本书是William Navidi所著的一本关于数理统计方法和应用的教材，不仅示例丰富，而且讲解深入浅出。本书涵盖了统计学的方方面面，包括数理统计的基本概念、概率论的基础知识、误差分析、区间估计、假设检验、回归分析、方差分析、以及统计质量控制等。书中详细地介绍了MINITAB软件在数理统计中的应用，并切合实际应用给出了大量的示例和习题，具有很强的实用价值。

　　本书可作为高等院校相关专业的统计学教材，也可作为工程技术人员和科研工作者的权威参考。

前    言

　

　　

　　编写此书的想法萌发于一次有关如何为工程技术人员安排统计学入门课程的讨论。工程学教师认为，所提供的课程应包含对误差传播的全面阐述以及对模型拟合技术的重点讨论。统计学教师则认为，学生需要更多地了解一些重要的统计学方面的应用问题，比如模型的假设检验以及仿真技术的使用方法等。

　　在我看来，一本给工程学和理学的学生使用的统计学入门教程，应该在适当的深度上包含上述的所有内容。此外，成功地开设一门统计学入门课程可以有多种不同的方法——可以根据需要有选择地组织统计学内容进行讲授，所以作为一本教材，它还应该具有足够的灵活性以满足各种不同的需求。并且，它必须提供丰富的示例来阐明各种重要的统计学思想是如何在实际中运用的。因此，这本书有以下特点：

● 本书的章节安排上具有足够的灵活性，使得教师可以自由选择所要讲授的概率论知识的深度和广度。

● 本书从很多实际问题出发，以真实的数据集作为示例，以此激发学生的学习热情，同时也展示了科学研究与工业生产之间的紧密联系。

● 本书包含了很多给出计算机输出结果的实例以及适合于利用计算机软件求解的习题。

● 本书对误差传播进行了广泛的讨论。

● 本书深入地讲解了仿真方法和自助法，同时也介绍了它们在正态性检验、概率计算、误差估计、置信区间计算和假设检验等中的应用。

● 本书提供的关于线性模型诊断程序的介绍比大多数统计学入门教材都要丰富，其相关内容主要包括：残差图、变量变换和多元模型中变量的选择等。

● 本书覆盖了统计学的基本内容，包括描述性统计量、概率、置信区间、假设检验、线性回归、析因实验和统计质量控制等。

读者对象

　　阅读本书，读者只需具备一些基本的微积分知识。有关偏导数和多元积分的知识会在多元误差传播分析和联合概率分布计算中用到，但如果有困难的话，第一次学习的时候可以先跳过这些内容。另外，偏导数的计算在附录B中给出了相关介绍，读者可以参考。

计算机的使用

　　在过去的20年里，计算技术的发展使统计学的实践产生了革命性的变化。这也是统计学方法比以往任何时候都更深入到科学工作中去的主要原因之一。今天的科学家和工程师不仅要能够熟练地使用计算机软件包，而且要具备对计算机输出结果进行分析并且得出结论的能力。因此，本书包含了利用计算机进行分析和生成实验数据的内容(见相关习题和示例)，这些内容主要集中在线性模型和析因分析的相关章节。

　　如今计算机和统计软件的普及也给教学带来了很大的便利，使得初学者也可以方便地使用各种仿真手段。仿真可以生动地展现统计学的基本原理。本书所设计的仿真素材可以加深读者对一些基本的统计思想的理解，同时也展示了如何使用仿真这个有力的工具。

内容提要

　　第1章包括了对采样和描述性统计量的介绍。统计方法有效的原因在于采样产生的样本与它们的总体具有相似性。因此，第1章首先介绍了一些获得有效样本的方法。接着在该章的第二部分讨论了描述性统计量。

　　第2章介绍了概率论的一些基本概念。对于概率的讲解可以有多种方法，教员可以从不同的广度和深度上介绍“概率”这个概念。因此，本章的内容具有很大的灵活性。本章给出了从公理导出的主要概念及其证明。于是，教员可以通过严格的数学推导来介绍概率。另一方面，为了展现这些概念背后所蕴含的直观思想，我尝试对所介绍的每个概念举出一两个例子来进行说明，并且在可能的情况下都尽量使用学术性的语言。那些偏向于从实际入手的教员，可以把注意力更多地集中在这些概念的实例上，而不用去理会它们的证明。

　　第3章介绍误差传播，有时也叫做“误差分析”，或者被统计学家称作“方法”。本章中的内容比大多数相关的教科书所包含的内容都要全面。考虑到本章内容的重要性，我认为这是有必要的。本章所采用的教学方法，使得教员能够根据需求对内容进行取舍。

