本书是作者近年来在建设“高等数学”(高职高专)国家精品课程的教学实践中，以培养应用型人才为目的，从打好基础、培养能力、兼顾后续课程需要出发，在我们编写的“高等数学”(专科)教材的基础上，学习吸收国内外教材的优点，为适应我国各类高等职业技术教育“高等数学”的教学而编写。

目 录 

第1章 函数、极限与连续 1 

1.1 函数的概念与简单性质 1 

1.1.1 集合、常量与变量 1 

1.1.2 函数的概念 3 

1.1.3 函数的简单性质 5 

1.1.4 反函数和复合函数 7 

1.1.5 初等函数 8 

习题1-1 13 

1.2 数列的极限 15 

1.2.1 数列极限的定义 15 

1.2.2 收敛数列极限的性质 19 

1.2.3 数列极限的存在准则 19 

1.2.4 数列极限的四则运算法则 21 

习题1-2 22 

1.3 函数的极限 23 

1.3.1 x→ 时函数的极限 23 

1.3.2 x→x0时函数的极限 24 

1.3.3 函数极限的运算法则 26 

1.3.4 两个重要极限 28 

习题1-3 31 

1.4 无穷小量和无穷大量 33 

1.4.1 无穷小量 33 

1.4.2 无穷大量 37 

习题1-4 37 

1.5 函数的连续性 38 

1.5.1 函数的连续性 38 

1.5.2 函数的间断点 39 

1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的性质 41 

1.5.4 闭区间上连续函数的性质 43 

习题1-5 44 

总习题一 45 

习题答案 46 

第2章 导数与微分 50 

2.1　导数的概念 50 

2.1.1 引例 50 

2.1.2 导数的概念 51 

2.1.3 左导数和右导数 54 

2.1.4 可导与连续的关系 55 

习题2-1 56 

2.2　导数的四则运算法则 57 

习题2-2 59 

2.3　复合函数求导法 60 

2.3.1 复合函数的求导法则 60 

2.3.2 反函数的导数 62 

2.3.3 隐函数的导数 63 

2.3.4 对数求导法 64 

2.3.5 参数方程确定函数的导数 65 

2.3.6 基本求导公式和法则 67 

习题2-3 68 

2.4　高阶导数 69 

习题2-4 71 

2.5 函数的微分 72 

2.5.1 微分的定义 72 

2.5.2 微分的几何意义 74 

2.5.3 微分的运算法则 75 

*2.5.4 微分在近似计算中的应用 77 

习题2-5 77 

总习题二 79 

习题答案 79 

第3章 微分中值定理与导数的应用 84 

3.1 微分中值定理 84 

3.1.1 罗尔定理 84 

3.1.2 拉格朗日中值定理 85 

3.1.3 柯西中值定理 87 

3.1.4 泰勒公式 87 

习题3-1 88 

3.2 洛必达法则 89 

3.2.1 “ ”型和“ ”型未定式 89 

3.2.2 其他类型的未定式 91 

习题3-2 92 

3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性 93 

3.3.1 函数单调性的判定法 93 

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点 95 

习题3-3 96 

3.4 函数的极值与最大值、最小值问题 97 

3.4.1 函数的极值及其求法 97 

3.4.2 函数的最大值与最小值问题 100 

习题3-4 101 

3.5 函数图形的描绘 103 

3.5.1 曲线的渐近线 103 

3.5.2 函数y=f(x)图形的描绘 104 

习题3-5 105 

*3.6 弧微分与曲率 105 

3.6.1 弧微分 106 

3.6.2 曲率及其计算 106 

3.6.3 曲率圆 108 

习题3-6 108 

总习题三 108 

习题答案 109 

第4章 不定积分 112 

4.1 不定积分的概念与性质 112 

4.1.1 原函数与不定积分的概念 112 

4.1.2 基本积分表 114 

4.1.3 不定积分的性质 115 

习题4-1 116 

4.2 第一类换元积分法 117 

习题4-2 122 

4.3 第二类换元积分法 123 

习题4-3 126 

4.4 分部积分法 126 

习题4-4 130 

4.5 有理函数和可化为有理函数的积分 130 

4.5.1 有理函数的积分 130 

4.5.2 三角函数有理式的积分 134 

4.5.3 几类简单无理函数的积分 135 

习题4-5 136 

总习题四 137 

习题答案 138 

第5章 定积分及其应用 141 

5.1 定积分的概念与性质 141 

5.1.1 引入定积分概念的实例 141 

5.1.2 定积分定义 142 

5.1.3 定积分的性质 145 

习题5-1 147 

5.2 微积分基本公式 147 

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 148 

5.2.2 积分上限的函数及其导数 148 

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 149 

习题5-2 151 

5.3 定积分的换元法和分部积分法 152 

5.3.1 定积分的换元法 152 

5.3.2 定积分的分部积分法 155 

习题5-3 157 

5.4 广义积分 157 

5.4.1 无穷限的广义积分 157 

5.4.2 无界函数的广义积分 159 

习题5-4 161 

5.5 定积分在几何学上的应用 162 

5.5.1 定积分的元素法 162 

5.3.2 平面图形的面积 163 

5.5.3 求体积 167 

5.5.4 求平面曲线的弧长 170 

习题5-5 172 

5.6 定积分的物理应用 173 

5.6.1 变力沿直线所作的功 173 

5.6.2 水压力 174 

5.6.3 引力 176 

习题5-6 176 

总习题五 177 

习题答案 179 

第6章 微分方程 183 

6.1 微分方程的基本概念 183 

习题6-1 186 

6.2 一阶微分方程的解法 186 

6.2.1 可分离变量的微分方程 187 

6.2.2 齐次微分方程 189 

6.2.3 一阶线性微分方程 190 

6.2.4 伯努利方程 193 

习题6-2 194 

6.3 高阶微分方程的解法 196 

6.3.1 可降阶的高阶微分方程 196 

6.3.2 二阶线性微分方程解的结构 199 

6.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 201 

