本书以一些实际问题为背景，借助于数学软件Maple，Mathematica及MATLAB，利用符号运算、图像表示和数值求解等手段，系统地介绍了（线性与非线性）微分方程的基本概念和基本方法.通过40多个实际模型的讨论，使读者对建模、求解、分析解所反映的性质这一过程进行全面了解.利用Maple，Mathematica及MATLAB软件在图形显示、符号计算、数值计算方面的功能，定性地分析了微分方程解的性质，500余幅图将方向场、解曲线、相平面等概念形象直观地表示出来.另外，书中选配了1900余道习题供读者练习．

    本书可作为学生学习数学建模或微分方程的参考书，对于从事计算与建模的科技人员，也具有很高的参考价值．

译者序

    微分方程与边值问题不但是数学专业的基础课，而且也是近代数学的一个十分重要的分支．微分方程无论是在工程技术、自动控制理论、物理等自然科学领域，还是在经济、金融、保险等社会科学领域中，都有着广泛的应用．因此，微分方程这门课程越来越被人们所重视．传统的微分方程课偏重自身的理论体系，强调微分方程的基本定义、定理及其证明，对微分方程的方法和应用重视不够．但互联网和计算机技术的迅速发展极大地改变了科学技术和社会生活面貌．在这样的形势下，数学也需要与时俱进．现有的微分方程课程体系，从内容到方法都需要进行改革，特别是如何把计算机技术应用到微分方程课程体系中，是微分方程课程体系改革的主流，要把握好这个主流，国际上的先进经验值得我们学习和借鉴．

    这本教材从微分方程的基本概念讲起，然后分别介绍了常微分方程、常微分方程组和偏微分方程的初步理论．本书特点一是使用大量具有不同学科背景的实例，着重讲述它们在数学建模中的应用，二是介绍了如何使用计算机来求解微分方程．特别是很多章节后都专门安排了本章节的应用部分．介绍了MATLAB，Mathematica和Maple在微分方程中的应用．本书还精选了大量有趣的习题．我们相信，无论是学生还是研究人员，阅读这本教材后一定会被它的理论、广泛的应用材料和计算机技术的使用所吸引，并从中找到学习的乐趣．

    基于国内很少使用图形计算器的实际情况，在此翻译版中删去了涉及图形计算器的应用和习题内容.另外，为了减少篇幅，在此中文版中略去了习题答案和索引，有需要的读者可参见影印版的相关内容，或与本书的责任编辑联系（liuy@tup.tsinghua.edu.cn）.

    在本书出版的过程中，我们得到了大连民族学院理学院和科技处领导的鼓励和支持，特别要感谢清华大学出版社的编辑，他们为本书的出版付出了艰辛的劳动，并提出了宝贵的意见．参加翻译工作的还有段晓东、李福霞、梁学忠、周庆健．由于译者水平和时间的限制，该译本存在不足之处，敬请广大读者批评指正．

译者

第1章一阶微分方程1.1微分方程与数学模型

1.2通解和特解的积分形式

1.3方向场和解曲线

1.4分离变量方程与应用

1.5一阶线性微分方程

1.6替换方法和恰当方程

第1章总复习题

第2章数学模型与数值方法

2.1人口模型

2.2平衡解与稳定性

2.3加速度速度模型

2.4数值逼近： 欧拉方法

2.5再论欧拉方法

2.6龙格库塔方法

第3章高阶线性微分方程

3.1介绍： 二阶线性方程

3.2线性方程的通解

3.3具有常系数的齐次方程

3.4机械振动

3.5非齐次方程和待定系数法

3.6受迫振动和共振

3.7电路

3.8端点问题和特征值

第4章微分方程组简介

4.1一阶方程组及应用

4.2消元法

4.3方程组的数值方法

第5章线性微分方程组

5.1矩阵和线性方程组

5.2齐次方程组的特征值法

5.3二阶方程组及力学应用

5.4多重特征值解

5.5矩阵指数和线性方程组

5.6非齐次线性方程组

第6章非线性方程组及现象

6.1稳定性及相位平面

6.2线性和殆线性方程组

6.3生态模型： 捕食者与竞争者

6.4非线性机械系统

6.5动力系统中的混沌

第7章拉普拉斯变换法

7.1拉普拉斯变换和逆变换

7.2初值问题的变换

7.3平移和部分分式

7.4变换的导数、积分和乘积

7.5周期的和分段连续的输入函数

7.6脉冲函数和δ函数

第8章幂级数方法

8.1幂级数的复习和介绍

8.2靠近寻常点的级数解

8.3正则奇点

8.4弗罗贝尼乌斯方法： 特别情况

8.5贝塞尔方程

8.6贝塞尔函数的应用

第9章傅里叶级数方法

9.1周期函数和三角级数

9.2一般傅里叶级数及收敛性

9.3傅里叶正弦和余弦级数

9.4傅里叶级数的应用

9.5热传导和变量的分离

9.6振动弦和一维波动方程

9.7稳定状态温度和拉普拉斯方程

第10章特征值和边值问题

10.1施图姆刘维尔问题和特征函数展开

10.2特征函数级数的应用

10.3稳定周期解和固有频率

10.4柱坐标问题

10.5高维现象

附录A解的存在性和惟一性658

A1解的存在性658

A2线性方程组664

A3局部存在性665

A4解的惟一性666

A5理想问题和数学模型668

参考文献671

下面给出本教材所指章节的模型．大部分提供了计算设计，用以说明该章节的内容．在与本教材相配套的应用手册中包括了Maple，Mathematica和MATLAB版本．

1.3应用： 计算机构造的方向场和解曲线28

1.4应用： 逻辑斯谛方程43

1.5应用： 室内温度的摆动54

1.6应用： 计算机代数解692.1应用： 人口数据的逻辑斯谛模型83

2.3应用： 火箭的推进103

2.4应用： 欧拉方法的实现116

2.5应用： 改进的欧拉方法的实现125

2.6应用： 龙格库塔方法的实现1363.1应用： 描绘二阶方程解族149

3.2应用： 描绘三阶方程解族160

3.3应用： 线性方程的近似解168

3.5应用： 参数的自动变分191

3.6应用： 受迫振动2024.1应用： 引力和开普勒行星运动定律230

4.2应用： 方程组的计算机代数解242

4.3应用： 彗星和宇宙飞船2545.1应用： 线性方程组的自动解法276

5.2应用： 特征值和特征向量的自动计算290

5.3应用： 地震产生的多层建筑的振动301

5.4应用： 亏损特征值和广义特征向量317

5.5应用： 自动指数矩阵解330

5.6应用： 自动参数的自动变分3386.1应用： 相位平面图和一阶方程351

6.2应用： 殆线性方程组和相位平面图366

6.3应用： 私家野生生物保护区381

6.4应用： 瑞利和范德波尔方程3947.1应用： 计算机代数变换和逆变换419

7.2应用： 初值问题的变换428

7.3应用： 阻尼和共振研究436

7.5应用： 工程函数4548.2应用： 级数系数的自动计算483

8.3应用： 自动生成弗罗贝尼乌斯级数方法497

8.4应用： 阶简化的特别情况511

8.6应用： 里卡蒂方程和修正贝塞尔方程5269.2应用： 傅里叶系数的计算机代数计算542

9.3应用： 分段光滑函数的傅里叶级数553

9.5应用： 热棒研究571

9.6应用： 振动弦研究58310.1应用： 数值特征函数展开606

10.2应用： 热流动的数值研究616

10.3应用： 振动梁和跳水踏板626

10.4应用： 贝塞尔函数和受热圆柱640