全书从高职高专学生的特点出发，在内容编排上力求突出重点，分散难点，强调数学的基本思想和基本内涵，弱化计算，对于繁杂的计算，全部利用Mathematica软件实现.

本书共分9章，第1章介绍数的起源和数系，第2～7章是微积分的基本内容，第8章是线性代数和线性规划初步，第9章是概率论与数理统计初步.

本书可作为高等专科学校、高等职业学校、成人高等学校和本科院校举办的二级职业技术学院理工科各专业的数学基础课教材，也可供管理专业、财经专业及非数学类理科专业的学生学习参考，同时也为相关的人员提供了一本阅读教材，还可以作为数学教师选取应用实例的参考书。

众所周知，高等数学是高等院校各专业最重要的课程之一，在高职院校中也起着非常重要的作用.其原因不仅在于从中可以学到一些数学概念、公式和结论，为其他数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习数学可以培养人的理性思维品格和思辨能力，启迪智慧，开发创造力.因而数学教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.很多数学教育研究者在教学模式、教学方法、教学内容上都做了深入广泛的研究，教学内容的改革是其核心.因此，我们在清华大学出版社的大力支持下，根据高职高专院校学生的实际情况，在教学内容的改进上做了一些探讨，承担了面向21世纪课程教材《高等数学基础教程》(理工类)的编写工作.

现在通用的教材在知识点选择上不适合理工类高职学生的使用，要么是照搬理工类本科的体系，微积分、线性代数和概率统计、积分变换等单独形成体系，对学生而言过难；要么就是将上述多门课程合并为一本教材，但是各部分知识的选择都只讲解前几章，而没有考虑学生的实际水平和后续课程对数学的基本工具的要求，这对于现在高职学生对数学的需求是不相符的.尤其是高职学生相对于本科学生更注重动手能力和实践能力，对理论的需求相对较弱，因此对高职学生而言，如何结合学生的专业特点，将抽象复杂的数学理论进行通俗的讲解，使他们确实学有所获，是重中之重.本书的编写在内容上力求由浅入深；强调数学的基本思想和基本内涵以及基本理论的背景介绍；选取恰当的实例引发学生的学习兴趣；弱化解题技巧，对于繁杂的计算，力图通过数学软件实现求解.教材编写总体思路和特色有如下几个方面。

 (1)  体系完整，思想与应用兼顾

该教材第1章从自然数的产生，到有理数的出现一直讲到实数的构造成功，阐述了数学的发展过程，不仅可以使学生了解到将要研究的微积分，理论的基础--实数来之不易，更重要的是能使读者体会到数学的严密性与抽象性，体会到数学的思维方法.即数学不是直观经验的归纳和总结，而是一种理性的抽象理论.这对于学生数学思想方法的形成有积极的作用.紧接着讲了一维连续统--实数，使学生知道实数的连续性是它与有理数本质的不同点，是全部微积分原理的出发点，从而使微积分的研究有了坚实的基础.

另外，本教材增强了数学概念的背景材料介绍，加强了数学知识与实际应用的结合.现在我们所接触的数学类教材限于篇幅，基本上都没有数学理论发展历史、产生背景等的说明，学生在学习时常常会感到一头雾水，数学为什么会产生这样的定理、命题和公式？这样学生往往会对数学产生一种神秘感，觉得不可捉摸，这对学生掌握数学知识，自觉地运用数学，就形成了一种障碍.实际上，数学理论的创立以及数学体系的发展并非“空穴来风”，它也像其他学科一样有其产生的实际背景和过程，数学问题的提出和解决也很自然.教材在编写中加强背景介绍，并且教材中每章开始的相关链接会直接引起学生的兴趣；每章结尾对数学家进行简单介绍，摘选了一些他们的逸闻趣事.通过这些环节可以让学生对基本的数学思想有一个感性的认识，也有助于培养学生自觉应用数学的意识，同时也增加了他们的学习兴趣，增强了教材的可读性；而每一章的观察与思考，则是本章相关知识的深化或者是实际应用，使学生能够体会到将所学的数学知识应用在实际中的乐趣.本教材的应用性特色非常鲜明，如在第5章微分方程中，除了学生熟悉的力学、电学问题外，还增加了人口增长的模型.这充分体现了各学科对数学的依赖程度，开阔了学生的视野，提升了学生的学习兴趣，可以有效地培养学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，起到既教数学，又教思想的作用.该教材通过数学知识这个载体，反复地向学生传递数学思想、数学方法，使这种思想方法根植在学生的脑海中，终生受益.

高等数学基础教程（理工类） (2)  局部章节采用了一些新思路、新观点、新讲法

局部章节采用了一些新思路、新观点、新讲法，有效地化解了数学中的难点，使学生视数学为畏途的局面有所改变.将数学建模方法与思想贯穿于整个课程体系.数学的特点就是与现实结合非常紧密：一方面，数学中的一些理论就是对现实问题的抽象、归纳与模拟；另一方面，这些理论又对现实有直接的指导意义，具有很高的理论价值.但是现行的教材经常缺少实际应用部分，以至于学习了多年数学的学生仍然很少想到将数学应用于实践.数学建模是数学理论与实践结合的桥梁，学生只有具有数学建模的意识与思想，才能够活学活用，把学到的数学理论应用到现实中遇到的问题上，而不是简单机械地照搬书中的一些特例，这也是高职学生学习数学的重要目的之一.鉴于此，我们将数学建模的思想与基本方法贯穿于整个教材的编写中.

