本书是为培养拔尖创新人才，针对高中生编写的微积分的教材．本书在总体框架和结构上，定位在高中与大学衔接阶段；在概念引入、方法应用及例题上，尽量贴近高中生需求，通过引入实际例子来介绍其来源及背景，使学生能够逐步掌握数学证明的思想与方法．书中的例题与习题都经过精心挑选，其中大部分选自高考试题及强基计划笔试题目，且题型新颖、覆盖面广．本书力图体现微积分完整的体系，又符合易学、易懂、简洁、精炼的原则；共５章，内容包含函数、极限、一元微分学、一元积分学、微积分在高中的应用等．

前言 微积分是近代数学的基础，在科学技术中有着广泛的应用．随着时代的进 步和科技的发展，科学创新成果中数学的作用日益凸显，微积分对学生思维训 练中起到的作用也越来越受到高中教师的重视． 近些年，随着新高考改革的推进，导数在高考题目中的分量也在逐渐 增加．而导数作为微积分这门学科中较重要的一部分内容，高中生只能了 解到这个概念在函数分析中的部分应用，而无法全面地了解微积分的全 貌．对很多学有余力的学生来说，全面而系统地把握整个微积分体系，对 他们未来学习和发展是十分有利的．基于这样的目的，本书立足于建立微 积分的整套体系，但又不会完全按照大学微积分的模式而掺杂各种微积分 的计算技巧；通过讲解微积分的基本概念和基本理论，并利用这些内容来 解决高中数学中出现的问题，达到开拓学生视野、强化学生逻辑思维训练 的目的． 本书编写的指导思想是，力图使本书既体现微积分本身的系统性、严密 性，又符合易学、易懂、简洁、精炼的原则；在总体框架和结构上，定位在高中 与大学衔接阶段，既适合高中学生拓展数学知识体系，又对高考及强基计划笔 试应试有一定的指导作用． 本书共５章．第１章主要介绍函数，这是高中与大学微积分衔接的知识， 大部分内容在高中阶段是选修部分．第２章介绍的极限是建立整个微积分课程 体系的基础．第３、４章主要介绍的则是微分学和积分学中的两个主要部分，为 了和高考契合，将重点放在了微分学部分，给出了泰勒公式及导数在函数分析 方面的各种应用；同时，为了体系的完整，最后引出了微积分基本定理，建立 了微分学与积分学的关系．第５章重点聚焦数学论证方法在高中的应用，以及 微积分学的内容在高考试题及强基计划试题中的例子．

第１章　函数１ １．１　函数的概念１ １．１．１　实数与数集２ １．１．２　区间２ １．１．３　邻域与去心邻域２ １．１．４　有界集３ １．１．５　函数３ １．２　隐函数与反函数５ １．２．１　隐函数５ １．２．２　反函数５ １．２．３　反三角函数６ １．３　参数方程与极坐标９ １．３．１　参数方程表示的函数９ １．３．２　极坐标１０ １．３．３　极坐标与直角坐标的关系１１ １．３．４　极坐标中常见的曲线１２ １．４　初等函数１４ １．４．１　基本初等函数１４ １．４．２　复合函数与初等函数１７ 第２章　极限２０ ２．１　数列的极限２０ ２．１．１　数列与极限的定义２１ ２．１．２　极限的运算２３ ２．２　连续函数与函数的极限２６ ２．２．１　函数的极限与连续函数的定义２６ ２．２．２　函数的单侧极限２８ ２．３　极限的严格定义３０ ２．３．１　数列极限的严格定义３０ ２．３．２　一般函数极限的严格定义３１ ２．３．３　极限的性质３３ ２．４　连续函数的性质３４ ２．４．１　连续函数的严格定义３４ ２．４．２　闭区间内连续函数的性质３５ ２．５　自然指数ｅ ３８ ２．５．１　银行复利的问题３８ ２．５．２　ｅ的应用４０ ２．６　渐近线４２ 第３章　一元微分学４７ ３．１　导数的概念４７ ３．１．１　导数的例子４７ ３．１．２　导数的定义４９ ３．２　导数的基本公式与四则运算求导法则５３ ３．３　其他求导法则５７ ３．３．１　反函数与复合函数求导法则５７ ３．３．２　隐函数与参数方程求导法则６０ ３．４　高阶导数６７ ３．５　微分７２ ３．６　洛必达法则７４ ３．６．１　００和∞∞型未定式７４ ３．６．２　其他型未定式７５ ３．７　极值的判定和最值性７８ ３．８　函数的凸向和作图８３ ３．８．１　凸函数、曲线的凸向及拐点８３ ３．８．２　函数的分析作图法８４ ３．９　泰勒公式８７ 第４章　一元积分学９１ ４．１　积分的概念与性质９１ ４．１．１　定积分的概念９１ ４．１．２　定积分的简单性质９３ ４．２　微积分基本定理９５ ４．２．１　微积分基本定理第一部分９５ ４．２．２　微积分基本定理第二部分９７ 第５章　微积分在高中的应用１０２ ５．１　微积分的论证方法１０２ ５．１．１　分析法１０２ ５．１．２　综合法１０４ ５．１．３　构造法１０５ ５．１．４　举反例法１０６ ５．１．５　计算法１０７ ５．１．６　反证法１０８ ５．１．７　数学归纳法１０９ ５．２　微积分在高考数学中的应用１１０ ５．２．１　极坐标及反三角函数的应用１１０ ５．２．２　极限及泰勒公式的应用１１１ 参考答案１２６ 参考文献１３６