　　第4章介绍了一些在实际中常用的概率分布函数，也介绍了概率图和中心极限定理。最后一节还介绍了如何使用仿真方法来评估正态性假设、计算概率和估计偏差等。

　　第5章和第6章分别介绍置信区间和假设检验。在假设检验中着重阐述了P-值法，同时对固定水平检验和功效计算也作了介绍。在一定深度上讨论了多重检验问题。本章还介绍了计算置信区间的方法，以及检验假设的仿真方法。

　　第7章介绍相关性和简单线性回归。着重强调了线性模型仅当变量之间线性相关时才适用。这一点是非常重要的，但是在实际应用中它却常常被工程师和科学家(不包括统计学家)所忽视。由于在科技文献中常常见到这样的结果：直线拟合和相关系数计算均显示出明显的曲率，或者直线的斜率完全由几个影响大的点所决定。所以本章给出了一节篇幅较长的内容专门讨论如何检验模型假设和进行变量变换。

　　第8章介绍了多重回归。本章对模型选择方法给予了相当的重视，因为在现实生活中进行相关分析时，为模型选择合适的变量是回归分析所必需的步骤。另外，对混杂问题也进行了仔细的讨论。

　　第9章讨论了常用的实验设计及其数据分析方法，详细地介绍了单因素方差分析和双因素方差分析方法，以及随机化完全区组设计和2p析因设计。

　　第10章介绍了统计质量控制问题，讨论了控制图、累积和图、过程能力。最后，以对6-质量简要讨论作为结束。

使用说明

　　本书包含的内容足够一学年的课程使用。若开设学期课程，可参考我们提出的以下具体方案。美国科罗拉多州矿业学校的课程三小时为一节，一个学期的课程中，我们讲授了前4章中除联合分布、指数分布、伽马分布和韦布尔分布之外的所有内容。然后教授了第5章和第6章中置信区间和假设检验的内容，并简要地介绍了两样本方法以及功效计算，并省略了任意分布检验方法以及x2检验和F检验。我们以第7章作为课程的结束，如果时间允许的话可以尽可能多地介绍相关系数和简单线性回归模型方面的内容。

　　本书允许教员灵活地选择所要教授的内容，教员可根据不同的侧重点来按不同的方式教授本书的内容，比如，可以将更多的时间放在两样本方法和功效的内容上，同时减少误差传播、仿真或者回归的相关内容。当然，也可以有其他的选择，比如可以选择析因试验来代替前面提到的某些内容。另外，教学大纲对课程的组织方法及课时安排有相应规定，可以通过访问在线学习中心www.mhhe.com/navidi，在instructor’s sample链接找到相应说明。

致谢

　　我十分感激那些在本书写作的过程中帮助过我的人。科罗拉多州矿业学校工程部的同事们耐心而慷慨地帮助我采用合适的方法把统计思想与工程实践相结合，特别是Terry Parker在这方面给我了很大的帮助。使用本书初稿进行教学的同事和学生指出了很多错误并且给我很多有价值的建议。特别是Barbara Moskal 和 Gus Greivel 多次使用在不断修改中的手稿进行教学，自始至终给予我帮助和支持。此外，Melissa Laseser 在公开发表的资源中找到了很多有意思的数据集。另外，本书所使用的一些很好的程序则是由我们学校的Mike Colagrosso、Chris Boisclair 以及在Link-Systems的小组开发的。俄亥俄州州立大学的Jessica Kohlschmidt制作了本书配套的PowerPoint课件，该大学的Jackie Miller阅读了本书的全部手稿，发现了一些错误并且提出了很有价值的修改意见。

　　

　　McGraw-Hill公司的员工在整个过程中表现出非凡的能力并提供很大的支持。项目经理Peggy Selle一直以来都表现出了极大的宽容，并且提供了很多的帮助。还要感谢原稿编辑Lucy Mullins。组稿编辑Maja Lorkovich、Kate Scheinman、Lisa Kalner-Williams 以及Debra Matteson的指导给本书的最后定稿带来了相当大的改进。最后，还要深深地感谢责任编辑Suzanne Jeans对我的宽容和信任，以及出版商Betsy Jones使得这个项目最终得以实现。

　　

　　

　　William Navidi

　　

　　

目    录

　　

