这套书总结了作者数十年来关于古典微积分的研究成果和教学经验, 对现阶段微积分的教学内容和

体系进行了卓有成效的探索和改革. 第一册一元微积分部分, 基于传统的教学内容引申出“阶估计方法”, 通过简捷途径介绍了Euler求和公式. 第二册多元微积分部分, 比较系统地研究了分析运算的换序问题, 介绍了Riemann积分的控制收敛定理. 第三册是典型问题与习题集，精选了适合现阶段教学要求并具有一定代表性的例题和习题. 本套书可作为数学专业以及其他对数学要求较高的理工科专业的数学分析教材或参考书. 

要学好数学分析, 做一定量的练习题是十分必要的 . 

本书的习题分为三部分 . 第一部分是为配合教学工作 , 严格按教学进度编写的 . 第二部分是多样性的题目, 主要目的是补充第一部分的内容, 同时也想满足不同层次的读者在多个阶段对学习数学分析的要求. 第三部分是应用前两册书中得到的换序公式和准则, 探讨一些具体例子. 

做练习题的目的, 一方面是为了及时熟悉刚学过的重要概念、定理的内容和定理的证明思想, 另一方面是为了对学过的理论进行巩固和提高 . 从这个意义上说 , 练习题做得越多越好. 

但事物都有两面性 . 一个学生能支配的时间总是很有限的 , 并且在大学阶段总要同时学习多门课程. 因此, 本书从实际出发 , 把第一部分题目分为两类 : 一类是“基本题” , 这些都是“课后作业” , 学生务必“及时做 , 及时交”; 另一类是“提高题”, 在题号上方标有星号*,这些不作为课后作业 . 出于同样的考虑 , 本书把典型例题也分为“基本题”和“提高题”(在题号上方标有星号*). 

为方便学生的学习 , 同时又考虑不能过多干涉学生的自主学习和思考 , 本书对第一部分的一些有难度的题目 , 给出了答案或提示 . 为方便各类读者 , 对第二部分的题目 , 基本都有简要解答. 第三部分带有探讨性质, 适合于教师作为参考资料. 

学完一段内容后 , 我们总要总结和概括 . 一般说来 , 学生有能力完成这项工作的一部分, 而另一部分是学生没有能力完成的 . 出于这样的考虑 , 本书对所有章节的内容 , 进行了总结和说明. 希望在这样的帮助下, 便于学生尽快熟悉微积分的基本理论 , 切实把数学分析学好. 

对于错误和不足之处，欢迎提出宝贵意见. 

