儿童对数学知识的掌握，就其实质而言就是一种高度抽象化的逻辑数理知识的获得。例如：数目概念的获得，儿童要能够数出4朵花，对"4朵”这个数量的认识并不来自任何一朵花，这个数量的属性存在于它们的相互关系中，即所有的花构成了一个数量为"4”的整体。儿童要获得"4"这一数目概念，不是通过简单直接的感知，而是通过一系列动作的协调，从而得到物体的总数。这种协调至少体现出三种逻辑关系：（1） 对应关系—手点的动作和口数的动作相对应，如手点到第3朵花，口中说出"3”；（2） 序列关系—口中数的数和手点的物是连续而有序的，如：第1朵、第2朵、第3朵、第4朵的顺序；（3） 包含关系—知道最后一个数表示的是一个总数，是一个总体，它包含了其中的所有个体，如：幼儿数到第4朵后，能说出总数，知道总数是"4”。综上可见，一个数不仅仅是一个名称的代表，而且是一种抽象的逻辑关系和数觉的体现。生活是最好的"活”教材！

网上曾流传过一段视频，一个幼儿背乘法口诀，每次背到“3×5”就会出错，于是再重来， 幼儿一边哭一边背，说：“我永远都记不住，太难了！”生活中也有家长对自己的孩子能从1 数到100，甚至更大的数字感到非常自豪，并且常常会在朋友聚会时让孩子表演。这些做法违 背了幼儿掌握数理逻辑三个层次的顺序，即操作层次、形象层次和符号层次。跳过操作层次和 形象层次，直接让幼儿进入了符号层次，这就好比幼儿还不会走，就让他跑一样。这样的学习 过程一定是不快乐的，也难以激发幼儿学习数学的兴趣。另外一种极端是放任自流，顺其自然。 教育有时不能等，特别是数的教育。 幼儿感知数的守恒经历了三个阶段。 第一阶段是不理解阶段。3 岁半的幼儿不能理解数的守恒。这时的幼儿判断两组物体是否 相等主要通过比较两组物体的排列长度和所占的空间大小是否相等，而不是通过比较物体的数 目是否相等。 第二阶段是过渡阶段。当两组等量的物体一一对应排列时，4 岁的幼儿能理解它们是相等的， 但当另一组物体被分散地排列后，幼儿则不能正确判断它们是否相等。 第三阶段是理解阶段。5~6 岁的幼儿绝大部分能排除物体的外部特征和排列形式的干扰， 正确判断两组物体的数目是否相等。 那么，问题来了，我们是要在孩子3 岁半左右时训练他们认识数的守恒，还是“等”到他 们5 岁左右时无师自通、自然而然地“懂”呢？如果要靠“等”，就失去了教育的意义，不需 要去“尽心尽力”，而只需要“顺其自然”就可以了。高尔基说过：“爱护自己的孩子，这是 老母鸡都会做的，但教育好孩子却是一门艺术。” 其实，不管是3 岁半还是5 岁，如果能够用“一一对应”的“能力”去认知的话，年龄就 不那么重要了，正是因为3 岁半不理解，所以才有必要在3 岁半时进行训练，如果都等到5 岁理解了，那还要家长或老师训练什么呢？对于孩子来说，没有挑战的内容太多了，这也是造 成日后孩子厌学的主要原因之一。 所以，教育要走在发展的前面，只有走在发展前面的教育才是良好的教育。“顺其自然” 不是教育，“尽心尽力”也只是发展，“科学培养”才是正道。 早在20 世纪40 年代，日本就规定把培养学生的主动探索精神、逻辑推理能力和处理问 题的能力作为小学理科教学的第一目的。美国著名的心理学家布鲁纳认为，越是基础的课程， 越要针对年幼的学生。一个好的数学课程重要的是要为儿童提供智力的训练。美国新的幼儿数 学教育十分重视创设环境和物质条件，重视让幼儿在操作具体材料的过程中进行探索，通过自 己的思维活动，达到在头脑中构建数学知识的目的。 智力一般是指由感知力、观察力、注意力、记忆力、想象力、思维能力和语言能力等组成 的认识活动的综合能力，其中思维能力是智力的核心部分。思维能力的发展程度，是智力发展 的缩影和标志。发展幼儿的思维能力是多途径的，对幼儿进行初步数学教育是发展幼儿思维能 力的一个最重要且非常有效的途径。 