本书按照一般的微积分学教材的编排方式，系统地论述了基于MATLAB 语言编程的方法来实现微

积分问题的求解。全书内容包括函数与序列的描述及图形绘制、极限问题的求解、导数与微分问题的求

解、积分问题的求解、函数的逼近与级数求和、数值导数与数值积分等。此外，书中还概括性地介绍了

积分变换、分数阶微积分等内容。

本书可以作为高等学校理工科各类专业的本科生与研究生学习计算机数学语言（MATLAB）的教材，

也可以作为一般读者学习微积分学的辅助教材，帮助读者从另一个角度认识微积分学问题的求解方法，

并可以作为查询微积分数学问题求解方法的工具书。

前　言 

PREFACE

科学运算问题是每个理工科学生和科技工作者在课程学习、科学研究与工程实践中常常会遇到的问题，不容回避。对于非纯数学专业的学生和研究者而言，从底层全面学习相关数学问题的求解方法并非一件简单的事情，也不易得出复杂问题的解。所以，利用当前最先进的计算机工具，高效、准确、创造性地求解科学运算问题是一种行之有效的方法，尤其能够满足理工科人士的需求。

作者曾试图在同一部著作中叙述各个数学分支典型问题的直接求解方法，通过清华大学出版社出版了《高等应用数学问题的 MATLAB求解》。该书从 2004年出版之后多次重印再版，并于 2018年出版了第 4版，还配套发布了全新的 MOOC课程 ①，一直受到广泛的关注与欢迎。首次 MOOC开课的选课人数接近 14000人，教材内容也被数万篇期刊文章和学位论文引用。

从作者首次使用 MATLAB语言算起，已经有 30年的时间了，通过相关领域的研究、思考与一线教学实践，积累了大量的实践经验与资料。这些不可能在一部著作中全部介绍，所以与清华大学出版社策划与编写了这套“薛定宇教授大讲堂”系列著作，系统、深入地介绍基于 MATLAB语言与工具的科学运算问题的求解方法。

本系列著作不是原来版本的简单改版，而是作者通过十余年的经验和资料积累，全面贯穿“再认识”的思想写作而成的，深度融合科学运算数学知识与基于 MATLAB的直接求解方法与技巧，力图更好地诠释计算机工具在每个数学分支的作用，帮助读者以不同的思维与视角了解工程数学问题的求解方法，创造性地得出问题的解。

本系列著作的卷 I可以作为学习 MATLAB入门知识的教材与参考书，也为读者深入学习与熟练掌握 MATLAB语言编程技巧，深度理解科学运算领域 MAT-LAB的应用奠定一个坚实的基础。后续每一卷试图对应一个数学专题或一门数学课程进行展开。整套系列著作的写作贯穿“计算思维”的思想，深度探讨该数学专 

. MOOC网址：https://www.icourse163.org/learn/NEU-1002660001 

·ii·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算

题的问题求解方法。本系列著作既适合学生在学完相应的数学课程之后，深入学习利用计算机工具的科学运算问题求解方法与技巧，也可作为相应数学课程同步学习的伴侣，在学习相应课程理论知识的同时，侧重学习基于计算机的数学问题求解方法，从另一个角度观察、审视数学课程所学的内容，扩大知识面，更好地学习、理解并实践相应的数学课程。

本书是系列著作的卷 II，试图以一个全新的角度，按照一般微积分学教程的顺序全面介绍微积分问题的求解，侧重于利用 MATLAB环境直接求解微积分的问题。首先介绍函数与序列的描述与图形绘制，然后介绍极限问题的求解、导数与微分问题的求解以及积分问题的求解，并介绍函数的逼近与级数求和等方面的内容，还介绍数值导数与数值积分方面的内容，并给出积分变换、分数阶微积分等的入门介绍。

