本书是作者根据新的研究生入学统一考试大纲，结合多年的教学经验和考研辅导经验精心编写而成的.主要内容包括函数、极限与连续、导数与微分、原函数与不定积分、定积分、常微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数的概念及微分、重积分、曲线积分、曲面积分、数项级数、函数项级数等.每部分内容均按照“知识综述与应试导引”、“问题集粹”、“自测与模拟题”等进行编排.

    本书主要针对参加研究生入学考试的理工类与经济类考生，同时也可作为大学本科和专科学生的教学辅导用书.

    全国硕士研究生入学统一考试作为一种选拔性考试，并不同于等级考试.命题工作人员的任务是结合对基本知识点的理解与不同知识点的交叉运用能力，在试题中设置不同深度的“陷阱”，以求从能力、水平上将庞大的考生队伍拉开档次，进而实现国家选拔人才的目的.考生的任务是在全面准确地理解知识系统的前提下，掌握识破命题“陷阱”的能力，力争在考场上以居高临下的知识洞察力与良好的应试状态，一举成功.

    学习数学需要培养悟性，应试考研数学需要一定的数学知识洞察力.所谓悟性或洞察力，是指对数学基本概念的深入理解与准确把握.而这种理解与把握，首先要求对基本概念与基本知识点的理解要准确、完整，进一步才是掌握知识的系统性、交叉性与灵活性.没有对基本概念与基本知识点理解的准确性与完整性，就谈不上掌握知识的系统性及灵活运用的能力，当然更谈不上解题的思路与技巧.

    本套《考研数学应试导引与进阶》作为考研数学的通用辅导讲义，其宗旨是：“为考生面对考试造就一种居高临下的知识洞察力和感觉良好的临场状态.”这也是水木艾迪考研辅导班的教学宗旨. 

    我们一贯强调，首先注重知识的基础性、系统性与完整性.从分析历届的试题组成来看，完全基础性题目一般占60分以上（满分150分），并且基本知识点在综合题目中也占有相当的分量，基础性知识点的失误往往导致选错综合题目的切入点，最后造成的是全局性错误.相反，如果对基本知识点理解准确、全面、系统，则对题目的切入点就会准确无误，即使解答过程中有个别错误，也往往是局部错误，损失不大.以一种加权的估计来分析，基本知识点在全部试卷中所占的比重可高达120分.从阅卷过程中所反映出的问题来看，考生出现的大量错误是由于对基本概念与知识点理解的不准确或不完整，甚至是对基本知识点理解的扭曲所造成的.

    对于基本知识点的理解与学习，应首先做到理解上的准确性、全面性，其次是系统性与交叉性.还应注意基本概念的背景和各个知识点间的相互关系，适量做题，少做难题，不做偏题是可取之策.对与基本知识点相关的基本题目涉及的方法与技巧，要多总结与分析，力争做到举一反三，以一当十，这样的训练会促使考生的能力与技巧成熟起来，即使遇到难题，也会容易地找到切入点与思路.

    《考研数学应试导引与进阶》以最简捷的篇幅梳理数学三门课程中的若干基本知识点，以及不同知识点之间的内在联系，配合适量典型的基本题型与知识交叉运用题型，引导读者高效率地做到对基本概念与基础知识点理解的准确性与完整性，并逐渐过渡到对掌握知识的系统性与交叉运用能力的训练.通过对基本题目涉及的方法与技巧的总结与分析，对综合题目中知识点交叉模式的了解与熟悉，以达到对这些内容具有敏感性.全套讲义每个章节具有统一的编排格式：

    [知识综述与应试导引]依据全国硕士研究生入学统一考试大纲中要求的重点，对知识模块给予简短的综述，突出重点，详解难点，指出读者容易忽略的薄弱环节及存在的弱点，必要时给出识破命题“陷阱”的特别提示.

    [问题集粹]以学生提问的方式，由编者设计覆盖基本知识点与概念交叉运用能力的若干问题，配以解答与导引，同时针对此类问题，配合若干典型例题，力图使读者牢固掌握相应知识点及具有处理相关题型的能力.

    [自测与模拟题]每一讲后配置典型练习题，给读者自我检测及训练发挥的空间，充分体现教学双向互动的过程.在书后给出练习题的解答、答案与提示（做题时请不要先看解答或答案）供读者核实自己的解答.

    书中所有例题与练习题，都是经过编者精心研究与讨论，进而设计与编排所成.这一工作是基于作者在清华大学与清华大学考研辅导班的多年教学经验积累，以及对全国硕士研究生入学统一考试要求与试题类型深入研究的结果，具有重要的典型性与代表性.对于这些例题与练习题，读者可视自身情况选读或选做，但应注意两点：一是立足于独立思考与亲自动手练习，二是应将每一个题目作为一类问题，以达到触类旁通的目的.

    参与本书编写的老师为清华大学在职教师，他们是一个教学与研究成绩卓著的教授群体，长期担任水木艾迪考研辅导班主讲，突出了双向了解的优势：了解全国硕士研究生入学统一考试大纲与命题走向，了解考生的知识状况与实际需求.他们有许多教材与专著出版, 广大考生给予了很高的评价,他们也愿做广大考生和学生的良师益友.基于长期丰富的教学研究与授课经验积累, 经过对全国硕士研究生入学考试大纲与辅导教学进行长期专门的深入研究，倾心编写出这套讲义，真诚希望为在读大学生的学习，以及参加研究生入学统一考试的考生送去一份智慧，提供一份帮助.

    本教材的读者范围包括参加全国硕士研究生入学统一考试的考生，包括数学试卷一、二、三、四的全体应试者，大学本科在读学生.