第1章  抽样与描述统计 1

1.1  抽样 2

1.1.1  独立性 7

1.1.2  其他抽样方法 8

1.1.3  试验类型 8

1.1.4  数据类型 9

1.2  汇总统计量 11

1.2.1  样本均值 11

1.2.2  标准差 11

1.2.3  异常值 13

1.2.4  样本中位数 14

1.2.5  截尾均值 14

1.2.6  众数与极差 15

1.2.7  四分位数 15

1.2.8  百分位数 16

1.2.9  分类数据的汇总统计量 18

1.2.10  样本统计量与总体参数 18

1.3  统计图 21

1.3.1  茎叶图 21

1.3.2  点图 22

1.3.3  直方图 23

1.3.4  等宽度分类区间 25

1.3.5  直方图以及样本均值

　　　和方差 26

1.3.6  对称与倾斜 27

1.3.7  单峰和双峰直方图 27

1.3.8  将高度设定为频数 29

1.3.9  箱图 30

1.3.10  对比箱图 31

1.3.11  多元数据 33

第2章  概率 47

2.1  基本概念 47

2.1.1  合并事件 49

2.1.2  互不相容事件 49

2.1.3  概率 50

2.1.4  概率论的公理化 51

2.1.5  等可能概型 53

2.1.6  加法公式 54

2.2  计数方法 57

2.2.1  排列 58

2.2.2  组合 59

2.3  条件概率和独立性 63

2.3.1  独立事件 66

2.3.2  乘法公式 67

2.3.3  全概率公式 69

2.3.4  贝叶斯公式 71

2.3.5  系统的可靠性分析 73

2.4  随机变量 80

2.4.1  随机变量和总体 83

2.4.2  离散型随机变量 83

2.4.3  离散型随机变量的累积分布

　　　函数 84

2.4.4  离散型随机变量的均值

　　　和方差 86

2.4.5  概率直方图 88

2.4.6  连续型随机变量 90

2.4.7  利用概率密度函数计算

　　　概率 90

2.4.8  连续型随机变量的累积分布

　　　函数 92

2.4.9  连续型随机变量的均值

　　　和方差 93

2.4.10  总体中位数和总体

       百分位数 94

2.5  随机变量的线性函数 102

2.5.1  添加一个常数 102

2.5.2  乘以一个常数 103

2.5.3  随机变量线性组合的均值 104

2.5.4  相互独立的随机变量 105

2.5.5  相互独立随机变量线性组合

　　　的方差 106

2.5.6  独立的简单随机样本 107

2.5.7  样本均值的期望和方差 107

2.6  随机变量的联合分布 111

2.6.1  联合离散型随机变量 111

2.6.2  联合连续型随机变量 113

2.6.3  多维随机变量 117

2.6.4  随机变量函数的均值 117

2.6.5  条件分布 119

2.6.6  条件期望 121

2.6.7  独立随机变量 122

2.6.8  协方差 124

2.6.9  相关系数 127

2.6.10  协方差、相关系数和

       独立性 129

2.6.11  随机变量的线性组合 129

2.6.12  样本均值的期望和方差 131

2.6.13  在证券管理中的应用 131

第3章  误差传播 149

3.1  测量误差 149

3.2  测量值的线性组合 154

3.2.1  重复测量 156

3.2.2  具有不同不确定度的

　　　重复测量 158

3.2.3  相关测量的线性组合 159

3.3  单测量值函数的不确定度 163

3.3.1  误差传播的不确定度仅是

　　　近似值 163

3.3.2  非线性函数是有偏的 164

3.3.3  单测量值函数的相对

　　　不确定度 164

3.4  多测量值函数的不确定度 169

3.4.1  相关测量值函数的

　　　不确定度 171

3.4.2  多测量值函数的相对

　　　不确定度 172

第4章  常用分布 183

4.1  伯努利分布 183

4.2  二项分布 186

4.2.1  服从二项分布的随机变量的

　　　分布律函数 187

4.2.2  二项分布随机变量是伯努利

　　　随机变量的和 190

4.2.3  二项分布随机变量的均值

　　　和方差 190

4.2.4  利用样本比估计成功概率 191

4.2.5  样本比的不确定度 191

4.3  泊松分布 196

4.3.1  泊松分布随机变量的均值

　　　和方差 199

4.3.2  利用泊松分布估计速率 202

4.3.3  速率估计量的不确定度 202

4.4  其他离散型分布 209

4.4.1  超几何分布 209

4.4.2  超几何分布的均值和方差 211

4.4.3  与二项分布的比较 211

4.4.4  几何分布 212

4.4.5  几何分布的均值和方差 212

4.4.6  负二项分布 213

4.4.7  负二项分布随机变量是几何

　　　分布随机变量的和 214

4.4.8  服从负二项分布的随机变量的

　　　均值和方差 214

