本书基于数学内容的思想性针对高中复数与三角内容为中学教师和大学师范生以及数学教育研究生提供了建设性意见。对复数与三角的历史做了一番梳理，本着尊重历史与突出数学思想的原则设计了大量案例，其设计源于教材又不拘泥于教材。

本书有别于传统的数学教育理论书籍，作者融数十年数学研究经验与教学经验于数学教育研究中，提出了一些新颖的见解，直接面向一线教学提出具体的教学建议，不失为一本具有重要指导意义的一线教师教学参考书。

本书适合大学师范生作为教法教材或参考书，也可以作为中学一线教师的培训用书或教学指导用书及中学生的参考读物，还可以作为数学教育研究工作者的参考书。

总 / 序

介入中学数学教育已有若干年，我时常在思考一个问题： “数学教育的本质到底是什么？我们该教给学生什么？”其实很多人都在思考这个问题，也都有自己的认识，有一种“高大上”的说法： “教学生如何思考，如何学习”。可我们真的知道怎么教学生思考吗？我们真的知道怎么指导学生学习吗？我们把很多问题归咎于应试教育，问题是，我们能进行什么样的教育？

诺贝尔物理学奖获得者、著名物理学家、加州理工学院教授理查德·费曼（Richard Feynman)最后一次住院治疗前，在其办公室的黑板上写下： “我不能创造的，我也无法理解（What I cannot Create, I do not understand）。”从教育的角度说，这句话是很有道理的。

很多人都读过弗赖登塔尔的《作为教育任务的数学》，我以为，概括起来，《作为教育任务的数学》表述了两个基本观点： (1)数学教育应该结合学生的生活体验与数学现实； (2)数学教育是数学的“再创造”。虽然我对于弗赖登塔尔在《数学教育再探》《除草与播种》等论著中的一些观点持保留意见，但我相信，无论是数学教育工作者还是数学教育研究者乃至教材编写者，大概都会认同弗赖登塔尔的这两个观点。然而，如何结合学生的生活体验与数学现实？实际操作时往往会出现问题。中学数学教材无论是引入一个概念还是建立一个定理，通常都会创设一些问题情境，其目的也正是为了体现与学生的生活体验相结合。问题是，我们为什么要创设这样的问题情境？它真的能反映出我们所建立的概念或定理的科学本质吗？以复数的引入为例，几乎所有的教材都是以x2+1=0在实数范围内无解所以需要扩充数域作为复数导入的问题情境。有些人认为，从代数的角度看，无非是定义一些抽象的运算使之成为一个代数或域，对抽象代数耳熟能详的人来说，这的确是一件自然的事情。可如果一个中学生问你： “老师，为什么要研究x2+1=0这样的方程？它有意义吗？”教师该如何回答？如果你无法回答学生的问题，你又如何让学生相信这个概念是重要的？学生又如何知道该怎样使用这套理论？结合学生的生活体验与数学现实的具体体现是创设合适的问题情境，但这个问题情境应该是有价值的真实情境，而不是虚无缥缈、不着边际的虚假或毫无意义的情境，与其这样，还不如直截了当地引入数学概念。

问题驱动的中学数学课堂教学： 复数与三角卷

总序

 说到真实的问题情境，必然涉及另一个本质问题，什么叫数学的“再创造”？如果教师自己都不知道数学是怎么被创造出来的，他(她)又如何引导学生去“再创造”？教师或数学教育研究工作者固然有别于数学研究工作者，教师与数学教育研究工作者可以不必做具体的数学研究，但至少应该懂数学，具备数学的鉴赏能力，否则他(她)的教育或研究必然是空中楼阁，甚至不知所云，缺少实际的可操作性。

小学数学教育属于启蒙教育，需要教育学、心理学的指导，一个小学数学教师如果对教育学、心理学一无所知，他一定是个不合格的教师。但从中学开始，数学内容的思想性上升为数学教育的核心，应该将数学的“再创造”作为数学教育的灵魂。这就给数学教师与数学教育研究工作者提出了一个严肃的问题： “我们真的懂数学吗？我们具备数学鉴赏能力吗？我们到底该从事或研究什么样的数学教育？”如果我们不懂数学，不具备数学的鉴赏能力，我们又如何引领学生进行数学的“再创造”？除了依样画葫芦，还能干什么？