这一作用，主要是由数学本身具有的抽象性、逻辑性、辩证性及广泛的应用性等特点所决 定的。同样，幼儿接受的初步数学知识，也无一例外地具有这些特点，从而使幼儿的数学教育 能较大程度地满足幼儿思维发展的需要，起着与其他学科或活动所不同的特有作用。 序暨使用说明一 I 数的教育-上 P1-98.indd 1 19-4-2 上午9:02 例如，在研究量的关系时，总是暂时地舍去了事物所具有的许多具体的特点，而抽象地探 讨事物的量。乍看起来，好像数学探讨的量和具体事物无关，然而它却是从许多具体事物中抽 象出来的一种普遍关系。例如，自然数3，可以代表3 个皮球、3 只小鸡、3 架飞机、3 朵花 等一切数量为3 的事物的集合。因此，3 就是从元素为3 的具体物体集合中舍去了皮球、小鸡 等具体特点，仅抽象出它们的数量的结果。 5 岁左右是幼儿数学概念形成和抽象运算能力发展的关键时期，但是到了5 岁才开始训练 已经晚了，而过了5 岁的幼儿急需进行补偿性训练。因此本书的训练主要适合5 ?6 岁的幼 儿的训练，也适合4 岁幼儿的提前预备训练。只要能尽早达到本书的教学要求，幼儿的数学能 力及相关的智力和非智力心理素质都会得到有效的发展。 计数体现数学的逻辑性。数学的逻辑基础是有条理地计数，恩格斯曾经说过：“为了计数， 不仅要有可以计数的对象，还要有一种在考察对象时，撇开对象的其他一切特性而仅仅考虑到 数字的能力。”这句话形象而概括地说明了数学在发展思维中的重要作用。因此，我们要把幼 儿数学教育的着重点放在培养幼儿的思维能力上，放在提高幼儿的智力水平上。 瑞士心理学家皮亚杰和美国心理学家布鲁纳都认为数学能促进儿童认知能力的发展，也就 是说人的智力水平的高低与数学能力有明显的关系。相关的研究表明，幼儿年龄越小，幼儿的 数学能力与幼儿智力水平的相关性越大，即年龄越小的幼儿如果他的数学能力越高，那么他的 智力水平也就越高，数学能力会促进幼儿智力水平的快速发展。 人的数学能力虽然受一定的遗传因素的影响，比如，数学天才仅占人口的万分之一，数学学习主要还是靠后天的教育，国内外的数学家的成就无不是良好的教育和自己勤奋努力的结果。幼儿数学教育应把培养幼儿的智力这一任务放在重要的位置。从某种意义上讲，它比掌握简单的数学知识更为重要。事实上，幼儿所能接受的数学知识是很有限的，然而在幼儿获取数学知识的过程中，成人对幼儿思维能力的启迪，却能对幼儿日后的学习和成长产生长期积极的效应。 经常看见一些妈妈在耐心地教孩子学数学。然而仔细听来，她们无非就是不断重复地问孩子：“1 加3 等于几？ 2 加2 等于几？”其实，也怪不得这些家长。因为在很多人的心中，数学无非就是计算。因此，教孩子数数及简单的加减运算似乎也在情理之中了。 客观地说，这并不是真正的数学教育，而是父母的知识或想法的移植，而这一点，可能需要以孩子一生的前程为代价，包括智力上的隐性落后，情绪上的厌倦惧怕，数学文化上的缺失。我国著名数学家陈省身先生曾对记者说过，“我们每个人一生中都接受了十几年的数学教育，然而很多人却只学会了计算，而没有理解什么是真正的数学。”真正的数学是抽象与逻辑，概括与创新的科学。幼儿的数学教育应符合其自身的学习特点，否则会阻碍幼儿大脑的开发和使用，导致观察能力、思考能力，以及分析和解决问题的能力的缺失，造成探索精神和创新意识的匮乏，也必将使幼儿被科技大潮所淘汰。 同样，另外一种极端现象是家长把可以买到的数学教材都买回家，这些幼儿数学教材无一不是印刷精美、色彩艳丽，比如，熊妈妈、狗爸爸粉墨登场；苹果、香蕉、大鸭梨等，一应俱全。家长觉得这样非常划算，孩子连涂带画、连剪带贴，读了一个又一个的小故事，也很开心。 但结果呢？全学完了还是不知道数学是什么，做加减法还是要伸出小手指数！ 问题何在？问题在于孩子的注意力不是在数学上，而是在游戏上，孩子根本没有学进去数学。