本书内容分为3部分：第1部分为MATLAB程序设计基础；第2部分为数学实验，主要包括微积分实验、线性代数实验、数值计算实验、最优化模型实验、随机模拟实验、数据建模实验等；第3部分为数学建模基础与案例，主要包括数学建模基础、应用实验与数学建模案例.本书适合作为“数学实验”“数学建模”及相关课程的教学参考书，也适合作为高等学校各专业学生“数学实验”课程的教材和“数学建模”课程、数学建模竞赛培训的辅导材料，还可作为科技工作者的参考书.

人们在学习数学课程、专业课程时, 往往发现一些概念和结论比较抽象. 这时, 如果能够使用某种工具对这些知识点做直观形象的分析, 则会达到快速领会知识点的效果, 打开思路, 想得更透彻. 在学习数学知识、做科学研究或应用开发时, 如果对于一个思路能够使用某种方式快速地进行探究、分析, 那么会大大提高做事的效率. 本书介绍的数学实验知识及数学建模基础可以帮助读者更好地处理这些问题. 为了进行数学实验, 首先要选择一个实验工具. 这样的工具称为数学软件, 如MATLAB、Octave、Mathematica、MAPLE等. 本书选择MATLAB语言进行数学实验. 对应的软件可以选择MATLAB、Octave. 这两个都是以MATLAB语言进行编程的数学软件. 我们希望读者通过本书的学习, 培养出良好的数学实验思维, 帮助读者用数学实验的思路、方法去探究数学知识及其应用, 并掌握数学建模的基础知识. 本书主要内容 本书的内容包括3个方面：一是数学实验和数学建模均需要用到的MATLAB程序设计基础；二是数学实验, 包括与数学基础有关的实验, 如微积分实验、线性代数实验、数值计算实验, 其中数值计算实验包含非线性方程求根、插值与拟合实验、微分方程模型实验、数值积分与数值微分实验等；另外还有偏重数学模型的应用实验, 主要包含最优化模型实验、随机模拟实验、数据建模实验等；三是数学建模基础与案例. 第1章为绪论, 主要介绍数学实验工具、数学实验引例、实验的准备知识、编写约定. 第2～4章为MATLAB程序设计基础及应用, 内容分为三章. 第2章介绍了MATLAB语言的基本语法、常用函数、程序结构语句、函数编程等. 第3章介绍与绘图、字符串操作、文本文件操作有关的函数及其应用. 第4章介绍动画制作, 动画制作是属于绘图的一种应用, 可以用于计算机模拟的图形化动态展示. 动画制作在应用实验和开发中越来越普遍, 故本书将其作为一个专题进行介绍. 第5章为微积分实验, 主要讲解符号计算工具箱的常用函数及应用实例. 学习如何用这些函数计算极限、定积分、不定积分、泰勒多项式等, 包括如何设计数学实验来说明定积分、二重积分的几何意义等. 通过这些实验案例, 可以体会数学实验的应用思想, 形成探究微积分的概念、结论的意识, 并进行实践. 第6章为线性代数实验, 主要介绍了一些与矩阵操作有关的函数及应用实验. 第7～10章为数值计算实验部分, 主要围绕一些数值计算问题展开, 讲解了一些基本数值计算问题及其方法, 以及实现这些方法的MATLAB函数. 通过这些内容, 我们可以了解具体的数值计算问题的含义, 还能够了解一些数值计算方法的基本原理, 并能够掌握相关函数的用法, 以便在实践中更好地运用这些数值计算方法. 第11章为最优化实验部分, 主要讲解了一元函数极值问题、线性规划模型、非线性规划模型及最优化工具箱函数等内容. 如果需要了解这些最优化模型的求解方法, 可以参考“最优化方法”方面的书籍. 第12章为随机模拟实验部分, 主要讲解了随机变量的模拟函数、随机模拟实验的应用实例. 如果想要深入了解随机系统模拟, 可以参考“随机系统模拟”“计算机仿真”“离散随机系统模拟”方面的书籍. 第13章为数据建模实验部分, 主要介绍了回归分析、聚类分析、分类及主成分分析方法. 每部分将简要介绍各类方法的思想、建模步骤及实例应用. 第14章为数学建模基础部分, 主要讲解数学建模的基本思想、基本步骤, 以及一些典型的数学建模案例. 第15章介绍应用实验与数学建模案例, 以加深对数学实验思想的认识, 加强对数学模型和数学建模方法的认识. 本书作者 本书由电子科技大学数学科学学院张勇负责统稿. 