本书是一本高等学校素质教育的新型教材，其特点是把数学作为文化来研究。通过对数学文化的学习，培养大学生的抽象思维、形象思维和逻辑思维等方面的能力，特别是大学生的创新能力，提高文化素质，以适应社会需要。不管是学过高等数学，还是没学过高等数学的人，只要具备一定数学基础，都可通过阅读该书，获得帮助。

本书共分八章，简要阐述了数学文化的学科体系，以及数学文化的哲学观、社会观、美学观、创新观、方法论等方面的主要内容，并附有专章介绍几千年来的数学思想发展史，给读者一个整体的数学科学发展的脉络感。

本书在写作上坚持理论联系实际，注重介绍思想，介绍方法，重在开拓人们思考问题的思路，诱导、激发人们的创新意识。

本书可作为高等学校文、理、工各类大学生素质教育的专门教材，也可作为一般人文科学工作者、社会科学工作者、大学教师、研究生，包括国家公务员在内的文化参考用书和课外读物。

  《数学文化》于2007年9月由清华大学出版社出版，不到半年时间，出版社告诉我库存已很少，社会反响不错，这是我始料未及的。

  我为什么要写这本书，已在第1版序言中讲清楚了。我一直以为，出书是一件很遗憾的事情，白纸黑字，出版之后，你的思想就定格了，没法改了。《数学文化》出版后，我再一次从头至尾看了一遍，发现有许多不尽如人意之处，包括一些校对错误。初版之所以有许多不尽如人意的地方，我以为主要是以下原因所致：

  一、 我对数学已经搁置了30多年了，重新捡起来，的确有很大难度。因此，我只能采取一种多关注数学方法，多关注数学思想，少关注运算和具体问题；多考虑定性，少考虑定量的路子。即使是这样，错误和不足，仍在所难免。

  二、 多借鉴，见贤思齐，择善而从。书出版后就有读者提出一些建设性意见，我以为这是对的。比如，《数学文化》中有部分篇幅在一些转引和摘录方面，数量嫌多了一些。当然，这是一种拿来主义。但是，除特殊查找困难者外，均注明出处，决不掠人之美。我想，这是我的原则。不过，作为一本数学文化的架构体系，我还是精心考虑和再三推敲的，倾注了我的心血。这就如同建一个房子，架构是原创的、自我的。但是，里面用了一些组合家具，我把这些家具的生产厂家一并尽可能都注明，因为那不是我的创造。

  三、 所做修改较多的章节主要是数学文化的美学观一章，其原因是该章的内容与其他章节相比，不仅内容偏多，且图也偏多。因此，这次修订时删掉了一些过于繁琐的图。除此，我又增加了一些叙述，免得给人一种图多文少的感觉。

  四、 纠正了一些错别字，改正了一些语句。2007年四、五月份，我的父母相继在不到2个月的时间内去世，而当时恰好是《数学文化》校对、定稿的关键时期。在那样一种恍惚不安中，错误自然是在所难免的，以致我今天在重新阅读时，发现有的“偶数”成了“偶然”, “希腊”成了“希望”等难以容忍的错误。包括在语句上，有一些啰唆和不通的地方还不少。多少年来，我一直追求语言的简洁、明快，追求文章内容的好看、耐读，以及句子的韵律、节奏，这是我一直努力的目标。但是，今天我回过头来看看《数学文化》，有许多地方仍不令人满意，有些标点符号亦不准确，这次我也重新做了订正，应该说是一个字一个字看下去的。但即使如此，也可能还会有疏漏之处。

  我对这本《数学文化》非常喜欢，也特别在乎，这种情绪胜过我出版的其他任何一本书。究其原因，我以为这里面有我对做学问的追求，有我对数学文化的哲学思考，有我对叙述语言的尽心推敲，当然更是因为数学是我的第一专业。我希望通过这本书的出版，尤其是读者的阅读，能给他们以审视社会、阅读社会、学习思维方法、欣赏数学文化等方面的帮助，特别是能对在全民族中宣传数学文化尽我自己的一点绵薄之力。

  第2版序言第2版序言文字校对、语言推敲，是一个没止境的工作，只要还没有出版，校对工作只能是没有最好，只有更好。我特别感谢清华大学出版社的编辑们在审稿、校对中提出的许多重要修改意见，并改正了许多差错。尽管我已在订正方面做了很大的努力，我相信肯定还会有一些不尽如人意的地方。

  最后，我要特别感谢清华大学出版社对拙稿出版的关爱，尤其是在出版一年后，就出版第二版。感谢在拙著写作过程中借鉴、转引、摘录的所有相关著作的著者和译者，包括那些虽未被转引但给我启发的著者和译者，向他们致以诚挚的敬意。

  伴着对汶川大地震的支持和2008年奥运会的圆满结束，“志愿者”成为一个很时髦的名字。我非常乐意作一个推广、宣传数学文化的“志愿者”。为我们的祖国，为我们民族的文化振兴，人民素质的提高，献出绵薄之力。我将为此感到十分欣慰。