作者

2014年元月于西北工业大学

第 1章数列极限 .1 

1.1实数的性质两个重要不等式 1 

1.2数集的确界 3 

1.3数列的确界 5 

1.4数列的极限 7 

1.5极限运算的性质收敛数列的性质 10 

1.6极限的存在性实数集的完备性 11 

1.7极限运算和常见初等运算的关系 12 

1.8无穷小数列与无穷大数列 14 

1.9数 e及其相关极限 .15 

1.10数列的上下极限 16 

1.11不定型极限  Stolz法则.21 

第 2章函数极限 .26 

2.1函数及其相关概念 26 

2.2函数的昀值确界振幅28 

2.3函数极限的定义 30 

2.4函数的左右极限 32 

2.5函数在无穷远点的极限 32 

2.6对极限定义的总结 33 

2.7极限的性质收敛函数的性质 33 

2.8极限的存在性 34 

2.9极限运算和常见运算的关系求极限的变量替换法.37 

2.10无穷小量与无穷大量 38 

2.11不定型极限求极限的例子 .40 

2.12函数的上下极限 41 

2.13大 O 和小 o 44 

第 3章函数的连续性 .46 

3.1函数在一点的连续性 46 

3.2函数在一点的左右连续性间断点的分类 .47 

3.3连续函数及其运算 48 

3.4闭区间上连续函数的性质 49 

IV  

3.5一致连续性 51 

第 4章微分与导数 .55 

4.1微分和导数的概念 55 

4.2单侧导数导函数56 

4.3导数的几何与物理意义 57 

4.4求导法则 59 

4.5常用导数公式 60 

4.6参变量求导法绝对值求导法对数求导法.64 

4.7微分学基本定理 65 

4.8高阶导数 67 

4.9微分法则高阶微分 69 

4.10 L’Hospital法则70 

4.11 Taylor公式.73 

第 5章导数的应用 .78 

5.1两个函数的差是常数的条件 78 

5.2函数的单调性 78 

5.3函数的凹凸性 81 

5.4函数的昀值 84 

5.5函数的极值 86 

5.6函数的作图 87 

第 6章原函数与不定积分 .88 

6.1原函数与不定积分的概念 88 

6.2积分运算的线性性质逐项积分法 88 

6.3第一类换元积分法——凑微分法 89 

6.4第二类换元积分法——参变量积分法 90 

6.5分部积分法 92 

6.6有理函数的积分 93 

6.7三角函数有理式的积分 95 

6.8无理函数的积分举例 96 

6.9说明和补充例子 97 

第 7章定积分 .100 

7.1定积分的概念微积分基本公式 100 

7.2积分的性质 102 

 V 

7.3函数的可积性可积函数的一些性质 103 

7.4变限积分及其性质 106 

7.5分部积分法换元积分法 109 

7.6积分中值定理分部求和公式 112 

7.7函数的特性与积分的计算 113 

7.8积分不等式 117  补充材料  H.lder不等式和 Minkowski不等式.119 

第 8章一元微积分的应用向量值函数的微积分 121 

8.1曲线的长度弧长微分 121 

8.2平面曲线的曲率曲率半径 122 

8.3一元向量值函数的概念极限连续性.122 

8.4一元向量值函数的微分和导向量 124 

8.5一元向量值函数的积分 125 

第 9章广义积分 .127 

9.1广义积分的概念 127  补充材料广义积分的 H.lder不等式和 Minkowski不等式130 

9.2广义积分的收敛性 130 

9.3 Riemann引理 Riemann点135 

9.4三个典型的广义积分 136 

9.5有限和的积分估计有限积的阶估计 .137 

第 10章数项级数无穷乘积 Euler求和公式.140 

10.1  数项级数的概念和性质 140 

10.2  正项级数的收敛性 146  补充材料正项收敛级数余项的积分估计 .152 

10.3  一般项级数的收敛性 152  补充材料一般项收敛级数的余项估计 .155 

10.4  绝对收敛级数与条件收敛级数的特殊性质 .156 

10.5  无穷乘积 158 

10.6  Euler求和公式  Stirling公式160  补充材料 1 关于 Kummer判别法162  补充材料 2 根值系列判别法162  补充材料 3 关于级数的两个不等式 163  补充材料 4 正项级数的部分和与级数收敛性的关系.164 

VI  

第 11章常见点集的结构点列的极限 166 

11.1平面点集的结构二维空间.2 .166 

11.2空间点集的结构  三维空间.3 .168 

11.3 n维空间 .nn维空间点集的结构 .169 

11.4点列的极限 170 

11.5闭集套定理有限覆盖定理聚点原理.171 

第 12章多元函数的极限和连续性 .173 

12.1  多元函数的概念 173 

12.2  多元函数的极限 174 

12.3  偏极限累次极限换序的充分条件 176 

12.4  累次极限的换序公式和换序准则 178 

12.5  多元函数的连续性 179 

12.6  多元向量值函数场的概念 181 

12.7  向量值函数的极限连续曲面的参数方程 .182 

12.8  向量值连续函数的性质 184 

第 13章多元函数的偏导数微分.185 

13.1  偏导数的概念 185 

13.2  高阶偏导数 185 

13.3  多元函数的微分 187 

13.4复合函数的求导法则微分的形式不变性 .188 

13.5  微分中值定理  Taylor公式.191 

第 14章向量值函数的微分函数方程与隐函数 193 

14.1  二元向量值函数的偏导向量微分 193 

14.2  n元向量值函数的偏导向量微分 .195 

14.3  开映射定理局部逆映射定理 198 

14.4逆映射存在的充分条件  逆映射的性质 .199 

14.5  函数方程及其解函数概述 202 

14.6  隐函数的微分 203 

14.7隐函数存在定理 207 

第 15章多元函数微分学的一些应用 .210 

15.1曲面的切平面和法向量  曲线的切线 .210 

15.2方向导数与梯度 212 

 VII 

15.3多元函数的昀值  Fermat原理 极值213 

15.4条件昀值  条件极值  Lagrange乘数法 214 

第 16章函数列的收敛性 .219 

16.1  函数列的极限概念 219  补充材料用多项式一致逼近连续函数 .222 

16.2  一致收敛性的判定 224 

16.3  极限函数的极限连续微分 226 

16.4  极限与定积分的换序控制收敛定理 .227 

16.5  极限与广义积分的换序单调收敛定理 .229 

第 17章函数项级数的一般理论 Taylor级数 Fourier级数.232 

17.1  函数项级数的概念及其收敛性 232 

17.2  函数项级数的极限连续微分 236 

17.3  函数项级数的积分 240 

17.4  分式级数函数项无穷乘积 242 

17.5  幂级数的一般性质 243 

17.6  Taylor级数.246 

17.7  Fourier级数 .249  补充材料正交系的完备性 Parseval等式.256 

第 18章多元函数的偏极限与偏积分 .264 

18.1  二元函数的偏极限 264 

18.2  狭义偏积分 267 

18.3  广义偏积分的收敛性 269 

18.4  广义偏积分的极限和连续性 272 

18.5  广义偏积分的微分 274 

18.6 “有限区间 .无限区间”上累次积分的换序.275 

18.7 “无限区间 .无限区间”上累次积分的换序.276 

18.8  Beta函数  Gamma函数280 

18.9  Γ()的有限展开式283 

s

18.10  Fourier变换正余项变换 283 

第 19章曲线积分 .286 

19.1第一型曲线积分 286 

19.2  第二型曲线积分 291 

补充材料第二型曲线积分的分部积分法 .292 

VIII  

第 20章 二重积分 .296 

20.1  二重积分的概念和性质 296 

20.2  二重积分的计算 298 

20.3平面区域面积的求法 300 

20.4二重积分的变量替换 302 

20.5 Green公式 .306 

20.6  积分与路径无关的条件原函数问题 .307 

20.7曲面的面积 308 

第 21章曲面积分 .311 

21.1  第一型曲面积分 311 

21.2  第二型曲面积分的概念 313 

21.3  第二型曲面积分的计算 314 

21.4  Stokes公式空间曲线积分与路径无关的条件 .317 

第 22章三重积分多重积分 .319 

22.1  三重积分的概念 319 

22.2  三重积分的计算 320 

22.3  三重积分的变量替换 322 

22.4  Gauss公式 .327 

22.5  场论的基本概念 329 

22.6  n重积分 .332  补充材料化重积分为累次积分的代数定限法333 

22.7  广义重积分广义曲面积分 336 

一些典型问题举例.342 

部分练习题的答案与提示.368 

参考文献.392