用。在课程后期，对数学模型案例中的方法进行延伸，介绍相关更深层次数学理论的发展和应用。

通过这样的内容组织，可以帮助本科生、研究生了解科研工作的一般规律，掌握数学建模的基本方法和一些比较深入的数学方法。为此我们选择了一些基于较新的数学理论的数学模型案例，编成一本教材，希望能对有志于科研工作的年轻学生提供一些帮助。

本书在统一筹划的基础上，分工编写。其中第1～7章，以及第12章的主要内容由王宏洲编写，李炳照编写了第6章中的6.4节和第7章中的7.4节；第8～11章，以及第16章由李学文编写；第13～15章由董岩编写。王宏洲负责最后的内容整合。

本书的出版得到了北京理工大学研究生院、教务处的大力支持和资助，编者还特别感谢清华大学出版社陈明、赵从棉对本书从策划到编辑加工的热心支持和辛勤劳动。

限于作者水平，书中难免有错误和不妥之处，所引用的结果和文献也会有所遗漏，希望能得到广大读者的批评指正。

编者

2013.5

第1章从实际问题到数学模型1

1.1建立数学模型的步骤1

1.2数学建模方法的分类3

1.3数学建模与科研探索4

参考文献5

第2章差分方程方法建模6

2.1种群的指数增长模型7

2.2阻滞增长模型9

2.3含成熟周期的种群规模变化9

2.4考虑年龄结构的种群规模变化10

2.5考虑突发因素影响的种群增长模型11

2.6预测商品的销量13

2.7蛛网模型16

参考文献17

第3章微分方程方法建模18

3.1人口的阻滞增长18

3.2在人口模型中考虑突发因素20

3.3流行病的传播规律21

3.4形式多样的传染病改进模型24

3.5预测电子邮箱用户的数量28

3.6三阶段种群增长模型31

3.7污染物的扩散37

参考文献38第4章泛函微分方程方法建模39

4.1含成长周期的人口模型40

4.2决策有一定滞后的价格调节41

4.3SARS的传播42

4.4计算机病毒的防控与传播45

4.5列车的节能控制（一）47

4.6含连续分布时滞的三阶段种群增长模型49

参考文献50

第5章微分方程定性方法建模52

5.1疟疾的传播56

5.2生物种群之间的竞争58

5.3食饵与捕食者62

5.4含成熟周期的种群增长模型66

5.5差分方程形式种群模型的稳定性69

参考文献71

第6章代数方法建模73

6.1层次分析法74

6.2文本聚类问题83

6.3密码体制86

6.4信号处理问题中的代数模型90

参考文献95

第7章泛函分析方法建模96

7.1最速降线与渡江问题99

7.2列车的节能控制(二)101

7.3两个生物种群竞争的动态平衡104

7.4信号采样理论106

参考文献110

第8章最优化方法建模112

8.1小狗追球115

8.2库存成本116

8.3设计水槽119

8.4最优的圆柱体121

参考文献125

第9章线性规划方法建模126

9.1线性规划问题模型126

9.2线性规划问题的图解法128

9.3求解线性规划的单纯形法131

9.4灵敏度分析143

参考文献143

第10章非线性规划的数值算法144

10.1非线性最优化问题的一般算法144

10.2无约束非线性最优化问题的最优性条件146

10.3一维搜索147

10.4无约束非线性规划的数值算法150

10.5有约束非线性规划的最优性条件156

10.6有约束非线性规划的数值算法158

参考文献164

第11章整数规划与组合优化165

11.1整数规划与01规划165

11.2组合优化问题173

11.3启发式算法简介175

11.4模拟退火算法177

11.5遗传算法179

参考文献185

第12章不确定方法建模186

12.1零售的诀窍与超额预订186

12.2马尔可夫链方法预测市场份额188

12.3考虑随机因素的运输问题191

12.4高新技术企业的模糊聚类195

12.5模糊规划方法建模198

参考文献201

第13章统计预测模型202

13.1线性回归模型202

13.2时间序列模型204

13.3ARIMA模型205

13.4北京市旅游需求的预测207

参考文献211

第14章多元分析模型212

14.1判别分析212

14.2蠓的分类问题215

14.3因子分析与综合评价218

参考文献224

第15章随机模拟方法225

15.1随机模拟的起源和发展225

15.2Monte Carlo方法的应用226

15.3坎雷渔业公司的经营问题227

参考文献229

第16章求解优化模型的常用数学软件介绍230

16.1MATLAB应用简介230

16.2Lingo软件用法简介243

参考文献266