4.4.9  多项分布 215

4.5  正态分布 219

4.5.1  正态分布的参数估计 225

4.5.2  独立正态分布随机变量的

　　　线性组合 225

4.5.3  如何确定数据属于正态

　　　总体 226

4.6  对数正态分布 231

4.6.1  对数正态分布的参数估计 233

4.6.2  如何判定数据是否属于对数

　　　正态总体 234

4.7  指数分布 237

4.7.1  指数分布和泊松分布 238

4.7.2  指数分布的无记忆性 239

4.8  伽玛分布和韦布尔分布 245

4.8.1  伽玛分布 245

4.8.2  韦布尔分布 247

4.9  概率图 251

4.10  中心极限定理 256

　4.10.1  二项分布的正态逼近 259

　4.10.2  连续性修正 260

　4.10.3  连续性修正的精度 262

　4.10.4  正态分布对泊松分布

　　　　的逼近 262

　4.10.5  泊松分布的连续性修正 262

4.11  模拟 266

 4.11.1  利用模拟来估计概率 267

 4.11.2  均值和方差的估计 270

 4.11.3  与误差传播的比较 270

 4.11.4  利用模拟确定总体是否近

　　　　似正态分布 271

 4.11.5  模拟在可靠性分析中

　　　　的应用 272

 4.11.6  利用模拟数据估计偏差 274

 4.11.7  自助法 275

 4.11.8  参数和非参数自助法 276

第5章  置信区间 287

5.1  总体均值的大样本置信区间 288

5.1.1  有关置信水平的补充说明 292

5.1.2  概率与置信水平 293

5.1.3  根据精度要求确定所需

　　　样本容量 295

5.1.4  单侧置信区间 295

5.1.5  置信区间必须基于随机样本

　　　给出 297

5.2  比例置信区间 301

5.3  总体均值的小样本置信区间 306

5.3.1  学生t分布 306

5.3.2  当样本包含异常值时不要使

　　　用学生t分布 309

5.3.3  利用学生t分布建立置信

　　　区间 309

5.3.4  如何判断是否采用学生t

　　　分布？ 310

5.3.5  如果σ已知，则使用z表而

　　　不是t曲线 312

5.4  两个均值之差的置信区间 315

5.5  两个比例之差的置信区间 318

5.6  两个均值之差的小样本置信

     区间 322

5.6.1  总体具有相同方差的情况 325

5.6.2  不能因为样本方差近似相等

　　　就假定总体方差相等 326

5.7  数据对的置信区间 329

5.8  用模拟方法建立置信区间 336

5.8.1  利用自助法来建立置信

　　　区间 340

5.8.2  用模拟方法来评价置信

　　　区间 343

第6章  假设检验 353

6.1  总体均值的大样本检验 353

6.2  从假设检验的结果中推断出

　　结论 361

6.2.1  统计显著性 362

6.2.2  P-值不是H0为真的概率 363

6.2.3  正确选择零假设H0 363

6.2.4  统计显著性与实际的意义

　　　不相同 364

6.2.5  假设检验和置信区间

　　　的关系 365

6.3  总体比例的检验 369

6.3.1  样本容量必须大 370

6.3.2  与总体比置信区间的关系 372

6.4  总体均值的小样本检验 374

6.5  两个均值差的大样本检验 379

6.6  两个总体比例差的检验 385

6.7  两个均值差的小样本检验 391

6.7.1  两个总体的方差相等

　　　的情形 395

6.7.2  不要仅仅因为样本方差近似

　　　相等就假设总体方差相等 396

6.8  成对数据的假设检验 399

6.9  任意分布检验 405

6.9.1  Wilcoxon符号秩检验 405

6.9.2  平秩 408

6.9.3  零差值 408

6.9.4  大样本逼近 409

6.9.5  Wilcoxon秩和检验 410

6.9.6  大样本逼近 411

6.9.7  任意分布方法的假设条件 412

6.10  卡方检验 415

　6.10.1  齐性的卡方检验 418

　6.10.2  独立性的卡方检验 420

6.11  方差相等的F 检验 426

　6.11.1  F分布 426

　6.11.2  关于方差相等检验的F

         统计量 427

　6.11.3  F检验对非正态

　　　　总体敏感 429

　6.11.4  F检验不能证明两个

         方差相等 429

6.12  固定显著性水平的

     假设检验 430

　6.12.1  临界点和拒绝域 430

　6.12.2  第I类错误和第II类

         错误 432

6.13  功效 435

6.14  多重检验 444

6.15  利用随机模拟进行假设

检验 448

　6.15.1  利用自助置信区间检验

         假设 449

　6.15.2  随机化检验 449

　6.15.3  利用模拟估计功效 452