大约从20 世纪50 年代开始，我们称幼儿园的数学教育为“计算”，相应的课程叫“幼儿园计算教学法”，这一名称沿用至今。当前，随着数学、认知心理学和幼儿教育学等学科的发展，依旧将幼儿数学教育称为“计算”或“幼儿园计算教学法”就十分不协调、不合理了。 首先，“计算”不能包含幼儿数学教育的全部内容，我们的目的是向幼儿进行数学启蒙教育。长期以来，我国幼儿数学教育的内容早已超出“计算”的范围，包括自然数（10 以内的数）及其加减运算、常见量、几何形体、时间、空间及逻辑等方面的简单知识。这些方面的知识正符合“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”的研究范围，而“计算”却不能概括。其次，幼儿数学教育不仅教授方法，更重要的是教授理论。数学教育的内容和方法若不以幼儿数学概念认知发展的理论为依据，将成为无本之木、无源之水，将变成缺乏科学依据的纯经验性的知识。而逻辑思维能力是数学学习的核心和主要目的，忽视这方面的训练与培养可能会造成终身遗憾，影响一生的数学学习。故一旦本书称为“教学法”，易导入纯方法的论述，而忽视了对理论的探讨，这也是本书与一般书的不同之处——理论、实践及可操作性方法相结合。 事实上，幼儿数学教育的实施，不应只局限在幼儿园及各种类型的托幼机构，家庭和社会更是幼儿数学学习的广阔天地， 而生活中的数学是最好的“活”教材！因此，我们认为学科名称为“学前儿童数学教育”更为贴切。而本书由于其科学性、系统性、艺术性，改变了目前成人普遍认为幼儿数学是很容易的“小儿科”的错误认识，故取名为《科学学习学前数学》，以引起对学前数学的重视。现实生活中很多学前数学教育都忽略了“数前教育”，而直接进行“数的教育”，即使是后者也存在“知识点不全”的问题，导致幼儿的基础知识不牢固、数学能力不足及逻辑关系混乱。 逻辑关系体现数学的辩证性。幼儿对数学知识的掌握，实质是辨证获得一种高度抽象化的逻辑数理关系。例如，数的概念的获得，幼儿能够数出4 朵花，但他们对“4 朵”这个数量的认识并不来自任何一朵花，而是所有的花构成了一个数量为“4”的整体。幼儿要获得“4”这个数的概念，不是通过简单直接的感知，而是通过一系列动作的协调获得的。这种辩证和协调至少体现出三种逻辑系：对应关系——手点的动作和口数的动作相对应，比如，当手点到第3 朵花时，口中说出“3”；序列关系——口中数的数和手点的物是连续而有序的，如1 朵、2 朵、3 朵、4 朵的序；包含关系——知道最后一个数表示的是一个总数， 表示一个整体，它包含了其中的所有个体，如数到第4 朵后，能说出总数，知道总数是“4”。综上可见，一个数字不仅是一个名称的代表，而且是一种抽象的逻辑关系和数觉的体现。逻辑关系是抽象的，超出物体现实之上的，这种关系能够表示某个数字在一个次序中的位置，还能够表示一组物体中包含多少个体。 下面详述“数觉”，以使读者能“充分感受”幼儿认识数的过程，以便更好、更科学地施教。数觉是人类进化到蒙昧时期就已具有的一种能力，婴儿也具有这种能力，即在一个小的集合中，增加或减去一样东西的时候，尽管他们还不直接知道什么是增减，但能感觉到其中有变化。许多鸟类也具有数觉。鸟巢里若有四个蛋，你可以安然拿走一个；但是如果拿走两个，大鸟通常就要逃走了。“当然，具有数觉的动物仅限于几种昆虫、鸟类和人类，对狗、马等家畜所做的实验和观察，都不曾发现它们有什么数觉”（罗素《数的哲学》）。 究竟数的概念是从经验里产生的，还是早已隐藏在原始人心中而逐步加以呈现的呢？可以说，一种比鸟类强不了多少的原始数觉是我们产生数的概念的核心。毫无疑问，如果单凭这种直接的数的知觉，人类在计算技术上不会与鸟类有什么差别。人类因历经了一连串的生活变迁，才学会了对未来生活有巨大影响的数学技巧，即计数。正是因为有了计数，我们才获得了用数来表达宇宙的惊人成就。 数学产生于实践，与人类文明同时开始，又随着生产实践、科学技术的发展而发展。