值此系列著作付梓之际，衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作工作的巨大动力。

薛定宇 2019年 5月

目　录 

CONTENTS

第 1章微积分问题简介 1 

1.1微积分学发展简史 1 

1.2本书的主要内容 · 4

第 2章函数与序列 · 6 

2.1函数与映射 · 6 

2.1.1函数的定义与描述  6 

2.1.2常用超越函数的 MATLAB计算 7 

2.1.3一般函数的 MATLAB表示 · 7 

2.1.4函数的曲线与曲面表示  8 

2.2不同函数的 MATLAB表示 · 9 

2.2.1反函数 · 9 

2.2.2复合函数 · 9 

2.2.3分段函数的描述 10 

2.2.4隐函数 · 12 

2.2.5参数方程 · 13 

2.2.6极坐标函数 · 16 

2.3奇函数与偶函数 · 17 

2.4复变函数与映射 · 18 

2.4.1复数矩阵及其变换  18 

2.4.2复变函数的映射 18 

2.4.3 Riemann曲面的绘制  19 

2.5序列与函数项序列 22本章习题  23

第 3章函数与序列的极限  26 

3.1单变量函数的极限 27 

3.1.1单变量函数极限的 φ–α定义 · 27 

·iv·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算 

3.1.2函数极限的计算机求解  29 

3.1.3复合函数的极限 31 

3.1.4序列的极限 · 31 

3.1.5分段函数的极限 32 

3.1.6无穷小量与无穷大量  33 

3.2单边极限与函数连续性  33 

3.2.1左极限与右极限 33 

3.2.2函数的连续性 35 

3.2.3区间极限运算 36 

3.2.4函数连续性的应用方程解的判定 · 37 

3.3复函数的奇点、极点与留数 · 38 

3.3.1奇点与极点的计算  38 

3.3.2复变函数的留数 39 

3.4多元函数的极限 · 41 

3.4.1累极限 · 41 

3.4.2重极限及其计算 42本章习题  44第 4章函数的导数与微分  47 

4.1函数的导数和高阶导数  48 

4.1.1函数的导数与微分  48 

4.1.2函数导数与高阶导数  48 

4.1.3复合函数的导数 51 

4.1.4分段函数的导数 52 

4.1.5矩阵的导数 · 53 

4.2参数方程的导数 · 53 

4.3多元函数的偏导数 55 

4.3.1偏导数 · 55 

4.3.2全微分 · 58 

4.3.3多元复合函数的导数  58 

4.4场的梯度、散度与旋度 · 59 

4.4.1标量场与向量场 59 

4.4.2梯度、散度与旋度 · 59 

4.4.3向量场的势 · 61 

4.5多元函数的导数矩阵  61 

4.5.1 Jacobi矩阵 61 

4.5.2 Hesse矩阵  62 

4.5.3标量函数的 Laplace算子 · 63 

4.6隐函数的偏导数 · 63 

4.6.1单个隐函数的一阶导数  63 

4.6.2隐函数的高阶导数  64 

4.6.3隐函数方程组的偏导数计算· 66 

4.7导数与微分的应用 68 

4.7.1极值问题 · 68 

4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 · 71 

4.7.3曲面的切面方程与法线方程· 72本章习题  73

第 5章函数的积分 · 75 

5.1单变量函数的不定积分  76 

5.2定积分与反常积分 79 

5.2.1定积分 · 79 

5.2.2广义积分与反常积分  81 

5.3多重积分问题的 MATLAB求解 · 83 

5.3.1多重不定积分 84 

5.3.2待定多项式的构造  85 

5.3.3多重定积分的计算  86 

5.3.4积分区域的处理与变换  87 

5.4定积分的应用 · 88 

5.4.1曲线弧长的计算 88 

5.4.2旋转体的体积计算  89 

5.4.3三维图形围成的体积与质量计算 · 90 

5.4.4概率密度与分布函数  91 

5.4.5积分变换入门 92 

5.5曲线积分 · 92 

5.5.1第一类曲线积分 93 

5.5.2第二类曲线积分 95 

5.6曲面积分 · 96 

5.6.1第一类曲面积分 96 

5.6.2第二类曲面积分 98 

·vi·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算

本章习题  100

第 6章级数展开与函数逼近  103 

6.1级数求和 · 103 

6.1.1数项级数的求和 104 

6.1.2无穷级数求和计算  106 

6.1.3函数项级数的求和  108 

6.1.4特殊的无穷项问题  109 

6.2无穷级数的收敛性判定  111 

6.2.1正项级数的一般描述  111 

6.2.2正项级数的收敛性判定  111 

6.2.3交替级数的收敛性判定  113 

6.2.4函数项级数的收敛区间  114 

6.3序列求积问题 · 115 

6.3.1数项序列的乘积 115 

6.3.2函数项序列的乘积  116 

6.3.3正项序列求积的收敛性判定· 116 

6.4 Taylor幂级数展开  117 

6.4.1单变量函数的 Taylor幂级数展开 · 118 

6.4.2多元函数的 Taylor幂级数展开· 121 

6.5 Fourier级数展开 · 122 

6.5.1 Fourier级数的数学描述  122 

6.5.2 Fourier级数的 MATLAB实现 · 123 

6.6单变量函数的有理函数近似  126 

6.6.1函数的连分式近似  126 

6.6.2函数的 Padé近似 · 130 

6.7 Laurent级数展开· 131 

6.7.1复变函数的 Laurent级数展开 · 131 

6.7.2有理函数的 Laurent级数 · 133本章习题  135

第 7章数值导数与微分 139 

7.1数值导数算法 · 139 

7.1.1前向差分与后向差分算法  140 

7.1.2 o(h2)精度中心差分算法 · 140 

7.1.3 o(h4)精度中心差分算法 · 141 

7.1.4更高精度的中心差分公式  141 

7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算 · 142 

7.1.6高精度前向与后向差分算法· 145 

7.2数值导数计算的 MATLAB实现 · 146 

7.2.1二阶精度算法的实现  147 

7.2.2七点中心算法的实现  148 

7.2.3前向差分数值导数算法的实现· 149 

7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数 · 151 

7.4二元函数的偏导数计算  153 

7.4.1梯度计算 · 153 

7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法 · 154 

7.4.3混合偏导数的数值计算  156 

7.4.4高阶混合偏导数的数值计算· 157 

7.5样条插值与数值导数计算  158 

7.5.1三次样条 · 158 

7.5.2 B样条 · 161 

7.5.3基于样条的数值导数计算  162 

7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算 · 165本章习题  167第 8章数值积分 · 169 

