内容简介

本书基于作者团队多年高中教学经验总结，选取高中数学必修课程里的函数及其相关内容编撰成书。书中

第1 章“预备知识”和第2 章“必须了解的八类函数”，构成了本书学习的起点；第3 章“函数的三要素”、

第4 章“函数的四大性质”以及第5 章“数形结合的三层境界”构成了本书的核心，其内容具有普遍性；第6 章“函

数零点的四大问题”和第7 章“恒成立与存在性问题”是函数模块中两大类具体问题，既是重点也是难点，常

考常新。另本书附赠141节免费视频微课，便于学生对函数知识的深度理解及灵活掌握。

编写说明

一、 本书编写逻辑

本书的逻辑主线有两条：其一，知识点主线，即预备知识→函数概念→函数性质→函数图像→函数应用；其二，题型和方法主线，即不等式解法→定义域、解析式、值域求法→函数性质证明方法及逆运用→函数图像变换方式→零点问题解法→恒成立与存在性问题解法。依据“由浅入深，逐次提升”原则，全书共分为3大部分：小口切入，深入挖掘，思维穿透。

（1）小口切入

在正式学习函数内容之前，本书进行了预备知识的讲解，常见函数的简单介绍，即以初中的不等式、函数知识，高中的基本初等函数的基础概念为切入点，为后续知识的深入学习做好铺垫。

（2）深入挖掘

在必要的知识准备之后，进一步挖掘函数相关的概念、性质、图像等具有的内在逻辑和外显特征，从“数”与“形”两个方面着重阐述。

（3）思维穿透

通过综合运用函数概念、性质、图像等各种知识具体解决两大类重难点问题，训练数学思维，锤炼解题能力，提高数学学科素养。

二、 本书编排体例

书中每一章的每一节，从前向后大致按照下述体例分布：

（1）【前提知识】

简要讲述本节需要用到的一些知识，做些铺垫，根据需要可以有多个；

（2）【典型例题】

精心选取的具有代表性的例题，通常不难，容易学习，根据本节相关题型的差异程度来决定设置例题的个数；

（3）【条件翻译】或【思路探寻】

顾名思义，把本题的条件或关键信息或解题思路用数学语言表述出来，方便解题；

（4）【解题步骤】

抽象出具体的有普适性的解题步骤，让读者自己解题时有迹可循；

（5）【变式】

和典型例题类似但是又有较典型的差异的题型，通常有很多个，方便读者学习和比较，达到既掌握全局又能够分清区别，并在解题时精准选取合适的方式来处理的目的。

当然，文中穿插有“注意事项”“温馨提示”“规律总结”“本题反思”“方法清单”“易错分析”等，依照当时的需要有选择地安排。总之，一切的前提，都是尽量让读者更容易掌握本书内容，更快更好地达到学习的要求。

 

第1章预备知识1

本章知识结构2

1.1不等式的解法3

1.1.1一元二次不等式的解法3

1.1.2分式不等式与高次不等式的解法5

1.1.3绝对值不等式的解法10

1.1.4无理不等式的解法12

1.1.5含参不等式的解法13

1.2二次方程根的分布18

1.3二次函数恒成立及最值问题22

1.3.1在R上恒成立22

1.3.2含参最值问题23

1.3.3在某区间上恒成立24

回顾与思考26

第2章必须了解的八类函数27

本章知识结构28

2.1一次函数、二次函数、反比例函数29

2.2幂函数38

2.3指数函数43

2.3.1指数的运算43

2.3.2指数函数的概念及性质（含图像）45

2.4对数函数48

2.4.1对数的运算48

2.4.2对数函数的概念及性质（含图像）52

2.5对勾函数和双刀函数58

回顾与思考62

第3章函数的三要素63

本章知识结构64

3.1函数的定义域65

3.1.1具体函数的定义域65

3.1.2抽象函数的定义域68

3.1.3已知定义域求参数69

3.2函数的值域71

3.2.1分式型函数值域问题71

3.2.2根式型函数值域问题76

3.2.3复合型函数值域问题81

3.2.4已知值域求参数82

3.3函数的解析式84

3.3.1已知函数类型求解析式——待定系数法84

3.3.2复合型函数求解析式——换元法、配凑法85

3.3.3已知函数关系式求解析式——消元法86

3.3.4双变量函数解析式——赋值法87

3.3.5已知部分区间解析式求未知区间解析式——求谁设谁88

回顾与思考90

第4章函数的四大性质91

本章知识结构92

4.1单调性93

4.1.1单调性的判断与证明93

4.1.2单调性与函数运算97

4.1.3分段函数的单调性99

4.1.4复合函数的单调性101

4.1.5抽象函数的单调性102

4.1.6单调性的应用104

4.2奇偶性106

4.2.1奇偶性的判断与证明106

4.2.2常见函数的奇偶性108

4.2.3奇偶性与函数运算110

4.2.4复合函数的奇偶性112

4.2.5抽象函数的奇偶性114

4.2.6单调性与奇偶性综合115

4.2.7奇偶性的应用118

4.3对称性（含抽象函数）120

4.3.1函数的对称性120

4.3.2对称性的应用122

4.4周期性（含抽象函数）122

4.4.1周期性的判断与证明122

4.4.2常见周期函数条件123

4.4.3对称性与周期性综合124

4.4.4周期性的应用126

回顾与思考128

第5章数形结合的三层境界129

本章知识结构130

5.1四大图像变换131

5.1.1平移变换131

5.1.2对称变换132

5.1.3翻折变换134

5.1.4伸缩变换135

5.1.5综合变换136

5.2特殊函数图像138

5.2.1绝对值函数138

5.2.2高斯函数140

5.2.3类周期函数142

5.3简单数形结合145

5.3.1数形结合解不等式145

5.3.2数形结合求最值147

回顾与思考148

第6章函数零点的四大问题149

本章知识结构150

6.1零点存在性问题151

6.1.1零点存在定理151

6.1.2二分法153

6.2零点个数问题155

6.3零点关系问题157

6.3.1零点大小关系157

6.3.2零点之和158

6.3.3零点之积160

6.4复合函数零点分布161

回顾与思考164

第7章恒成立与存在性问题165

本章知识结构166

7.1条件的翻译167

7.2参变量的判断168

7.3方法的选择169

7.3.1函数性质之单调性169

7.3.2函数性质之图像171

7.3.3参变量分离175

7.3.4主元法177

回顾与思考179

参考答案180

会讲课的函数书。

高途高考研究院是高途多位经验丰富的老师组成的研究组织，这些老师具有丰富的线下、线上毕业班教学经验，多年高考考前梳理、考后点评经历，擅长从学生角度出发，通过具体化、形象化、口诀化、步骤化等方法解决概念理解、公式记忆、题型总结、考试速算等多种难点问题。题型识别、解题套路、注意事项、延伸变形四种维度，对高中数学经典题型进行概括总结，让学生减轻记忆负担的同时能高效做题。