为了在有限的课时中使学生比较深入地理解高等数学的基本思想，本教材从离散变量性质的研究入手，逐步引入与其相对应的连续变量函数的基本运算和性质，这种由浅入深的方式使学生比较容易理解和掌握高等数学中的一些基本方法和概念.大家都知道极限是微积分实现其严密化的一种理论方法，是构筑微积分坚实理论体系的基石，是每种《高等数学》教材都要讲的内容；同时它也是课程的难点，每当讲到这部分内容时，学生都会如坠雾里云中.这部分内容传统的讲解顺序：数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限四则运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较.本教材的讲法是：先描述离散变量的极限，然后讨论连续型变量的极限.通过比较可以看出，本教材在这部分内容的处理上采用了一些新思路、新讲法：强调微元法是微积分的思想与方法的核心.微元法在后面多次被使用，特别是在定积分、差分和微分方程部分.由于微元法的引入，使后面计算部分的学习变得较为容易.

 (3)  教学内容注意学生的专业特点，注重理论联系实际

本教材增加了许多内容，但篇幅并没有增加，其主要原因是详略得当.本教材注重数学思想与数学方法的学习，而只强调必要的基本解题技能的训练.复杂的计算都用Mathematic 5.0软件来完成.尤其是现在人们利用数学解决实际问题时，常利用数学软件进行数据的计算，因此在每一章的最后都介绍了Mathematic 5.0数学软件解相关问题的方法，可以使学生掌握实用的计算方法，同时也绕过了对于高职学生不太重要的一个难关--解题技巧，使大幅度减少教学课时成为可能.

在本教材的编写过程中，刘阅安副教授和朱立副教授提出了许多意见和建议，朱立副教授还提供了一些参考资料，在此一并表示诚挚的谢意.

本教材的编者希望能写出一套质量较高、适合高职实际教学需要的教材，但是由于水平有限，加之时间仓促，本教材的构思还很肤浅，还存在许多缺点和问题，能否适应更多学校的要求，还需要广大数学教师在实践中检验，并不断提出改进意见，对此我们将不胜感谢.