第7章  相关性与简单线性回归 463

7.1  相关性 463

7.1.1  相关系数的含义 467

7.1.2  相关系数是一个数 468

7.1.3  相关系数只能度量线性

　　　关系 469

7.1.4  异常值 469

7.1.5  相关性不是因果关系 470

7.1.6  对总体相关系数的推断 473

7.2  最小二乘直线 479

7.2.1  求解最小二乘直线方程 481

7.2.2  计算公式 482

7.2.3  估计值与真实值的差别 484

7.2.4  残差与误差的区别 484

7.2.5  不能在数据范围外推断 484

7.2.6  对非线性数据不能采用最小

　　　二乘直线 485

7.2.7  最小二乘直线的

　　　另一种含义 485

7.2.8  度量拟合优度 486

7.3  最小二乘系数的不确定度 495

7.3.1  x值的散布程度越大越好

　　　(某种意义下) 497

7.3.2  斜率和截距的推导 498

7.3.3  平均响应的推导 501

7.3.4  观测值的预测区间 504

7.3.5  解释计算机输出 506

7.4  假设条件的验证与数据变换 512

7.4.1  残差与拟合值的关系图 512

7.4.2  变量变换 515

7.4.3  确定采用何种变换 516

7.4.4  变换并不总是适用 517

7.4.5  很难解释点数较少

　　　的残差图 517

7.4.6  异常值与影响点 520

7.4.7  除了变量变换以外的

其他方法 521

7.4.8  检测独立性和正态性 522

7.4.9  经验模型与物理定律 523

第8章  多重回归 541

8.1  多重回归模型 541

8.1.1  系数的估计 542

8.1.2  平方和 542

8.1.3  统计量s2、R2和F 544

8.1.4  示例 545

8.1.5  多重回归模型中假设条件

　　　的验证 548

8.2  混杂与共线性 558

8.3  模型选择 567

8.3.1  确定模型中需要去除

　　　的变量 569

8.3.2  最小子集回归 574

8.3.3  逐步回归 576

8.3.4  模型选择程序有时会找出

　　　一些无意义的模型 578

第9章  析因试验 609

9.1  单因素试验 609

9.1.1  完全随机试验 610

9.1.2  单因素方差分析 611

9.1.3  处理均值的置信区间 616

9.1.4  方差分析表 616

9.1.5  验证假设条件 618

9.1.6  平衡和非平衡设计 619

9.1.7  方差分解恒等式 620

9.1.8  另一种参数化方法 620

9.1.9  功效 621

9.1.10  随机效应模型 623

9.2  单因素试验中的配对比较 630

9.2.1  Fisher的最小显著性

　　　差异方法 631

9.2.2  多重比较的Bonferroni

　　　方法 634

9.2.3  多重比较的Tukey-Kramer

　　　方法 635

9.3  双因素试验 642

9.3.1  双因素方差分析 643

9.3.2  使用双因素方差分析方法

　　　进行假设检验 647

9.3.3  假设条件的验证 651

9.3.4  加性模型不成立时，

　　　不能用主效应解释 652

9.3.5  双因素方差分析与两个单因

　　　素方差分析的区别 654

9.3.6  交互作用图 655

9.3.7  双因素方差分析中的多重

　　　比较 656

9.3.8  K=1时的双因素方差分析 658

9.3.9  随机因素 658

9.3.10  不平衡设计 658

9.4  随机化完全区组设计 665

9.5  2p析因试验 674

9.5.1  23析因试验中的记号 674

9.5.2  23析因试验中的效应估计 674

9.5.3  解释计算机的输出 678

9.5.4  2p析因试验的效应估计 680

9.5.5  无重复析因试验 681

9.5.6  运用概率图检测重要效应 684

9.5.7  分式析因试验 684

第10章  统计质量控制 705

10.1  基本思想 705

 10.1.1  收集数据—— 合理子组 706

 10.1.2  控制与能力 706

 10.1.3  过程控制必须连续进行 707

10.2  变量控制图 708

 10.2.1  控制图的性能 714

 10.2.2  美国西部电气公司规则 717

 10.2.3  S图 718

 10.2.4  比较S图和R图 722

 10.2.5  样本容量为1的样本 722

10.3  属性控制图 728

 10.3.1  p图 728

 10.3.2  属性控制图中处于控制界

       限外的信号的解释 730

 10.3.3  C图 730

10.4  累积和图 733

10.5  过程能力 737

 10.5.1  根据过程能力估计不符合

　　　　规格要求的个体比例 740

 10.5.2  六西格码质量 740

 10.5.3  单侧容限 741

附录A  表格 745

附录B  偏导数 777

附录C  部分习题解答 779