6.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 203 

习题6-3 207 

总习题六 208 

习题答案 209 

第7章 向量代数与空间解析几何 212 

7.1 空间直角坐标系与向量的线性运算 212 

7.1.1 空间直角坐标系 212 

7.1.2 向量的概念 213 

7.1.3 向量的线性运算 213 

7.1.4 向量的坐标表示 215 

7.1.5 向量的模与方向余弦 217 

习题7-1 219 

7.2 向量的数量积与向量积 219 

7.2.1 两向量的数量积 219 

7.2.2 两向量的向量积 221 

习题7-2 225 

7.3 平面及其方程 225 

7.3.1 平面的点法式方程 225 

7.3.2 平面的一般式方程 226 

7.3.3 两平面的夹角 228 

7.3.4 平面外一点到平面的距离 228 

习题7-3 229 

7.4 空间直线及其方程 229 

7.4.1 直线的一般式方程 229 

7.4.2 直线的对称式方程与参数方程 229 

7.4.3 两直线的夹角 231 

7.4.4 直线与平面的夹角 232 

7.4.5 综合举例 232 

习题7-4 234 

7.5 曲面及其方程 235 

7.5.1 曲面方程的概念 235 

7.5.2 几种常见曲面及其方程 235 

7.5.3 二次曲面 238 

习题7-5 240 

7.6 空间曲线及其方程 241 

7.6.1 空间曲线的方程 241 

7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影 242 

7.6.3 空间立体图形的投影 244 

习题7-6 245 

总习题七 245 

习题答案 246 

第8章 多元函数微分法及其应用 250 

8.1 多元函数的基本概念与极限 250 

8.1.1 平面点集、区域 250 

8.1.2 多元函数的概念 252 

8.1.3 二元函数的极限与连续性 254 

习题8-1 257 

8.2 偏导数 258 

8.2.1 偏导数的定义及其计算方法 258 

8.2.2 高阶偏导数 261 

习题8-2 262 

8.3 全微分及其应用 263 

8.3.1 全微分的定义 263 

*8.3.2 全微分在近似计算中 的应用 266 

习题8-3 267 

8.4 复合函数与隐函数求导法 267 

8.4.1 多元复合函数的求导法则 267 

*8.4.2 全微分形式不变性 271 

8.4.3 隐函数的求导公式 272 

习题8-4 275 

*8.5 方向导数与梯度 276 

8.5.1 方向导数 276 

8.5.2 梯度 277 

习题8-5 279 

8.6 微分法在几何上的应用 280 

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 280 

8.6.2 曲面的切平面与法线 281 

习题8-6 283 

8.7 多元函数的极值及其求法 284 

8.7.1 多元函数的极值 284 

8.7.2 多元函数的最大值与最小值 286 

*8.7.3 条件极值 拉格朗日 乘数法 287 

习题8-7 289 

总习题八 289 

习题答案 291 

第9章 多元函数积分学 296 

9.1 二重积分的概念与性质 296 

9.1.1 两个实例 296 

9.1.2 二重积分的概念 298 

9.1.3 二重积分的性质 299 

习题9-1 301 

9.2 二重积分的计算 302 

9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算方法 302 

9.2.2 在极坐标系下二重积分的计算方法 309 

习题9-2 313 

9.3 二重积分的应用 315 

9.3.1 曲面的面积 315 

9.3.2 平面薄片的重心 317 

9.3.3 平面薄片的转动惯量 319 

习题9-3 321 

*9.4 三重积分 321 

9.4.1 三重积分的概念 321 

9.4.2 三重积分的计算方法 322 

9.4.3 三重积分的应用 327 

*习题9-4 328 

9.5 对弧长的曲线积分 329 

9.5.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 330 

9.5.2 对弧长的曲线积分的算法 331 

9.5.3 对弧长的曲线积分的推广 334 

9.5.4 对弧长的曲线积分的应用举例 334 

习题9-5 336 

9.6 对坐标的曲线积分 337 

9.6.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 337 

9.6.2 对坐标的曲线积分的算法 339 

9.6.3 两类曲线积分之间的关系 342 

习题9-6 343 

9.7 格林公式及其应用 344 

9.7.1 格林公式 344 

9.7.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 349 

9.7.3 二元函数全微分的求积问题 351 

习题9-7 355 

总习题九 356 

习题答案 358 

第10章 无穷级数 362 

10.1 常数项级数的概念和性质 362 

10.1.1 常数项级数的概念 362 

10.1.2 常数项级数的基本性质 363 

习题10-1 366 

10.2 常数项级数的审敛法 366 

10.2.1 正项级数及其审敛法 366 

10.2.2 交错级数及其审敛法 371 

10.2.3 绝对收敛与条件收敛 372 

习题10-2 374 

10.3 幂级数 375 

10.3.1 函数项级数的概念 375 

10.3.2 幂级数及其收敛性 376 

10.3.3 幂级数的运算 379 

习题10-3 381 

10.4 函数展开成幂级数 381 

10.4.1 泰勒级数 382 

10.4.2 函数展开成幂级数 383 

10.4.3 函数的幂级数展开式应用 388 

习题10-4 391 

*10.5 傅里叶级数 391 

10.5.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 391 

10.5.2 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 398 

*习题10-5 401 

总习题十 401 

习题答案 403 

附录Ⅰ 几种常用的曲线 406 

附录Ⅱ 简明积分表 408