编 者2010年4月

第1章 数与数系1

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1.1 数与集合2

1.1.1 数的扩展及运算2

1.1.2 数系3

1.1.3 集合7

1.1.4 数学归纳法原理10

1.2 有理数的可数性和连续统的不可数性11

1.3 Mathematica 5.0 软件简介14

1.3.1 Mathematica 5.0 界面介绍14

1.3.2 Mathematica 5.0 的基本使用15

习题120

本章历史人物： 毕达哥拉斯20

观察与思考： 回文数21

第2章 函数的极限与连续22

相关链接： π的计算22

2.1 变化与函数23

2.1.1 对变化的描述23

2.1.2 函数的定义24

2.2 函数的形态26

2.2.1 函数的增减性26

2.2.2 函数的极值和凹凸性27

2.2.3 函数的对称性、最值28

2.3 基本初等函数和初等函数28

2.3.1 基本初等函数28

2.3.2 初等函数33

2.4 函数的极限34

2.4.1 离散变量函数的极限34

2.4.2 连续变量函数的极限36

2.4.3 两个重要极限40

2.4.4 无穷小量与无穷大量41

2.5 函数的连续性 42

2.6 应用Mathematica 5.0软件求极限43

习题246

本章历史人物： 魏尔斯特拉斯46

观察与思考： 洛希极限47

高等数学基础教程（理工类）目  录第3章 差分与导数49

相关链接： 海洋捕鱼问题49

3.1 离散变量函数的差分49

3.1.1 变化的表征--序列的差分49

3.1.2 变化的速度--二阶差分51

3.1.3 高阶差分54

3.1.4 变化形态的判断--差分的应用55

3.2 连续变量函数的导数58

3.2.1 连续变量函数导数的定义58

3.2.2 导数的计算62

3.2.3 微分的定义63

3.2.4 连续变量函数的高阶导数65

3.3 导数的应用66

3.3.1 中值定理66

3.3.2 函数的单调性68

3.3.3 函数的极值69

3.3.4 函数的凹向与拐点74

3.4 应用Mathematica软件计算导数75

3.4.1 初等函数的导数75

3.4.2 隐函数的导数76

3.4.3 求高阶导数76

3.4.4 求函数的微分77

习题378

本章历史人物： 欧拉80

观察与思考： 存储模型80

第4章 积分的概念82

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4.1 不定积分82

4.2 定积分84

4.2.1 定积分的概念及性质86

4.2.2 微元法89

4.2.3 微积分基本公式91

4.3 积分的应用93

4.3.1 已知曲线斜率求原方程93

4.3.2 求平面图形的面积93

4.3.3 求函数的平均值94

4.4 应用Mathematica 5.0软件计算积分95

习题498

本章历史人物： 牛顿100

观察与思考： 求定积分的另一种方法--梯形法100

第5章 微分方程102

相关链接： 湖泊污染物变化率问题102

5.1 微分方程的定义及示例102

5.2 微分方程的分类104

5.3 微分方程的解105

5.4 一阶线性微分方程106

5.5 微分方程建模109

5.5.1 数学建模的一般方法109

5.5.2 微分方程建模的示例110

5.6 应用Mathematica 5.0软件求解微分方程114

习题5117

本章历史人物:  柯西118

观察与思考：   这些受害者死了多久?119

第6章 级数120

相关链接： 银行通过存款和放款“创造”货币120

6.1 常数项级数120

6.1.1 常数项级数的概念120

6.1.2 常数项级数的性质122

6.2 常数项级数的判敛法124

6.2.1 正项级数124

6.2.2 交错级数127

6.2.3 绝对收敛127

6.2.4 利用级数理论解决齐诺悖论问题129

6.3 幂级数及其展开130

6.3.1 幂级数131

6.3.2 幂级数的展开134

6.3.3 泰勒公式136

6.4 傅里叶级数初步138

6.5 利用Mathematica 5.0软件进行级数运算140

6.5.1 无穷级数求和140

6.5.2 将函数展开成幂级数142

6.5.3 幂级数求导数和求积分的运算143

习题6143

本章历史人物： 傅里叶145

观察与思考： 螺旋周期(费波纳茨级数)在股票市场的应用145

第7章 多元微积分147

相关链接：承包商人的故事147

7.1 多元函数的基本概念147

7.2 多元函数的极限和连续性148

7.2.1 多元函数的极限148

7.2.2 多元函数的连续性150

7.3 多元函数的偏导数和全微分151

7.3.1 多元函数的偏导数151

7.3.2 多元函数的高阶偏导数152

7.3.3 多元函数的全微分153

7.3.4 多元函数的极大和极小值154

7.4 多元函数的积分156

7.4.1 二重积分的概念和性质156

7.4.2 二重积分在直角坐标系下的计算160

7.5 应用Mathematica 5.0软件求解多元函数的问题167

7.5.1 多元函数的偏导数167

7.5.2 多元函数的全微分170

7.5.3 求多元函数的重积分170

习题7172

本章历史人物：  泰勒173

观察与思考： 拉格朗日乘子法174

第8章 线性代数175

相关链接： 不定方程175

8.1 应用线性方程组的模型176

8.1.1 矩阵与向量176

8.1.2 线性方程组的模型179

8.2 矩阵180

8.2.1 矩阵的运算180

8.2.2 矩阵的初等变换184

8.2.3 向量的线性相关性187

8.3 行列式190

8.3.1 行列式的定义和性质190

8.3.2 克拉默法则195

8.4 矩阵的应用196

8.4.1 求解线性方程组196

8.4.2 矩阵的特征值和特征向量204

8.5 线性规划简介205

8.6 Mathematica 5.0软件在线性代数中的应用207

8.6.1 利用Mathematica 5.0进行矩阵的运算207

8.6.2 利用Mathematica 5.0求特征值和特征向量211

8.6.3 利用Mathematica 5.0求解线性方程组212

8.6.4 利用Mathematica 5.0软件求解线性规划问题213

8.7 线性代数模型的示例215

习题8217

本章历史人物：  雅可比219

观察与思考： 公寓建筑的设计219

第9章 概率论与数理统计220

相关链接： 用统计学的检验方法来确认噪声标准220

9.1 概率221

9.1.1 概率的基本知识221

9.1.2 古典概型223

9.1.3 条件概率及乘法公式224

9.1.4 事件的独立性225

9.1.5 全概率公式与贝叶斯公式227

9.1.6 贝努利概型229

9.2 随机变量及其分布229

9.2.1 随机变量的有关概念229

9.2.2 几种重要的离散型随机变量233

9.2.3 几种重要的连续型随机变量234

9.2.4 随机变量的数字特征238

9.3 统计检验241

9.3.1 基础知识242

9.3.2 总体参数的点估计245

9.3.3 总体参数的区间估计246

9.3.4 常用的统计检验分析法248

9.4 相关分析与线性回归251

9.4.1 相关分析251

9.4.2 一元线性回归254

9.5 Mathematica 5.0 软件在概率与数理统计中的应用256

9.5.1 用数学软件描述常用分布256

9.5.2 参数估计260

9.5.3 单个正态总体均值的假设检验263

9.5.4 线性回归266

习题9267

本章历史人物： 费马270

观察与思考： 手机市场的统计与调查271

附录 常用数表272

附表1 泊松分布概率值表272

附表2 标准正态分布函数表276

附表3 t分布表278

附表4 χ2分布表279

习题答案280

习题1答案280

习题2答案280

习题3答案281

习题4答案285

习题5答案286

习题6答案287

习题7答案289

习题8答案291

习题9答案295

参考文献298