各章节的编写情况如下：第1～5章、第10章、第14章由张勇编写；第6章由李厚彪、黄捷编写；第7章、第9章由房秀芬编写；第8章由房秀芬、赵熙乐编写；第11章由张晓伟编写；第12章由彭小帆编写；第13章由秦旭编写；第15章由张勇、李厚彪编写；赵熙乐参与了第10章的前期编写工作. 本书是2018年国家级教学成果一等奖“改革工科数学教育模式, 全过程培养学生实践与创新能力”的成果内容之一, 并得到了电子科技大学教务处的资助. 本书的编写也得到了电子科技大学数学科学学院黄廷祝教授、徐全智教授的亲切关怀和指导. 在此还要感谢谢云荪教授对数学实验课程的长期关注和指导, 也要感谢电子科技大学数学建模中心全体老师的大力支持. 我们还要感谢电子科技大学数学建模竞赛队员、参加“数学实验”课程学习的学生, 为教材成形之前的讲义提出了不少修改建议和意见. 意见反馈 本书是在作者多年从事“数学实验”课程教学、数学建模竞赛培训的基础上编写的, 限于水平有限, 加之编写时间较为仓促, 书中难免会有疏漏和不当之处. 敬请广大读者批评指正. 请通过mathzy@163. com及时反馈这些错误和意见. 本书的网络资源 作者开发了本书对应的“数学实验”慕课课程, 该课程已经在中国大学MOOC（爱课程）上线, 并于2019年被评为国家精品在线开放课程. 读者可在中国大学MOOC平台搜索“数学实验”课程, 并选择作者对应的课程进行学习. 本书包含的其他配套教学资源, 读者可登录华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）注册后免费下载. 编著者

第1部分 MATLAB程序设计基础 第1章 绪论 2 1.1 数学实验工具简介 2 1.2 数学实验引例 2 1.3 数学实验的准备知识 5 1.4 本书的一些编写约定 8 第2章 MATLAB程序设计基础 10 2.1 变量名命名规则 12 2.2 基本语句 12 2.3 变量定义：局部变量和全局变量 12 2.4 数组的创建 13 2.5 获取数组元素 15 2.6 数组元素的操作 18 2.7 运算符 18 2.7.1 算术运算符 18 2.7.2 关系运算符 20 2.7.3 逻辑运算符 21 2.8 分支判断语句 21 2.8.1 if语句 21 2.8.2 switch语句 23 2.9 循环语句 24 2.9.1 for循环 24 2.9.2 while循环 25 2.9.3 其他控制语句 26 2.10 常用函数 28 2.10.1 获取数组维数信息 28 2.10.2 基本统计函数 28 2.10.3 排序与查找函数 30 2.10.4 取整函数 31 2.10.5 集合运算 31 2.10.6 其他函数 32 2.10.7 应用实例 33 2.11 基本输入/输出函数 34 2.11.1 输入函数input 34 2.11.2 显示数组内容函数disp 35 2.11.3 格式化输出函数sprintf 35 2.11.4 格式化输出函数fprintf 36 2.12 MATLAB程序文件与函数编程 36 2.12.1 脚本文件 36 2.12.2 函数文件 38 2.12.3 子函数 40 2.12.4 用inline创建函数 41 2.12.5 匿名函数用法 42 2.13 应用实例 43 2.14 习题 44 第3章 MATLAB绘图函数、字符串与文本文件操作 46 3.1 MATLAB二维空间绘图 46 3.1.1 plot绘图 46 3.1.2 ezplot绘图 47 3.1.3 fplot绘图 48 3.1.4 给图形作标注的函数 49 3.1.5 极坐标绘图命令polar 49 3.1.6 条形图的绘制bar和bar3 50 3.2 MATLAB三维空间绘图 51 3.2.1 plot3绘制空间曲线 51 3.2.2 fplot3绘图 52 3.2.3 辅助绘图函数meshgrid 53 3.2.4 曲面绘图函数mesh函数和surf函数 54 3.2.5 旋转抛物面的绘制 54 3.3 字符串操作函数 55 3.4 文件操作函数 60 3.5 习题 