人类的全部生活实践——衣食住行几乎都离不开数学。比如，小朋友有几只手、班上有几位小朋友等，均用数来表示。自然界的一切生物，如花朵、蜗牛皆是一种几何形体。可以说，数学是打开未来世界大门的钥匙。直观的物质世界中的万物，都是由一定的“数”，按一定的“形”和“序”构成的。伽利略曾说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。” 正如中国数学家、语言学家周海中所言，数学语言具有准确性、 简洁性、严密性、抽象性、逻辑性、 直观性、普适性等特点，是星际交流的理想工具。 从数学的起源来看，人类的数学能力是为解决现实问题而产生的。远古渔猎穴居时代，人们为了记录时间与财产，就使用一对一的堆石法、结绳法，或在树枝、骨头、石板上刻画记号用来记录。比如，从某个月的月圆那天开始，每晚放一个小石头，到下个月圆为止，数一下这堆小石头就知道过了几天；猎人为了记录有多少张兽皮，每割下一张兽皮，就在树枝上做一个记号。到了农业、商业社会，生活越来越进步，也越来越复杂，人们在随手便可用的十指计算过程中，发明了1、2、3 等自然数的计数系统。为了更精确地计算与记录，十进位制产生了。对于几何学来说，其产生也来源于生产实践。在古埃及，每年春天尼罗河都会泛滥，造成地界不清，为了消除纠纷、重新丈量划界，于是产生了几何学。几何学（geometry）来源于希腊文化，“geo”表示“地”，“metry”表示“量”，合起来就是测量土地的意思。考古资料显示，数学的产生远远早于语言文字。我国文献记载，“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”（《周易·系辞下》）。 数学的发展源于现实世界需要的推动。例如，欧洲资本主义萌芽时期，手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学开始研究“运动”和各种“过程”，从而推动常量数学发展为变量数学，提出了“变量”与“函数”的概念。可以说，数学根植于现实的土壤，反映现实世界的规律，并为解决现实生活中的具体问题服务，正如《3 ?6 岁儿童学习与发展指南》所强调的，要让幼儿“发现生活中许多问题都可以用数学的方法来解决”。数学的发展促进了其他学科的发展。例如，5000 年前巴比伦的天文学就是受到数学的影响。近代伽利略、牛顿和拉瓦锡开始把物理、化学和机械学数学化。恩格斯也深深感受到要确立辩证唯物主义世界观，数学是必备的基础。因此他在45 岁时开始以惊人的毅力向微积分领域进军，而马克思是辅导他学习的老师。从20 世纪初开始，科学数学化的趋势日益明显，到20 世纪50 年代，数学化形成了巨大的规模，包括数学经济学、数学语言学、数学生物学和数理逻辑等一些学科。各门学科都力图以数学来表达，特别是人工智能，使“会思维的机器”的活动人性化、合理化、数学化。 数学要持续、快速地发展就要从儿童开始培养，学前儿童数学是人才培养的起点和根基。学前数学，是指幼儿所学习的最初步的数学知识，它强调的是在操作活动中的数学体验。它有以下三个特点。 一，学前数学与小学数学学习有本质的区别。尽管有些内容与小学低年级学习的内容有些类似，小学生学习是为了掌握，要经过考试；而幼儿只是对数学知识的“认识”和“感受”。 二，学前数学学习能够接触到现实世界中的数学理念，如拓扑的观念、极限的思想，这些都可以让儿童在数学操作活动中去体会。可以说，幼儿学习的数学知识，大多是表面的、粗浅的和初步的知识，而感受到的数学思想，既是高深的，又是幼儿可以体验、理解和接受的，并且终身受用的一种意识和结构，所以对某些知识的了解与感受可以在学前进行。 三，幼儿的数学学习与具体的操作活动和学科间的整合教育分不开，在各学科具体活动中，对数学的认知和数学思想的建构，与幼儿的具体形象思维有关，更与生活实际相关，并由现实 存在所决定。