任何数学概念与定理都不是数学家或物理学家头脑中的臆想物，都有其产生的背景，有些概念甚至经过了数百年的考验才最终登堂入室得到广泛的认同，还有些理论曾让数学家与物理学家们争论不休甚至引起了极度恐慌。如果数学只是数学家的游戏，那么它就不会被科学家们深究不放，不弄清楚其真面目誓不罢休。可以说，直至微积分，一切的数学都离不开现实与自然科学，即使是现代数学，追根溯源，也与自然科学有着千丝万缕、数说不清的渊源。数学课堂怎么引导学生“再创造”？有一种观点认为越简单越好，不要把简单问题复杂化，果真如此，最简单的做法是单刀直入开门见山地告诉学生一个数学概念或定理，就如前面提到的复数那样。如果是这样，我们从事的还是数学教育吗？恐怕充其量不过是数学知识的传授，而且其中夹杂着很多虚假的成分让学生难辨真伪。

要做好数学教育研究首先需要了解数学，懂得鉴赏数学。这就好比音乐教师给学生分析一首歌，如果教师不清楚音乐表达的是一种什么样的情感，不知道词曲作者创作该曲的背景，甚至连乐曲是什么调、什么节拍都不甚了解，他怎么向学生剖析？从这个意义上说，无论是搞数学教育还是做数学教育研究，有必要先学好数学，学会鉴赏数学。

数学教育该以什么样的方式进行？这本无一定之规，课堂是教学的最基本形式，少数有天赋的学生也可能自学成才或者因为特定的环境脱颖而出，就大众而言，通常都需要经过课堂教学这样的特定形式。数学教育是否需要改革？答案是肯定的，问题是改什么？为什么要改？

 数学对于数学教师与数学教育研究者而言应该是个“白箱”，换言之，数学教师与数学教育研究者应该对数学有透彻的了解，这种了解并非指你是否懂得某个概念与定理，知道怎么用它们，更重要的是，你要清楚概念与定理产生的背景以及它们的科学价值。我们常常把数学文化放在嘴上，我们真的了解什么叫数学文化吗？数学文化不等于介绍一些数学史，或者开展一些课外数学兴趣活动，更重要的是，数学文化体现在每一节数学课的教学过程中。打个比方，一幅画摆在你的面前，如果你是个普通的观赏者，你可能朦胧地觉得这幅画好不好看，至于怎么个好看，你就说不出所以然来了，如果你面对的是一幅抽象派的画作，你可能压根就无法判定它好还是不好。但如果你是个专业的鉴赏家（不一定是画家），你可能不仅了解作者是谁，是在什么背景下画的这幅画（历史），你可能还知道这幅画表达了作者什么样的情感，能解读出画中的每一个细节（文化）。当然，光线、构图、色彩等则是画家与鉴赏家的基本功（内容）。任何一个高水平解说员对你解说一幅画作的时候一定不会仅仅停留在作者是怎么用光的，构图如何，用了什么色彩，而是向你解释，如此用光为了表达什么样的意境，构图为什么精巧，色彩表达了什么样的感情，包括远近高低、清晰模糊等都传递了什么信息，这就是文化。数学也是如此，只不过与绘画相比，它更为抽象，需要具备与众不同的鉴赏能力才能读懂，我们有多少数学课堂传递了数学文化？如果教师做不到，还奢谈什么数学文化？

数学对于学生而言好比“黑箱”，数学教师与数学教育研究工作者不仅应该了解数学知识，更应该了解数学文化，知道数学在表达什么，它缘何产生，对数学乃至自然科学产生了什么影响，他的重要性体现在哪里？我们如何判断一个数学结果的好坏？好在哪里？不好在哪里？只有这样才能引导学生一步一步揭开“黑箱”的秘密。

课堂教学的最高境界是什么？是自由王国，是无招胜有招。

很多人认为教师讲课应该好好写备课笔记，讲什么、重点难点是什么应该做到心中有数。这些自然有一定道理，但知道重点难点就算备好课了吗？假如让你在不同的时间里给两个班上同样内容的课，你第一次上课与第二次上课有没有差别？差别在哪里？对于新教师来说，也许两次课基本没有什么差别，因为他或者照着讲义（PPT）读，或者把讲义熟记了下来，可以一字不漏地把讲义内容背出来。这样的课成功与否取决于你讲义的水平如何，但不管如何成功，这样的课都算不上高水平的授课。什么是高水平的授课？无论你重复讲多少次同样内容的课，你使用的语言都可能各不相同，但意思却是一样的，也就是说，你抓住的是课程的精髓与思想，至于用什么样的语言来表达则是次要的。尤其是有了多媒体之后，很多东西完全可以通过屏幕展示，无须教师费事书写。说到底，语言与文字只是知识的载体，知识又是思想的载体，教师的任务是通过语言将知识所承载的思想传递给学生，而要达到这种境界，绝不是站在与所传授的知识同一水平线上能够做到的，教师需要站在更高的层面上才能真正看清楚知识所承载的思想，否则他(她)只能是照本宣科、依样画葫芦。