  以往我出了书，总要带上一本给父母看看，尽管他们看不懂，特别是母亲，压根就不识字。可他们还是拿着书左右翻阅，仔细端详，愉悦之情溢于言表。他们以为这是儿女对他们的最丰厚回报，甚至我的一点虚名也成了父母在别人面前装点面子的谈资。今天，父母远行，我再向谁汇报？给谁送书？写下这段话，权作对父母仙逝一周年的念想。

  方延明2008年11月27日

目 录

第2版序言I

序言 我为什么要写这本书III第1章 引论： 数学是什么1

  1.1 万物皆数说3

  1.2 符号说5

  1.3 哲学说6

  1.4 科学说7

  1.5 逻辑说8

  1.6 集合说8

  1.7 结构说9

  1.8 模型说11

  1.9 工具说13

  1.10 直觉说14

  1.11 精神说14

  1.12 审美说15

  1.13 活动说 16

  1.14 艺术说16

第2章 数学文化的学科体系18

  2.1 数学文化的“元”概念18

  2.2 数学文化的“三元结构”22

2.2.1 自在价值(概念)22

2.2.2 工具价值(方法)24

2.2.3 应用价值(模型)25

  2.3 数学文化的外延性26

2.3.1 数学与文学27

2.3.2 数学与史学29

2.3.3 数学与哲学30

2.3.4 数学与经济30

2.3.5 数学与语言31

2.3.6 数学与高科技34

第3章 数学文化的哲学观37

  3.1 数学文化的哲学思维38

3.1.1 抽象思维38

3.1.2 逻辑思维43

3.1.3 形象思维46

3.1.4 直觉思维49

  3.2 数学文化的对思维52

3.2.1 宏观与微观52

3.2.2 抽象与具体53

3.2.3 证明与非证明54

3.2.4 有限与无限59

3.2.5 先天知识与后天经验62

3.2.6 必然性和偶然性63

3.2.7 量变与质变66

第4章 数学文化的社会观70

  4.1 数学文化的社会化功能70

4.1.1 作为社会资源的功能70

4.1.2 作为符号的功能（语言）72

4.1.3 作为模型的功能（结构）79

  4.2 数学文化是先进生产力90

4.2.1 数学文化与信息传播90

4.2.2 数学文化与和谐社会97

4.2.3 数学文化与效益最大化100

4.2.4 数学文化与科技转化105

4.2.5 数学文化与可持续发展109第5章 数学文化的方法论113

  5.1 数学文化的辩证法113

5.1.1 具体与抽象113

5.1.2 演绎与归纳118

5.1.3 发现与证明123

5.1.4 分析与综合128

  5.2 数学文化的一般方法130

5.2.1 类比法130

5.2.2 归纳法132

5.2.3 化归法134

5.2.4 约定法137

5.2.5 迭代法138

5.2.6 论证法140

5.2.7 逐步逼近法144第6章 数学文化的美学观146

  6.1 审美与数学文化147

6.1.1 数学美的评价尺度147

6.1.2 美是数学家的重要素质148

  6.2 数学美的实质150

  6.3 数学中的和谐美150

6.3.1 统一美151

6.3.2 协调美158

6.3.3 对称美164

  6.4 数学中的符号美171

  6.5 数学中的奇异美177

6.5.1 关于形“奇”177

6.5.2 关于意义“奇”182

6.5.3 关于数字“奇”185第7章 数学文化的创新观191

  7.1 数学文化的原创性特点191

  7.2 数学对其他新兴学科的支撑作用200

7.2.1 数学与爱因斯坦的相对论200

7.2.2 数学与麦克斯韦方程组201

7.2.3 数学与量子力学202

7.2.4 数学成就了牛顿203

  7.3 数学创新的基本方法206

7.3.1 关于扩张法206

7.3.2 关于发现法211

7.3.3 科学发现的精神状态217

  7.4 怎样实现数学的创新219

7.4.1 善于观察219

7.4.2 勤于思考221

7.4.3 大胆想象222

7.4.4 持之以恒223

7.4.5 保持良好的创造欲望224第8章 简明数学思想史227

  8.1 5000年数学走过四段路227

8.1.1 第一阶段（公元前30世纪-公元前6世纪）227

8.1.2 第二阶段(公元前5世纪-公元16世纪)231

8.1.3 第三阶段(17-19世纪)243

8.1.4 第四阶段(19世纪下半叶至今)252

  8.2 数学史上的四次思想解放266

8.2.1 承认“无理数”是第一次思想解放266

8.2.2 微积分的产生是第二次思想解放267

8.2.3 非欧几何的诞生是第三次思想解放269

8.2.4 罗素悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放271

附录 数学猜想一览表274

主要参考文献286

后记287