这套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和

体系进行了卓有成效的探索和改革. 第一册一元微积分部分, 基于传统的教学内容引申出“阶估计方法”, 通过简捷途径介绍了Euler求和公式. 第二册多元微积分部分, 比较系统地研究了分析运算的换序问题, 介绍了Riemann积分的控制收敛定理. 第三册是典型问题与习题集，精选了适合现阶段教学要求并具有一定代表性的例题和习题. 本套书可作为数学专业以及其他对数学要求较高的理工科专业的数学分析教材或参考书.

数学分析又叫古典微积分. 

古典微积分是一种知识体系——是自然科学的基础, 是一种教学体系——是现代教育的组成部分, 是一种思想体系——是全面细致地分析问题、处理问题的理论指导. 

古典微积分有2500多年的历史 , 它的萌芽可以追溯到公元前 500年前后, 确立于17世纪. 但是, 作为一种理论体系 , 目前的古典微积分还不能说是完善的 , 部分原因是分析运算的换序问题没有解决好, 长期以来依赖的一致收敛条件过强并且难以验证 . 这种状况的长期存在, 不仅在古典微积分内部造成运算的换序困难 , 而且在古典微积分的外部滋生了一种思潮——认为 Riemann积分应该由 Lebesgue积分取而代之. 

本套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和体系进行了探索和改革，希望做到以下两点：

第一, 在古典微积分的理论框架内 , 解决好分析运算的换序问题；

第二, 精炼古典微积分的体系和内容，使之更加适合现阶段的教学需要 . 

具体来说，本书内容取材上有三个突出特点： 

1. 全面应用上下极限理论 , 把上下确界作为古典微积分的灵魂 , 简化了古典. ..语言的繁琐表述和推导； 

2. 把 Euler求和公式作为古典微积分的基本公式之一，导出 Fourier级数的基本理论； 

3. 以前人的成果为基础，总结概括出简洁实用的“阶估计方法” . 

微积分是一门基础课，对于需要掌握专业数学工具以便将来解决各种实际问题的理工科青年人来说十分重要，但学起来也确实有一定困难，需要掌握相当多的知识和方法，以“求真务实”、“学以致用”为座右铭才能学好学通 . 

本书的出版得到了西北工业大学校领导、教务处、理学院和应用数学系负责同志的理解和支持，并且作为学校教学改革项目和规划教材获得了资助 . 清华大学出版社对本书的出版也起到了积极的作用. 对于这些帮助 , 作者表示由衷的感谢 ! 

作者出版本书的愿望是良好的 , 是向着符合科学和教育发展需要的方向不懈努力的 . 但是，一个人的知识和能力毕竟有限 , 所以, 本书难免出现这样那样的缺点甚至错误 , 衷心希望各位数学家、广大教师和学生批评指正. 

作者 

2013年 3月于西北工业大学

第 11章 常见点集的结构 点列的极限1 

11.1平面点集的结构 二维空间.2 .1 

11.2空间点集的结构 三维空间.3 .6 

11.3 n维空间 .nn维空间点集的结构 ...8 

11.4点列的极限 11 

11.5闭集套定理 有限覆盖定理 聚点原理.14 

第 12章 多元函数的极限和连续性 .16 

12.1多元函数的概念 16 

12.2多元函数的极限 19 

12.3偏极限累次极限换序的充分条件 23 

12.4累次极限的换序公式和换序准则 25 

12.5多元函数的连续性 29 

12.6多元向量值函数 场的概念 31 

12.7向量值函数的极限 连续 曲面的参数方程.35 

12.8向量值连续函数的性质 39 

第 13章 多元函数的偏导数 微分.41 

13.1  偏导数的概念 41 

13.2  高阶偏导数 43 

13.3  多元函数的微分 46 

13.4复合函数的求导法则微分的形式不变性 .49 

13.5  微分中值定理  Taylor公式.54 

第 14章向量值函数的微分函数方程与隐函数 ..58 

14.1  二元向量值函数的偏导向量微分 58 

14.2  n元向量值函数的偏导向量微分 .61 

14.3开映射定理  局部逆映射定理 65 

14.4逆映射存在的充分条件  逆映射的性质 .75 

14.5  函数方程及其解函数概述隐函数的概念 .81 

14.6  隐函数的微分 84 

14.7  隐函数存在定理 89 

 III 

第 15章多元函数微分学的一些应用 .94 

15.1  曲面的切平面和法向量曲线的切线 .94 

15.2 方向导数与梯度 98 

15.3多元函数的最值  极值 Fermat原理..100 

15.4  条件最值  条件极值  Lagrange乘数法 ..104 

第 16章函数列的收敛性 ...111 

16.1  函数列的极限概念 ..111 

16.2  一致收敛性的判定 ..117 

16.3  极限函数的极限连续微分 ..120 

16.4  极限与定积分的换序控制收敛定理 ...123 

16.5  极限与广义积分的换序单调收敛定理 ...126 

16.6  控制收敛定理的证明 ..128 

第 17章函数项级数的一般理论 Taylor级数 Fourier级数.131 

17.1  函数项级数的概念及其收敛性 ..131 

17.2  函数项级数的极限连续微分 ..135 

17.3  函数项级数的积分 ..138 

17.4  分式级数函数项无穷乘积 ..140 

17.5  幂级数及其一般性质 ..143 

17.6 Taylor级数...148 

17.7  Fourier级数 .154 

第 18章二元函数的偏极限与偏积分 ...168 

18.1  二元函数的偏极限 ..168 

18.2  狭义偏积分 ..171 

18.3  广义偏积分的收敛性 ..176 

18.4  广义偏积分的极限和连续性 ..180 

18.5  广义偏积分的微分 ..183 

18.6 “有限区间×无限区间”上累次积分的换序 .185 

18.7 “无限区间×无限区间”上累次积分的换序 .187 

18.8  Beta函数  Gamma函数190 

18.9  () 的有限展开..195 

. s

18.10  Fourier变换正余弦变换 196 

IV  

第 19章曲线积分 ...201 

19.1  第一型曲线积分 ..201 

19.2第二型曲线积分 ..206 

第 20章 二重积分 ...211 

20.1  二重积分的概念和性质 ..211 

20.2  二重积分的计算 ..215 

20.3平面区域面积的求法 ..220 

20.4二重积分的变量替换 ..227 

20.5  Green公式 ...230 

20.6  积分与路径无关的条件原函数问题 ...234 

20.7曲面的面积 ..237 

第 21章曲面积分 ...246 

21.1  第一型曲面积分 ..246 

21.2  第二型曲面积分的概念 ..249 

21.3  第二型曲面积分的计算 ..255 

21.4  Stokes公式空间曲线积分与路径无关的条件 ...258 

第 22章三重积分多重积分 ...262 

22.1  三重积分的概念 ..262 

22.2  直角坐标系下三重积分的计算 ..264 

22.3  三重积分的变量替换 ..266 

22.4  Gauss公式 ...271 

22.5  场论的基本概念 ..274 

22.6  n重积分 ...277 

22.7  广义重积分广义曲面积分 ..280 

参考文献.288