    特别指出的是，不少人认为经济类考生只学过经济类高等数学就够了，其实这是一种误导.试卷三、四的历年题目表明，题目的题型与难度都与试卷一、二相当，并且与试卷一、二共用题目的比例逐年提高.那些少量含有经济术语的题目（2005—2006年完全没有此类题目）不会成为答卷障碍，如最大利润问题与最小成本问题等不过是一般理工科数学教学中的普通例题而已.如果考生有较好的理工科数学基础，应答试卷三、四将不会遇到任何困难，2004—2006年的数学试卷更是进一步说明了这一特点. 

    清华大学出版社与北京水木艾迪教育培训学校为本教材的出版做了大量有效的工作，清华大学数学科学系李津教授，以及许多老师对本教材的编写工作给予真诚的鼓励与支持，编者在此向他们真诚致谢.

    限于作者水平和时间仓促，对书内的疏漏与不当之处，敬请读者批评指正，以便重印和再版时予以改正.

第1讲预备知识与序列极限1

知识综述与应试导引1

1.1预备知识1

1.2序列极限4

问题集粹6

自测与模拟题15

第2讲函数的极限与连续性18

知识综述与应试导引18

2.1函数极限定义及等价性描述18

2.2极限的性质复合极限定理19

2.3重要极限及等价无穷小量20

2.4函数在一点处连续的概念——微观性态22

2.5函数在闭区间上连续的概念——全局性态23

问题集粹24

自测与模拟题35

第3讲导数的概念与计算39

知识综述与应试导引39

3.1导数概念39

3.2导数计算41

3.3微分概念与微分法则44

问题集粹45

自测与模拟题64

第4讲微分学基本定理——用导数研究函数性态67

知识综述与应试导引67

4.1引言67

4.2费马定理——可导函数取得极值的必要条件67

4.3导数零点定理68

4.4罗尔定理68

4.5拉格朗日微分中值定理68

4.6柯西中值定理69

4.7微分学基本定理的几何意义69

4.8泰勒公式70

4.9洛必达法则72

4.10极值与拐点问题函数性态的综合研究72

4.11闭区间与开区间上的最大最小值问题74

4.12渐近线问题74

问题集粹75

自测与模拟题108

第5讲原函数与不定积分112

知识综述与应试导引112

5.1原函数概念与不定积分112

5.2计算方法113

问题集粹114

自测与模拟题127

第6讲定积分和广义积分的概念与计算130

知识综述与应试导引130

6.1各类积分的背景130

6.2定积分概念130

6.3定积分的基本性质及应用131

6.4定积分的解析性质132

6.5变限定积分Φ（x）=∫xaf（t）dt的性质132

6.6定积分的计算方法133

6.7定积分与相关知识的综合运用134

6.8广义积分134

问题集粹135

自测与模拟题170

第7讲定积分的应用176

知识综述与应试导引176

7.1面积问题176

7.2旋转体体积177

7.3曲线的弧长微分与弧长178

7.4旋转体的侧面积178

7.5质心或形心问题178

7.6压力问题180

7.7引力问题180

7.8做功问题181

7.9能量与动量问题181

问题集粹181

自测与模拟题193

第8讲常微分方程195

知识综述与应试导引195

8.1常微分方程的有关概念195

8.2可求解的微分方程195

8.3线性微分方程解的性质和结构197

8.4二阶线性常系数微分方程的解法199

问题集粹201

自测与模拟题218

第9讲向量代数与空间解析几何221

知识综述与应试导引221

9.1空间向量的表示221

9.2向量的运算222

9.3向量间几何关系的判断224

9.4平面方程与直线方程224

9.5二次曲面及几种特殊曲面227

问题集粹229

自测与模拟题250

第10讲多元函数的基本概念及可微性252

知识综述与应试导引252

10.1多元函数的符号表示及定义域表示252

10.2多元函数的极限253

10.3多元函数的连续性255

10.4偏导数的定义与计算256

10.5全微分的定义与性质258

10.6多元函数的微分法258

问题集粹264

自测与模拟题283

第11讲多元函数微分学的应用287

知识综述与应试导引287

11.1多元正数微分学的几何应用287

11.2二元函数的泰勒公式288

11.3二元函数的极值289

11.4条件极值290

问题集粹291

自测与模拟题302

第12讲重积分的计算与应用305

知识综述与应试导引305

12.1二重积分的概念与计算305

12.2三重积分的概念与计算307

12.3重积分的应用308

问题集粹310

自测与模拟题332

第13讲曲线积分及其应用337

知识综述与应试导引337

13.1第一型曲线积分337

13.2第二型曲线积分338

13.3格林公式340

13.4平面曲线积分与路径无关的充要条件340

13.5全微分式341

问题集粹341

自测与模拟题361

第14讲曲面积分与应用场论初步364

知识综述与应试导引364

14.1第一型曲面积分364

14.2第二型曲面积分365

14.3高斯公式367

14.4斯托克斯公式367

14.5向量场的散度与旋度367

问题集粹368

自测与模拟题385

第15讲数项级数389

知识综述与应试导引389

15.1基本问题389

15.2收敛定义与收敛的必要条件、尺度问题389

15.3收敛级数的运算性质390

15.4正项级数∑∞n=1an(an≥0)390

15.5任意项级数与交错级数391

问题集粹392

自测与模拟题400

第16讲函数项级数402

知识综述与应试导引402

16.1收敛性基本概念402

16.2幂级数的概念402

16.3幂级数的展开与求和404

16.4傅里叶级数406

问题集粹407

自测与模拟题418

自测与模拟题答案与提示420