教师的教学有层次上的差别。如果教师的课堂教学仅仅停留在就知识论知识，没有对知识的独立见解，也没有对知识的主客观评判，那么，他的教学就仅仅停留在传授知识的层面上。如果教师的课堂教学具有对概念、原理的深入剖析，而且这种剖析蕴含着自己对知识的独到见解，这种见解也许基于对历史的了解，也许基于自身的研究积累，那么他的教学就有了文化内涵。这就是课堂教学中知识与文化的差别。

很多人认为教学水平取决于教学经验的积累，此言大谬，教学经验的积累的确可以让教师的教学变得更加成熟，但未必能决定他教学的高度，换句话说，经验的积累可以在同一层面上使他的教学更完善，例如教态、语言、板书等都可以通过经验的积累逐步规范与提高。然而，决定教师教育高度的根本因素则是教师的眼界与素养。如果一个教师能够抓住问题的本质，有对问题的独到见解，哪怕他的语言不够规范，仪表不够端庄，板书不够工整，他的教学也是高水平的。反之，如果教师缺少把握本质问题的能力，教学只是停留在细枝末节上，无论他的举止多么高雅，语言多么幽默，板书多么工整，他的教学也是低水平的。

有人说： “教育的关键是教会学生如何学习”，问题是如何教会学生学习？这是个值得探讨的问题。学会学习的根本在于掌握基本的思维方法，能否掌握思维方法与思想取决于你对相关学科的鉴赏力。教师传授思想的过程就是教会学生如何学习、如何鉴赏。

本书着眼于高中数学内容的思想性为教师们的教学和大学师范生以及数学教育研究生的教育实习提供了建设性意见，书中针对教材内容与课堂教学给出了大量案例分析，同时设计了部分高中数学内容的教案供一线教师参考。

本人非数学教育专业出身，无非是凭借多年从事数学研究与数学教学经验发表一些粗浅的认识，行文素喜信马由缰，不专业之处在所难免，也算是为中国数学教育研究添一块另类的砖头。谬误之处，恭请方家批评指正。

曹广福

2018年4月

本 / 卷 / 序

我历来主张教材与课堂都不能杜撰历史，如果不清楚历史，宁可不说，单刀直入介绍概念或定理即可。以复数概念教学为例，教材以x2+1=0在实数范围内无解所以需要扩充数域作为虚数概念的切入点，这里存在几个疑问： (1)历史并非如此，复数的出现与三次方程的求根公式有关，而正式登堂入室则是在找到了它的几何与物理背景之后；(2)如果学生问：“为什么要让这个方程有解？为了解决什么问题？”教师将如何回答？(3)在复数的四则运算中，加减法不难理解，与向量的线性运算是相容的，但如果学生问：“为什么那样定义复数的乘除法？为什么不可以像复数的加减法那样将复数的实部与虚部分别相乘或相除？”事实上，哈达马（Hadamard）乘积就是这样定义的，为什么复数的乘法就不可以这样定义呢？教师怕是回答不了这样的问题。要解释清楚这个问题自然离不开复数运算的几何背景。

高中复数部分占用的教学时间很少，只有几课时，很难面面俱到地把所有相关问题解释清楚。例如，教师不可能在课堂上把一元三次方程的求根公式推导一遍，那样既偏离了主题也耗费了不必要的时间。所以要在“历史”与“再创造”之间寻找一种平衡，换言之，需要将复数的“学术形态”转变成“教育形态”。

三角函数是最重要的初等函数，也是高考考查的重点内容之一。有的教材关于三角函数的编写有值得斟酌与完善之处，例如任意角、弧度制及任意角三角函数的引入分别设计了三个不相干的问题情境，用手表的校准引入任意角，以“为了使用上的方便，数学上还采用另一种度量角的单位制——弧度制”引入弧度制，再以锐角三角函数的坐标表示为出发点引入任意角三角函数，这些情境的设计颇有些令人费解。机械表的确存在校准时间的问题，但谁也不会关心分针或秒针旋转了多少角度，因为关心这个问题毫无意义。为什么要引入弧度制？它能带来什么方便？教材语焉不详，需要到任意角的三角函数部分才看到弧度制的使用，但如果教师不讲清楚，估计学生仍然无法搞清楚这个问题。任意角三角函数的问题情境也值得推敲，它没有回答一个基本问题：为什么要定义任意角的三角函数？教材只是根据锐角三角函数的坐标表示类推到任意角的三角函数，虽然后面简要介绍了一点历史，但学生无法从那段历史介绍中找到上述问题的答案！因为它太缺少细节，没有说清楚引入任意角三角函数的必要性，也没有阐明为什么要像教材那样建立任意角的三角函数，学生无法透过教材看到数学思想的火花。

