经典的弹性理论认支配材料力学行为的本构方程中不包括微观粒子的特征长度，因此不能反映材料的尺寸效应，因此弹性波在均匀材料中传播是非色散的。事实上，当弹性波的入射波长与材料内部微结构的特征长度近似时，微结构效应逐渐显现，这使得弹性波传播呈现色散特征。本书主要考虑微结构效应，依据Mindlin微结构线弹性理论，研究了弹性波在界面的反射和透射、通过三明治结构的传播问题、以及无限周期结构中的Bloch波色散特性和带隙特性。

经典弹性理论认为，一点的应力只与该点的应变有关，支配材料力学行为的本构方程中不包括微观粒子的特征长度，因此不能反映材料的尺寸效应。根据经典弹性理论，弹性波在均匀材料中传播是非色散的。事实上，当弹性波的入射波长与材料内部微结构的特征长度近似时，微结构效应逐渐显现，这使得弹性波传播呈现色散特征。因此，为了弥补经典弹性理论在微纳米尺度下不能精确和详细地描述材料的波动力学行为的缺陷，广义的弹性连续体理论，如应变梯度弹性理论、非局部理论、微态理论、偶应力理论、微极理论和微伸缩理论被相继地提出。在广义的弹性连续体理论中，因为质点自由度的增加，使得质点的振动模式变得更加复杂，以至于微结构固体中产生了很多经典弹性固体中不存在的新的波动模式。1964年，明德林（R.D.Mindlin）提出了一种具有微结构的线性弹性理论，即应变梯度弹性理论。应变梯度弹性理论是为解释材料在微纳米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一种广义的弹性连续体理论。应变梯度弹性理论认为，一点的应力不仅与该点的应变有关，还与该点的各阶应变梯度有关，这样的材料被称为高阶材料。应变梯度弹性理论在本构方程中引入了应变梯度，用以反映微结构效应，因此应变梯度弹性理论可以捕捉到材料的尺寸效应。另外，在应变梯度弹性理论中认为宏观振动和微观振动共同存在，宏观振动和微观振动的耦合，导致十二种波动模式，它们当中有八种是色散波，这种情形对于深入研究微结构弹性固体中的波动问题十分困难。

本书主要依据明德林的微结构线弹性理论，在忽略宏观和微观相对变形的基础上，推导了

含有两个附加常数的

应变梯度弹性理论，并应用此理论研究了弹性波在不同结构固体中的传播特性，以及微结构效应、表面效应、界面条件和热效应对弹性波传播的影响。

全书共5章。第1章应用明德林的微结构线弹性理论详细推导了应变梯度弹性理论，在这个理论中除了经典弹性拉梅常数外又引入了两个额外的参数c和d，c反映微结构的弹性性质，d反映微结构的惯性性质，因为c和d的影响，使得应变梯度固体中存在色散的六种波型，即P波、SV波、SH波 、SP波、SS波和SHH波，基于此理论研究了界面上的反射和透射问题，并且首次提出了能量传送通道的概念，应用能量传送通道解释了五种界面条件对

反射系数和透射系数的影响。第2章研究了含应变梯度弹性固体夹层的三明治结构中波的反射和透射问题。分两种情况： ①夹层两侧是应变梯度弹性固体材料； ②夹层两侧是经典弹性固体材料，分别计算了以能流表示的反射系数和透射系数，讨论了入射波波长、夹层中微结构参数、两种应变梯度固体中微结构参数的比值，以及夹层厚度对反射和透射波的影响。第3章在两种不同应变梯度固体呈周期性无限排列的声子晶体中，应用布洛赫定理，研究了布洛赫波传播的色散特征和带隙特性。详细推导了面内和出平面布洛赫波倾斜和法向传播时的传递矩阵，讨论了微结构参数对色散曲线和带隙的影响。第4章通过恰当地构造应变能密度函数，将表面效应引入材料本构关系中，推导出控制方程和边界条件，计算了面内波的能量反射系数和透射系数，讨论了材料表面效应对弹性波反射和透射的影响。第5章研究了热力耦合弹性波在应变梯度固体中的传播。推导了能量守恒公式、本构关系和热传导方程。按照温度与熵流密度的四种组合形式给出了等温、绝热、阻热和理想的热力学界面条件。计算并讨论了在各种热力耦合界面上的能量反射系数和透射系数。通过以上内容的研究，揭示了微结构效应、表面效应，以及热力耦合效应对高频弹性波在固体材料中传播的影响。其研究成果可用于声学显微镜、声表面波器件、声体波谐振器以及声学超材料的设计指导。

本书是著者近年来应用应变梯度弹性理论研究弹性波在固体中传播行为的主要研究成果的总结。本书的出版得到了国家自然科学基金(No.12072022)、国家留学基金、黑龙江省自然科学基金(No.LH2019A026)和黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研项目(No.135509123)的部分资助，在此一并表示感谢。

作者

2021年1月

第1章弹性波在固体界面上的反射和透射

1.1应变梯度弹性理论

1.1.1控制方程和边界条件

1.1.2控制方程的解

1.2固体界面上的反射和透射

1.2.1界面条件

1.2.2数值算例与讨论

1.3五种界面条件下的反射和透射

1.3.1五种界面条件

1.3.2能流比表示的反射系数和透射系数

1.3.3数值算例和讨论

1.4本章小结

第2章弹性波在三明治结构中的反射和透射

2.1界面条件和量纲分析

2.2多次反射和透射

2.3反射（透射）波能流和能量守恒

2.4数值算例和讨论

2.4.1P波入射的情况

2.4.2SH波入射的情况

2.4.3能量守恒

2.5本章小结

第3章一维声子晶体中的布洛赫波

3.1弹性波倾斜传播

3.1.1SH波倾斜传播

3.1.2面内波倾斜传播

3.2弹性波法向传播

3.3数值算例与讨论

3.4本章小结

第4章表面效应对弹性波反射和透射的影响

4.1控制方程和边界条件

4.2界面上的反射和透射

4.3数值算例和讨论

4.4本章小结

第5章热弹性波在固体界面上的反射和透射

5.1含有热效应的应变梯度弹性理论

5.1.1应变梯度固体的热力学公式

5.1.2振幅表示的反射系数和透射系数

5.1.3能流表示的反射系数和透射系数

5.2数值算例和讨论

5.2.1耦合P波入射情况

5.2.2SV波入射情况

5.2.3各种波的速度比

5.2.4能量守恒的验证

5.3本章小结

附录

附录A应变梯度固体反射和透射问题中的矩阵

附录B五种界面问题中的矩阵

附录C三明治问题中的矩阵

附录D声子晶体问题中的矩阵

附录E表面效应反射和透射问题中的矩阵

附录F热弹性波反射和透射问题中的矩阵

参考文献

本书是一部研究考虑微结构效应的弹性波传播特征的专著。书中在Mindlin微结构线弹性理论框架下，详细地推导和阐述了弹性波在单层界面、双层界面和无限周期结构中的传播特征，通过数值模拟讨论了微结构、界面条件和热效应对弹性波传播的影响，反映了当前该领域一些**的研究成果。

李月秋，女，汉族，1977年出生，中共党员，工学博士，副教授，硕士生导师。2016年1月博士毕业于北京科技大学，博士论文获北京科技大学优秀博士论文.近五年共发表论文30余篇，其中在《International Journal of Solids and Structures》，《European Journal of Mechanics - A/Solids》等国际学术期刊上发表SCI论文25篇，主持黑龙江省自然科学基金并参与国家自然科学基金多项，多次参加国内大型会议并做分组报告。