8.1由给定样本点求数值积分  169 

8.1.1定积分的直接计算  169 

8.1.2积分函数的重建 171 

8.1.3等间距样本点的高精度数值积分方法 · 172 

8.2单变量数值积分问题求解  175 

8.2.1简单数值积分问题  175 

8.2.2数值积分问题的 MATLAB求解 176 

8.2.3反常积分的数值计算  180 

8.2.4含参数函数的数值积分  181 

8.2.5积分函数的数值求解  183 

8.3双重积分问题的数值解  184 

8.3.1双重定积分的计算  184 

8.3.2双重积分曲面的计算  185 

8.3.3不同积分顺序的双重积分计算方法 · 185 

·viii·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算 

8.4多重积分数值求解 186 

8.4.1三重定积分的数值求解  187 

8.4.2含参数函数的三重积分  188 

8.4.3多重积分数值求解  189 

8.4.4某些变边界多重积分问题的数值求解方法 191 

8.5数值积分的其他计算方法  191 

8.5.1基于 Monte Carlo方法的数值积分近似  192 

8.5.2基于样条插值的数值积分  194 

8.5.3多重积分的数值计算  196本章习题  197

第 9章积分变换 · 200 

9.1 Laplace变换及其反变换 · 200 

9.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质  201 

9.1.2 Laplace变换的计算机求解 202 

9.1.3用 Laplace变换求解微分方程 204 

9.2 Laplace变换问题的数值求解 206 

9.2.1数值 Laplace反变换 · 206 

9.2.2闭环系统响应的思想  207 

9.2.3数值 Laplace变换· 208 

9.2.4无理系统的响应计算  211 

9.3 Fourier变换及其反变换 211 

9.3.1 Fourier变换及反变换定义与性质· 212 

9.3.2 Fourier变换的计算机求解  212 

9.3.3 Fourier正弦和余弦变换  213 

9.3.4离散 Fourier正弦、余弦变换 · 215 

9.3.5快速 Fourier变换 · 216 

9.4其他积分变换问题及求解  217 

9.4.1 Mellin变换 217 

9.4.2 Hankel变换及求解 219 

9.5 z变换及其反变换  220 

9.5.1 z变换及反变换定义与性质 · 221 

9.5.2 z变换的计算机求解· 221 

9.5.3双边 z变换  223 

9.5.4有理函数 z反变换的数值求解 · 223本章习题  224 

第 10章分数阶微积分· 228 

10.1分数阶微积分的定义 · 229 

10.1.1为什么要引入分数阶微积分的概念 · 229 

10.1.2分数阶微积分的定义  230 

10.2不同分数阶微积分定义的关系与性质  231 

10.3 Grünwald–Letnikov定义的数值实现 · 232 

10.3.1 Grünwald–Letnikov定义 232 

10.3.2高精度算法与实现  233 

10.3.3不同精度算法的定量比较 · 237 

10.4 Caputo微积分定义的数值计算 · 239 

10.5 Oustaloup滤波算法及其应用  241 

10.5.1 Oustaloup滤波器近似 · 241 

10.5.2 Caputo导数的滤波器近似  243 

10.5.3基于 Simulink的 Caputo导数计算  245 

10.6更高阶导数与积分的数值计算 246本章习题  248参考文献· 249 MATLAB函数名索引 · 251

术语索引· 255 

本书是MathWorks图书计划作品。本书凝聚了薛定宇教授30年的MATLAB科研与教学积淀、30年的MATLAB推广与普及经历！其授课视频在爱课程与中国慕课数拥有十万读者学习的视频课程！英文版全球同步发行！

视频公开课： 爱课程或中国大学MOOC（慕课） “现代科学运算——MATLAB语言与应用”“控制系统仿真与CAD”（非严格配套本书视频，仅供读者参考）。

配书源代码： 配书源代码可以到清华大学出版社网站本书页面下载。

薛定宇大讲堂系列图书将陆续出版：

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅰ）：MATLAB程序设计

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅱ）：MATLAB微积分运算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅳ）：MATLAB最优化计算

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解

薛定宇教授大讲堂（卷Ⅵ）：MATLAB/Simulink仿真

薛定宇教授：  分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国家级教学成果二等奖。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为国家级精品课程、国家级精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为辽宁省精品资源共享课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国慕课网站。