问题驱动的中学数学课堂教学： 复数与三角卷

本卷序

我们对三角函数内容做了一个大胆的重构，以汽车仪表板的工作原理作为问题情境贯穿任意角、弧度制与任意角三角函数教学的始终，将天体的运行简化成一个质点(汽车轮子的中心)作直线运动，另一个质点(车轮圆周上的固定点)绕着该质点作旋转运动，如何确定任意时刻质点所处的位置？这个问题的解决自然带出了任意角的正弦函数与余弦函数，质点的轨迹是数学上著名的摆线。

解三角形部分我们补充了几乎所有常用的三角公式，因为这些公式本来就属于中学传统的内容，大学课程中又很常用，中学教师可以视情况决定是否将其纳入课堂教学。

虽然本卷的构思与现行教材的构思有较大的差异性，但内容与体系是一致的。作为教师，也许觉得按照教材组织教学省事又省力，但至少自身要知其所以然，否则，改革恐怕永远是纸上谈兵，达不到预期的效果，希望本卷能为有兴趣的师生提供一点帮助。

曹广福

2019年4月

目 / 录

第1章复数与三角函数简史/ 

1.1复数简史

1.1.1怪物的出现

1.1.2虚数的萌芽

1.1.3几何与物理的发现

1.1.4如果没有复数，物理学将如何发展

1.2三角函数简史

1.2.1三角学简史

1.2.2三角函数所蕴藏的深刻思想

1.2.3从三角函数到傅里叶分析

1.2.4欧拉公式

第2章复数教学/ 

2.1复数教学内容简析

2.1.1复数教学现状

2.1.2复数教学内容的解读与分析

2.2复数教学案例设计

2.2.1复数教学策略

2.2.2“数系的扩充和复数的概念”教学案例设计

第3章三角函数教学/ 

3.1三角函数教学策略

3.1.1角度制与弧度制

3.1.2三角函数教学策略

3.2任意角、弧度制及三角函数教学案例设计

3.2.1任意角与弧度制教学案例设计

3.2.2再论锐角三角比

3.2.3锐角三角函数教学案例设计

3.2.4任意角三角函数的课堂教学重构

3.2.5任意角三角函数教学案例设计

问题驱动的中学数学课堂教学： 复数与三角卷

第4章三角公式/ 

4.1为什么要研究三角公式

4.1.1三角公式可有可无吗

4.1.2向量空间与内积空间

4.1.3再谈三角公式

4.2三角公式教学案例设计

第5章解三角形/ 

5.1正弦定理

5.1.1三角形中的各种关系

5.1.2正弦定理的发现及意义

5.1.3正弦定理教学案例设计

5.2余弦定理

5.2.1余弦定理的向量法证明

5.2.2从勾股定理到余弦定理

5.2.3余弦定理教学案例设计

5.3正弦定理与余弦定理的应用

5.3.1正弦定理与余弦定理的综合运用案例设计

5.3.2正弦定理与余弦定理在生活中的应用案例设计

第6章复数与三角函数的应用/ 

6.1复数在数学及自然科学中的应用

6.1.1复数在几何中的应用例解

6.1.2复数在运动力学中的应用初步

6.1.3复数在电磁学中的应用初步

6.2傅里叶分析简介

6.2.1傅里叶分析的起源

6.2.2傅里叶分析的物理背景

6.2.3傅里叶分析中的两个基本概念

附录复数与三角部分考试题收录/ 

参 / 考 / 文 / 献/ 

索 / 引/ 

从问题驱动的教学理念出发，展现复数与三角教学中的思考与实践。    

曹广福，男，博士，二级教授，博士生导师，首届国家高等学校教学名师奖获得者，入选国家“万人计划”教学名师，长期从事数学研究与数学教育工作，在国内外有重要影响的学术刊物上发表论文80余篇。主编出版的教材《实变函数》获得过国家优秀教材奖，主编的教材《实变函数论与泛函分析》入选国家“十五”、“十一五”规划教材。先后主持了六项国家自然科学基金及三项教育部高等学校博士点专项基金，连续主持过三届国家理科基地创建名牌课程项目。获得过国家基础教育教学成果二等奖以及省级教学成果奖多项