而本书根据数学知识内在的逻辑性和严密的体系把教学内容划分为若干个子程序。本书两个主要的特性如下。 交错性，有两方面的含义。其一，是指在教学安排上除不同年龄段的幼儿有不同的学习内容外， 有些教学内容可能重叠，但不同年龄段的幼儿学习同一内容，提出的要求不同，采用的教学方法、手段也不同。其二，是指在单元学习中，同一年龄段的幼儿可有不同的起点，低年龄段中能力高的幼儿可以按高年龄段的教学目标学习，直到感到困难为止；而高年龄段中能力低的和新入园的幼儿则按低年龄段的教学目标重新学习。 递增性，是指无论是教学要求、教学方法、教学手段的多层次，还是学习内容的多起点，教学安排都由浅入深、由低到高，是一个循序渐进的过程。 这种教学体系的安排可以使幼儿数学教学在最佳范围内发挥作用，避免了传统教学中由于教学内容同幼儿年龄增长机械地对号所带来的一些儿童“吃不饱”和一些儿童“吃不了”的现象， 也预防了不顾幼儿发展实际水平而盲目灌输，使得幼儿在知识系统上形成了一些“沙点”和“漏洞”，造成入学后“知识夹生”状况的产生。 强调这一点主要有两个方面的原因。 一，数学是逻辑性、系统性很强的一门学科，幼儿认识和掌握数学本身的内在规律是一个连续的过程，如果中间出现“沙点”和“漏洞”就会影响幼儿数学基础的牢固性。但是目前的学前数学的内容显得过大，不利于发现学习中的问题所在，根据程序教材，按照步骤，及时反馈的方法，就能达到对幼儿学习的有控化。 二，作为学习数学的主体——小班、中班、大班的幼儿来说，学习活动的认知特点是不同的，但同时又表现出阶段特征的连续性和个别差异。因此，教材的编排要同时考虑知识体系和幼儿 心理发展特点这两个因素的内在联系，因此我们做了循环、交错、递增式数学教学的编排，这 种编排方法既考虑到了数学内容应由浅入深，又考虑到了儿童心理发展的一般性和特殊性，以 利于因材施教。 了解以上内容以后，有必要进一步掌握幼儿数学教学的科学方法。 第一，幼儿学习数学是动作探究、表象积累及逻辑思维过程的统一。 应让幼儿通过动手操作实物进行数学学习，激发他们探索的兴趣，在操作的过程中，幼儿的手、眼、脑等器官协调活动，获得操作技能和感性经验，从而启迪大脑思维。幼儿刚开始学习加、减法运算时利用实物帮助理解题意是必要的，但是一旦用实物掌握了加、减法的意义与运算法则，就应立即摆脱实物，只有这样才能进一步促进幼儿的计算能力和数学综合思维的发展，否则将对幼儿数学能力的发展产生阻碍作用。 一些儿童甚至到了二年级仍需要借助实物来帮助计算，这样的儿童的计算能力是低水平的，若不及时纠正，他们的综合计算能力就很难正常发展，从而影响其数学综合能力的发展，影响其对数的概念的理解。另外有些一、二年级的儿童虽然经过一段时间的学习，已经摆脱了实物和用手指进行计算，但仍无法摆脱对数字形象的依赖，即不见到具体的算式就很难进行计算。比如，看见“5+6= ？”的算式，他们能较顺利地算出答案“11”，但如果只是听到家长问“5加上6 等于多少？”仍无法进行计算。这种对数字形象的依赖，对于他们的数学能力的进一步发展是不利的。计算能力是人类数学能力中的基础能力，而心算能力则代表着计算能力的最高水平，即代表着表象思维能力的水平。 表象是指过去感知过的事物在头脑中留下的印象。数学表象具有形象性、概括性、创造性和运动性等特征，它高于具体水平，又低于抽象水平。它不能像抽象概念那样反映事物的本质属性，是幼儿对客观世界的直接感知过渡到抽象思维的一个中间环节，表象的作用在于促使感性经验内化为抽象的数学概念。为帮助幼儿在头脑中建立正确而丰富的表象，必须根据幼儿的认知规律，为幼儿创设适宜的实物数学情境。例如，在学习加减法的过程中，首先要借助于实物、图片等直观材料，让幼儿完成具体水平上的加减运算；然后借助无直观材料伴随的口述应用题唤起幼儿头脑中的表象，培养幼儿表象水平上的加减运算能力，从而为幼儿的加减运算能力发展到抽象水平做好准备；最后，在具体经验和表象建立的基础上形成抽象的数学概念。 