64 第4章 动画设计实验 65 4.1 动画设计的一般方法 65 4.2 滚动的正弦曲线 66 4.3 摆线动画实验 67 4.4 旋转动画 69 4.5 将动画保存为avi文件 71 4.6 习题 72 第2部分 数学实验 第5章 微积分实验 74 5.1 符号计算基础 74 5.1.1 定义符号变量syms 75 5.1.2 定义符号变量sym 76 5.1.3 符号表达式的替换subs 77 5.1.4 符号表达式的化简 77 5.1.5 符号计算精度及其数据类型转换 78 5.2 常用符号计算函数 78 5.2.1 复合计算函数compose 78 5.2.2 计算极限函数limit 79 5.2.3 求导计算函数diff 80 5.2.4 符号积分函数int 80 5.2.5 泰勒多项式函数taylor 81 5.3 极限与渐近线 82 5.4 泰勒多项式实验 83 5.5 定积分实验 85 5.6 二重积分的几何意义 87 5.7 实验探究 89 5.7.1 寻找拐点的问题 89 5.7.2 函数的导数与误差分析 90 5.7.3 跳伞问题 90 5.7.4 傅里叶级数的近似 91 5.7.5 药物浓度变化曲线的研究 91 5.7.6 实验探究提示 91 5.8 习题 93 第6章 线性代数实验 96 6.1 常用的矩阵生成函数 96 6.2 常用的矩阵运算函数 98 6.2.1 解线性方程组Ax=b 100 6.2.2 计算矩阵特征值eig 102 6.3 常用的矩阵分解函数 103 6.4 线性代数应用实验 105 6.4.1 线性方程组求解在减肥食谱 中的应用 105 6.4.2 线性方程组求解在化学反应方程式中的应用 106 6.4.3 矩阵的幂与特征值、特征向量 107 6.4.4 简单人口迁移模型 109 6.5 实验探究 111 6.5.1 矩阵乘法加速问题 111 6.5.2 行列式的计算与混沌 112 6.5.3 线性变换探究 115 6.5.4 矩阵四个基本子空间的求解 117 6.5.5 Givens变换与Householder变换 118 6.5.6 实验探究提示 120 6.6 习题 123 第7章 非线性方程求根实验 125 7.1 二分法 125 7.1.1 二分法的基本思想 125 7.1.2 二分法的算法实现与应用实例 125 7.2 不动点迭代法 127 7.2.1 不动点迭代法的基本思想 127 7.2.2 不动点迭代法的算法实现 127 7.2.3 不动点迭代法的收敛性分析 128 7.2.4 应用实例分析 128 7.3 牛顿迭代法 129 7.3.1 牛顿迭代法的基本思想 129 7.3.2 牛顿迭代法的算法实现 130 7.3.3 牛顿迭代法的收敛性分析 130 7.3.4 应用实例分析 131 7.4 用MATLAB软件求解非线性方程的根 132 7.4.1 代数方程求根 132 7.4.2 一般非线性方程求根 132 7.5 实验探究 133 7.6 习题 134 第8章 插值与拟合实验 135 8.1 插值 135 8.1.1 插值问题的基本思想 135 8.1.2 插值问题的算法实现 136 8.1.3 MATLAB插值函数 139 8.2 拟合 139 8.2.1 拟合问题的基本思想 139 8.2.2 拟合问题的算法实现 140 8.2.3 MATLAB拟合函数 141 8.3 实验探究 142 8.4 习题 144 第9章 数值积分与数值微分实验 146 9.1 数值积分 146 9.1.1 数值积分问题 146 9.1.2 数值积分的基本原理 146 9.1.3 MATLAB中数值积分的主要函数 148 9.2 数值微分 150 9.2.1 数值微分问题 150 9.2.2 数值微分方法 150 9.2.3 应用实例 152 9.3 实验探究 152 9.4 习题 153 第10章 微分方程模型实验 154 10.1 常微分方程数值解问题 154 10.2 常微分方程的数值解法 154 10.2.1 欧拉方法 154 10.2.2 改进的欧拉方法 156 10.2.3 