本书研究了几类分数阶随机发展方程的控制问题，具体包括逼近能控性和最优控制。全书共分为5章。第1章介绍分数阶随机发展方程控制问题所需要的预备知识。第2章介绍带 Hilfer 导数的分数阶中立型随机发展方程的逼近能控性。第3章介绍带 Caputo 导数的分数阶随机发展方程的逼近能控性。第4章介绍带 Hilfer 导数的分数阶发展方程的逼近能控性。第5章介绍带 Hilfer 导数的分数阶随机发展方程的最优控制。

前　　言 发展方程是微分方程领域的一个重要分支, 它可以有效地描述事物的变化过程与时间的关系。在现实研究中, 由于随机干扰无处不在, 确定性模型已不能对系统进行精确的描述和预测, 因此随机发展方程成为一个重要的课题。它在力学、化学、微电子学、经济学和金融学等领域都有重要的应用。近年来, 随着分数阶微积分理论的日趋成熟, 分数阶随机发展方程成为许多学者研究的热点, 并且出现了大量有意义的研究成果。 控制理论是控制系统工程的理论基础, 主要研究控制系统的能控性、稳定性和最优控制等性质[47] 。它处在数学、计算机科学和工程学交叉发展的前沿, 在以自动化、计算机、机器人等为代表的新技术革命中发挥着重要作用。 近几年来, 作者对分数阶随机发展方程的控制理论进行系统研究, 具体包括逼近能控性和最优控制, 并且得到了一系列有意义的成果。本书对这些研究成果进行全面介绍。为了保持完整性和系统性, 我们还对分数阶随机发展方程控制领域中其他同行的最新研究成果等进行了收集和整理, 在书中进行了介绍, 全书共5 章。 第1 章简单介绍了本书涉及的一些基本概念及相关性质, 为后续章节的展开做准备。 第2 章研究了一类由白噪声驱动的Hilfer 分数阶中立型随机发展方程的逼近能控性。利用无穷维随机积分、解析半群理论、分数阶微积分和Banach 压缩映射原理证明了方程温和解的存在唯一性。进一步地, 利用共轭算子构造控制函数, 证明了系统的逼近能控性。 第3 章研究了两类分数阶布朗运动驱动的Caputo 分数阶随机发展方程的逼近能控性。利用分数阶Brownian 运动的Wiener 型积分和算子半群理论证明了方程温和解的存在唯一性。利用核空间方法证明了系统的逼近能控性。 第4 章分别研究了零阶到一阶和一阶到二阶的Hilfer 分数阶发展方程的逼近能控性。对于一阶到二阶的Hilfer 分数阶发展方程, 利用Laplace 变换、分数阶微积分理论和算子族{Rα(t)}t≥0 给出方程温和解的定义。进一步地, 利用序方法构造一列控制函数得到系统的逼近能控性。对于零阶到一阶的Hilfer分数阶发展方程同样利用序方法得到它的逼近能控性。 第5 章研究了一类带有非局部条件的Hilfer 分数阶随机发展方程的最优控制问题。利用算子半群和不动点定理给出方程温和解的存在性。进一步地,给出相应Lagrange 问题最优对的存在性。 希望本书的出版能够帮助对分数阶随机发展方程的控制理论这一领域感兴趣的读者基本掌握该领域的基础研究方法、快速了解该领域中的最新研究成果, 为较早地进入国际前沿打好基础, 从而促进我国在这一领域的研究上得到更好的发展。 感谢北京工业职业技术学院青年教师科研能力提升项目(BGY2021KY-05QT) 所给予的支持。感谢电子工业出版社的大力支持和编辑们的辛勤劳动。由于作者水平有限, 书中不妥之处在所难免, 恳请专家及读者惠予赐教。 作者 2022 年11 月 于北京

第1 章　基础知识……………………………………………………………… 1 1. 1　分数阶导数和积分…………………………………………………… 1 1. 2　算子半群与非线性泛函基本理论…………………………………… 2 1. 3　Wiener 过程及其随机积分　………………………………………… 4 1. 4　分数阶Brownian 运动及其Wiener 型随机积分…………………… 6 　　1. 4. 1　分数阶Brownian 运动及其性质……………………………… 6 　　1. 4. 2　分数阶Brownian 运动的Wiener 型随机积分……………… 7 第2 章　带Hilfer 导数的分数阶中立型随机发展方程的逼近能控性……… 11 2. 1　温和解的存在唯一性……………………………………………… 11 2. 2　逼近能控性………………………………………………………… 24 2. 3　实例分析…………………………………………………………… 26 2. 4　研究进展评述……………………………………………………… 27 第3 章　带Caputo 导数的分数阶随机发展方程的逼近能控性…………… 29 3. 1　分数阶Brownian 运动驱动的分数阶随机发展方程……………… 29 　　3. 1. 1　温和解的存在唯一性……………………………………… 30 　　3. 1. 2　逼近能控性………………………………………………… 36 3. 2　分数阶Brownian 运动驱动的带有延迟的分数阶随机发展方程… 42 　　3. 2. 1　温和解的存在唯一性……………………………………… 42 　　3. 2. 2　逼近能控性………………………………………………… 43 3. 3　实例分析…………………………………………………………… 44 3. 4　研究进展评述……………………………………………………… 45 第4 章　带Hilfer 导数的分数阶发展方程的逼近能控性…………………… 48 4. 1　零到一阶Hilfer 分数阶发展方程…………………………………… 48 　　4. 1. 1　温和解的存在唯一性……………………………………… 48 　　4. 1. 2　逼近能控性………………………………………………… 54 4. 2　一到二阶Hilfer 分数阶发展方程…………………………………… 58 　　4. 2. 1　温和解的存在唯一性……………………………………… 58 　　4. 2. 2　逼近能控性………………………………………………… 63 4. 3　实例分析…………………………………………………………… 67 4. 4　研究进展评述……………………………………………………… 70 第5 章　带Hilfer 导数的分数阶随机发展方程的最优控制………………… 71 5. 1　温和解的存在唯一性……………………………………………… 71 5. 2　最优控制的存在性………………………………………………… 77 5. 3　实例分析…………………………………………………………… 81 5. 4　研究进展评述……………………………………………………… 83 参考文献………………………………………………………………………… 84