第二，幼儿学习数学的过程是解决问题的抽象思维、概括能力的培养过程，初期宜采用讲解与演示相结合的方法。 第三，现实生活是幼儿数学概念形成的源泉。在教育中，应采用情境设疑法从幼儿熟悉的事物和现象中选取生活和故事题材，以便引起幼儿的兴趣，增加探究的热情。 苏霍姆林斯基说过，“在人的心灵深处，有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探究者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”幼儿的这种欲望和能正好体现了探究学习的内涵，为探究学习提供了心理基础和动力。如果抓住这个最佳期，对幼儿进行探究习惯教育，可以为其将来成为社会所需要的创造性人才奠定基础。 如果成人过于注重让儿童获得某种结果而教给儿童很多知识或希望儿童能“记住”什么数学知识，实际上就剥夺了他们自己主动获得发展的机会。事实上，无论是数学知识，还是思维能力，都不可能通过单方面的“教”得到发展，而必须依赖学前儿童自己的活动，儿童的活动过程既包括外在的摆、操作材料的过程，也包括内在的思考和反思活动。 皮亚杰问一位对守恒有认识的儿童：“你是怎么知道的？”儿童出人意料地说：“一旦你知道了，你就永远知道了。”皮亚杰认为这是一个绝妙的回答。

第一章 计 数 一、数数 /2 1. 什么是“数数”/ 2 2.“数数”的方式/22 3. 怎样“数数”/ 25 二、认数 /29 1. 认识 1 / 35 2. 认识 2 / 38 3. 认识 3 / 43 4. 认识 4 / 51 5. 认识 5 / 58 三、比较“较小数” /71 1. 什么是比较“较小数” /71 2. 为什么要学习比较“较小数” / 76 3. 怎样学习比较数的大小 / 77 四、数的形成 / 86 1. 什么是“数的形成” /86 2. 为什么要学习“数的形成” /100 3. 怎样学习“数的形成” / 104 五、认识“0” / 115 六、数的守恒 / 120 1. 什么是“数的守恒” / 120 2. 为什么要学习“数的守恒” / 122 3. 怎样学习“数的守恒” / 124 七、比较“较大数” / 127 八、比较“十几的数” / 132 九、认识和比较较大的两位数 / 134 十、认识100 以内的数 / 141 十一、认识100 以上的数 / 148 十二、数“100 以内及以上”的数 / 151 十三、分类计数 / 160 十四、认识数序 / 163 十五、顺数与倒数 / 163 十六、顺接数 / 168 1. 为什么要学习“顺接数” / 168 2. 怎样学习“顺接数” / 169 十七、倒数 / 171 十八、倒接数 / 173 1. 为什么要学习“倒接数” / 173 2. 怎样学习“倒接数” / 173 十九、再认识“序数” / 178 1. 什么是“序数” / 178 2. 为什么要学习“序数” / 180 3. 怎样学习“序数” / 182 二十、10 以内“序数”的一般教学过程 / 182 二十一、100 以内“序数”的一般教学过程 / 196 二十二、认识“相邻数” / 198 1. 什么是“相邻数” / 198 2. 为什么要学习“相邻数” / 199 3. 怎样学习“相邻数” / 201 二十三、认识“单双数” / 211 1. 什么是“单双数”/ 212 2. 为什么要学习“单双数”/ 215 3. 怎样学习“单双数” / 217 二十四、按群计数 / 231 1. 什么是“按群计数” / 232 2. 为什么要学习“按群计数” / 233 3. 怎样学习“按群计数” / 237