一阶常微分方程组与高阶常微分方程的解法 157 10.3 MATLAB求解常微分方程函数 159 10.3.1 应用实例：Logistic模型 159 10.3.2 应用实例：一类战斗模型 160 10.4 实验探究 162 10.5 习题 162 第11章 最优化模型实验 164 11.1 最优化基础 164 11.1.1 最优化数学模型 166 11.1.2 迭代下降算法 167 11.1.3 局部极小点和全局极小点 167 11.1.4 MATLAB优化工具箱主要求解函数简介 168 11.2 无约束优化问题 168 11.2.1 一元函数极值问题与求解函数fminbnd 168 11.2.2 多元无约束极值问题与求解函数fminsearch、fminunc 171 11.3 约束优化问题 172 11.3.1 线性规划与求解函数linprog 172 11.3.2 混合整数线性规划与求解函数intlinprog 175 11.3.3 非线性规划与求解函数fmincon 178 11.4 智能优化方法 183 11.4.1 遗传算法 183 11.4.2 粒子群优化 185 11.4.3 模拟退火法 188 11.5 实验探究 190 11.6 习题 190 第12章 随机模拟实验 193 12.1 随机数的生成 193 12.1.1 利用MATLAB命令生成随机数 193 12.1.2 利用函数变换生成随机数 196 12.2 蒙特卡罗方法 202 12.2.1 蒙特卡罗方法在概率计算中的应用 202 12.2.2 蒙特卡罗方法在积分运算和优化问题中的应用 206 12.2.3 蒙特卡罗方法在系统模拟中的应用 211 12.3 实验探究 219 12.4 习题 220 第13章 数据建模实验 223 13.1 线性回归分析 223 13.1.1 多元线性回归模型 224 13.1.2 多元线性回归分析实验 225 13.2 聚类分析 226 13.2.1 K-means聚类算法 227 13.2.2 K-means聚类分析实验 227 13.3 分类实验 229 13.3.1 SVM算法 230 13.3.2 SVM算法实验 230 13.4 主成分分析 231 13.4.1 主成分分析的基本原理 232 13.4.2 主成分分析的计算步骤 233 13.4.3 主成分分析实验 234 13.5 实验探究 235 13.6 习题 236 第3部分 数学建模基础与案例 第14章 数学建模基础 241 14.1 引言 241 14.1.1 数学建模过程 241 14.1.2 数学建模的几个难点 241 14.1.3 数学建模的分析方法 242 14.1.4 数学建模的一些基础知识 242 14.2 常见数学模型与数学方法 244 14.2.1 最优化模型 245 14.2.2 差分方程模型 247 14.2.3 微分模型 249 14.2.4 插值方法与拟合方法 251 14.2.5 回归分析模型 255 14.2.6 图论模型 255 14.2.7 随机模拟模型 256 14.3 习题 259 第15章 应用实验与数学建模案例 260 15.1 应用实验：Google搜索引擎的秘密 260 15.1.1 问题背景 260 15.1.2 问题分析 262 15.2 应用实验：分形与不规则图形面积计算 264 15.2.1 问题背景 264 15.2.2 问题分析 265 15.3 最优捕鱼策略的优化设计 267 15.3.1 问题提出 267 15.3.2 问题分析 268 15.3.3 模型假设 268 15.3.4 变量与符号说明 268 15.3.5 模型建立 269 15.3.6 模型求解 271 15.4 DVD在线租赁问题的建模与求解 273 15.4.1 问题提出 273 15.4.2 问题分析 274 15.4.3 模型假设 275 15.4.4 变量与符号说明 275 15.4.5 模型建立 275 15.4.6 模型求解 277 参考文献 282

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